求解次壓縮算子分裂問題的自適應算法

賈倩倩，高興慧

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

在本文中，設H1和H2是兩個實Hilbert空間，〈·，·〉表示內積，‖·‖代表相應的范數，令S：H1→H1和T：H2→H2為兩個非線性算子。分別用F(S)和F(T)表示S和T的不動點集，設A：H1→H2是具有自伴算子A*的有界線性算子，記ωw(xn)為序列{xn}的弱聚點集。分離公共不動點問題是尋找一點x∈H1使得

x∈F(S)且Ax∈F(T)。

(1)

注意到(1)等價于求解不動點等式

x*=S(x*-τA*(I-T)Ax*)。

(2)

對于分離公共不動點問題，許多學者都進行了研究，并取得相關的結論，參見文獻[1-2]。最近，Yao[3]在Hilbert空間中引入了關于自適應算子的分離公共不動點問題的Halpern型迭代算法：

(3)

并在適當的條件下給出算法的強和弱收斂性。受上述工作的啟發，本文給出了自適應算子在粘滯迭代下的強收斂定理，改進和推廣了文獻[3]及其他文獻的相關結果。

1 預備知識

定義2[4]設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集。對x∈H，C中存在唯一的PCx，使得‖u-PCx‖=inf{‖u-v‖:v∈C}，稱PC:H→C為H到C的最近點投影(或度量投影)。度量投影PC:H→C滿足

〈u-PCx,v-PCx〉≥0，?u∈H，v∈C。

(4)

定義3[5]設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集。算子T：C→H稱為是次壓縮的，如果存在常量β∈[0，1)使得

‖Tu-v‖2≤‖u-v‖2+β‖u-Tu‖2。

(5)

或者等價于

?(u-v)∈H×F(T)。

(6)

定義4[6]序列{xn}稱為關于給定的非空集Ω是F-單調的，如果對?x∈Ω，有

‖xn+1-x‖≤‖xn-x‖，?n≥0成立。

引理1[3]設Ω是H的非空閉凸子集。如果序列{xn}關于Ω是F-單調的，那么我們有下列結論：

(2)序列PΩ(xn)強收斂；

引理2[7]假設{δn}是非負實數序列且滿足δn+1≤(1-αn)δn+αnσn，其中{αn}是(0，1)中的序列，{σn}是R中的序列使得

2 主要結果

(7)

其中γ∈(0,min{1-β,1-μ})是一常量，τn是由

(8)

證明證明分三步完成。

第1步證序列{xn}有界。

令z=PΩ(f(z))，由(6)和(8)式，我們有

‖xn-z-γτnyn‖2=

‖xn-z‖2-2γτ〈yn,xn-z〉+γ2τn2‖yn‖2≤

‖xn-z‖2-γ(min{1-β,1-μ}-γ)·

‖xn-z‖2。

(9)

下證{xn}有界。事實上，由(7)和(9)可得

‖xn+1-z‖=

‖αnf(xn)+(1-αn)(xn-γτnyn)-z‖≤

αn‖f(xn)-z‖+(1-αn)‖xn-γτnyn-z‖≤

αn‖f(xn)-z‖+(1-αn)‖xn-z‖=

αn‖f(xn)-f(z)+f(z)-z‖+(1-αn)‖xn-z‖

≤αn[η‖xn-z‖+‖f(z)-z‖]+

(1-αn)‖xn-z‖=

[1-(1-η)αn]‖xn-z‖+αn‖f(z)-z‖≤

于是{xn}有界，由于f是壓縮映像，故f(xn)也有界。

由(7)和(9)可得

‖xn+1-z‖2=

‖αnf(xn)+(1-αn)(xn-γτnyn)-z‖2≤

(1-αn)‖xn-γτnyn-z‖2+

2αn〈f(xn)-z,xn+1-z〉≤

(1-αn)‖xn-z‖2+2αn〈f(xn)-z,xn+1-z〉-

(1-αn)γ(min{1-β,1-μ}-γ)·

(10)

(1-αn)‖xn-z‖2+

(‖xn-Sxn‖2+‖(I-T)Axn‖2)2·

取δn=‖xn-z‖2，

σn=2〈f(xn)-z,xn+1-z〉-

(‖xn-Sxn‖2+‖(I-T)Axn‖2)2·

(‖xn-Sxn+A*(I-T)Axn‖2)-1

(11)

由(10)有

δn+1≤(1-αn)δn+αnσnn≥0。

(12)

由(11)式可得

σn≤2〈f(xn)-z,xn+1-z〉≤

2‖xn+1-z‖(‖xn-z‖+‖f(z)-z‖)，

δn+1≤(1-αn)δn-αn≤δn-αn，?n≥n0。

由歸納法，我們有

(13)

(‖xnk-Sxnk‖2+‖(I-T)Axnk‖2)2·

(‖xnk-Sxnk+A*(I-T)Axnk‖2)-1。

(14)

因為〈f(xnk)-z,xnk+1-z〉是有界實序列，不失一般性。可假設

(‖xnk-Sxnk‖2+‖(I-T)Axnk‖2)2·

(‖xnk-Sxnk+A*(I-T)Axnk‖2)-1存在，

因此

(‖xnk-Sxnk‖2+‖(I-T)Axnk‖2)2·

(‖xnk-Sxnk+A*(I-T)Axnk‖2)-1=0。

(15)

又因為

所以由(15)，我們有

(17)

由(15)和(17)可得

因此ωw(xnk)?Ω，注意到

‖xn+1-xn‖=

‖αnf(xn)+(1-αn)(xn-γτnyn)-xn‖=

‖αnf(xn)-αnxn-(1-αn)γτnyn‖≤

αn‖xn-f(xn)‖+(1-αn)γτn‖yn‖=

αn‖xn-f(xn)‖+(1-αn)γ·

第3步證xn→z(=PΩ(f(z)))。

由于z=PΩ(f(z))且

〈u-PΩ(f(z)),v-PΩ(f(z))〉≥0，

應用引理2.6到(12)，可得

xn→z(=PΩ(f(z)))。證畢。

注1：在算法(7)中令f≡u時，可得到算法(3)，所以定理1推廣和改進了文獻[3]中的結果。