弱幻方的代數系統

劉興祥，劉娟娟，張 婧

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

幻陣學對研究代數的前沿問題有很大價值和影響，其中幻陣學的分支——弱幻方的定義及其代數系統前人還沒有研究過。本文在幻陣學及抽象代數[1-7]的基礎上，提出弱幻方的代數系統，對于豐富幻陣學與代數的研究內容，完善幻陣學與代數的框架體系具有重要意義。

1 弱幻方的相關定義

定義1 設F是數域，如果矩陣A=(aij)n×n滿足

則稱矩陣A稱為數域F上的n階弱和幻方，并稱Sw為數域F上n階弱和幻方A的弱幻和。

定義2 設F是數域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數域F上的n階和幻方，并稱Sm為數域F上n階和幻方A的幻和。

定義3 設F是數域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數域F上的n階弱積幻方，并稱pw為數域F上n階弱積幻方A的弱幻積。

定義4 設F是數域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數域F上的n階積幻方，并稱pm為數域F上n階積幻方A的幻積。

定義5 設F是數域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數域F上的n階弱和弱積幻方，并稱pw為數域F上n階弱和弱積幻方的弱幻積，Sw為數域F上n階弱和弱積幻方的弱幻和。

定義6 設F是數域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數域F上的n階和積幻方，并稱p為數域F上n階和積幻方的幻積，S為數域F上n階和積幻方的幻和。

2 弱幻方的代數系統研究

定理1 設(S,+)是一個代數系統(半群、交換半群、群、交換群)，Mn(S)={A|A∈Sn×n，A是n階弱和幻方}，對于Mn(S)中的矩陣定義如下二元運算⊕：?A,B∈Mn(S),A⊕B=(aij+bij)n×n，則(Mn(S),⊕)是一個代數系統(半群、交換半群、群、交換群)。

證明對?A=(aij)n×n∈Mn(S),

?B=(bij)n×n∈Mn(S),?C=(cij)n×n∈Mn(S)，

A⊕B=(aij+bij)n×n∈Mn(S)且

故所給二元運算⊕在Mn(S)上滿足封閉性。

(A⊕B)⊕C=(aij+bij)n×n⊕(cij)n×n=

(aij+bij+cij)n×n=(aij)n×n⊕(bij+cij)n×n=

A⊕(B⊕C)，

故所給二元運算⊕在Mn(S)上滿足結合律，因此Mn(S)是半群。

?A∈Mn(S)，

因此O是Mn(S)中非零元A的單位元。

?A∈Mn(S)，

-A⊕A=(-aij)n×n⊕(aij)n×n=

(-aij+aij)n×n=(0)n×n=O，

因此-A是Mn(S)中非零元A的逆元，因次(Mn(S),⊕)是群。

又因為矩陣加法對于交換律成立，即(Mn(S),⊕)是交換群。

(S,+)是一個代數系統，則(Mn(S),⊕)是一個代數系統證明完畢，其他證明同理可證。

推論1 設(S,+)是一個代數系統(半群、交換半群、群、交換群)，Mn(S)={A|A∈Sn×n，A是n階和幻方}，對于Mn(S)中的矩陣定義如下二元運算⊕：?A,B∈Mn(S),A⊕B=(aij)n×n⊕(bij)n×n=(aij+bij)n×n，則(Mn(S),⊕)是一個代數系統(半群、交換半群、群、交換群)。

銀行需加大產品租借的宣傳和銷售力度，提升市場營銷人員的素質和專業知識，根據不同客戶群的金融需求和銀行自身實際情況來確定產品的不同組合，從而有效提高整體的營銷和銷售效果[8]。其次，應更深層次地進行產品多樣化和專業化，促進交叉銷售。一方面，城市商業銀行要根據金融資源優劣勢來對已有的金融服務和業務的功能和品種進行整合和完善；另一方面，要加強產品創新，為客戶提供具有銀行自身特色的個性化服務。

證明對?A=(aij)n×n∈Mn(S),

?B=(bij)n×n∈Mn(S),?C=(cij)n×n∈Mn(S)，

?A∈Mn(S)，

因此E是Mn(S)中非零元A的單位元即幺元。

?A,B∈Mn(S)，

證明對?A=(aij)n×n∈Mn(S),

?B=(bij)n×n∈Mn(S),

?C=(cij)n×n∈Mn(S)，

A⊕B=(aij+bij)n×n∈Mn(S)且

故所給二元運算⊕在Mn(S)上滿足封閉性。

(A⊕B)⊕C=(aij+bij)n×n⊕(cij)n×n=

(aij+bij+cij)n×n=(aij)n×n⊕(bij+cij)n×n=

A⊕(B⊕C)，

?A∈Mn(S)，

O⊕A=(0)n×n⊕(aij)n×n=(0+aij)n×n=A，

因此O是Mn(S)中非零元A的單位元。

?A∈Mn(S),

-A⊕A=(-aij)n×n⊕(aij)n×n=

(-aij+aij)n×n=(0)n×n=O，

?A∈Mn(S)，

因此E是Mn(S)中非零元A的單位元即幺元。

?A,B∈Mn(S)，