面向應用型本科的“離散數學”教學改革研究

都娥娥，圣文順

（南京工業大學浦江學院，江蘇南京 211200）

0 引言

“離散數學”（又稱計算機數學）是現代數學的重要分支，是計算機科學理論的基礎，作為應用型本科計算機相關專業的核心基礎課程之一的“離散數學”正變得日益重要。它是以研究離散量的結構和相互之間的關系為主要目標［1］，在計算機理論研究及軟、硬件開發的各個領域都有著廣泛的應用。“離散數學”也是計算機科學中的數據結構、操作系統、編譯原理、數據庫系統原理、算法分析、邏輯設計、系統結構、容錯技術、人工智能等許多課程的先導課程［2］。

對于面向應用型本科的高校而言，在學生的培養上，立足于培養信息技術與應用實踐相結合的特色型社會人才，注重能力與素質并重，滿足社會各界對高質量應用型人才的需求。但是通過實際的教學實踐及效果來看，發現在教學中存在一些問題，與學校定位的培養方向產生部分背離，尤其是一些理論性很強的學科，比如“離散數學”，在學習過程中，知識點抽象，學生感覺理解較為困難，進而缺乏興趣。

本文將以“離散數學”中的部分內容為例，從教學內容、教學方法、實踐設計等方面進行探討，將教學內容與實際應用相結合，使用相關知識點來解決日常生活中的問題，引導學生加強知識點的理解，提高學習興趣。

1 “離散數學”教學中存在的問題

1.1 教學模式的限制

在正常的教學中，“離散數學”一般的教學時長都是48～64課時，但是其涵蓋面較廣，正常都包含數理邏輯、集合論、圖論、代數結構幾大模塊，有的教材還增加有組合數學和形式語言與自動機等的相關知識，因此這門課的典型特點就是概念/定理多、內容瑣碎、知識點抽象。就以“圖論”的相關知識來說，作為“離散數學”課程中的重要知識模塊之一，內容十分豐富，在整個“離散數學”中所占比重最大（如圖1所示）。隨著計算機科學的迅速發展，圖論在許多學科的應用也相當廣泛，諸如運籌學、信息論、控制論、計算機科學等，都是以圖作為工具來解決實際問題和理論問題［3］，因此，學好圖論知識并能靈活運用就顯得至關重要。

圖1 “離散數學”各知識模塊課時比例

目前，在“離散數學”這門課程的授課中，大部分教學均采用傳統的授課模式進行教學，即按照數學的教學方式進行講解，把一個個概念、定理和證明非常生硬地講給學生，這對學生來說聽起來覺得枯燥無味，理解上難度大，學起來不明白它到底在計算機科學和實際的生活中有什么用處。例如，在教學中占據比重最大的“圖論”內容［4］，圖的分類較多，各個圖的概念定理都較為抽象，不同的圖有不同的判斷定理，有的使用充分必要條件判斷，而有的只能使用必要條件的逆否命題判斷，有的又要使用充分條件來判定，判定方法多而抽象。在這種情況下，由于知識點多，迫于進度，教師只能按照課本進行定義和定理的講解和證明，這種典型的照本宣科的教學方式，授課速度太快，學生無法跟上老師的教學思路，更加大了學生對知識點的理解難度，使其教學效果大打折扣。

1.2 教學缺乏實踐設計

對于應用型本科而言，學生大多時候關注的是如何將學到的知識進行應用，如何提高自己的動手能力，才能在畢業找工作時對自己有所幫助。而傳統的“離散數學”教學設計上只有理論教學，無實踐環節，由于不需要做上機實驗，因而經過一段時間的學習，學生發現自己除了知道一些知識點和概念外，所學的知識在實際生活中并沒有得到應用，而且也不知道如何使用這些知識，進而在真正遇到需要用“離散數學”的知識點來解決實際問題的時候，不能活學活用，在解決問題能力上也比較欠缺，同時對后續專業課程的學習也不能起到良好的鋪墊作用。

像“離散數學”這種典型的純理論、缺乏實踐、考研又不是必考科目的課程，只能使學生的學習停留在枯燥的理論層面，對未來要從事信息化建設類工作的學生來說，無法將所學的知識與計算機軟件設計、編程等相關能力結合起來［5］，總覺得不如去寫段代碼、組件一個計算機網絡來的實用。這門課程也常常因為這些情況，無法讓學生產生學習興趣而去主動地進行學習，長此以往，就會形成學“離散數學”沒什么用，只求考試通過的學習風氣，進而漸漸地不被同學重視。

針對上述問題，本文從教學內容、教學方法、實踐環節等幾個方面做了教學改革的嘗試和研究。

2 “離散數學”教學改革研究

2.1 教學內容的刪減

由于“離散數學”內容較多，就如目前我們專業選擇的教材除了傳統的幾大知識模塊外，還增加了“組合數學”和“形式語言與自動機”等方面的內容，所以在實際授課時候，可以根據實際需要進行相關內容的刪減。如“形式語言與自動機”的相關知識目前對于學生用處不是很大，可以不列入教學計劃，“組合數學”相關內容因為在計算機編碼、算法設計及密碼學方面有較大的用處，可以列入教學計劃進行講授。而且需要根據各個知識模塊在實際應用中所占的比重，加大比重較大的知識點的課時數，如“圖論”部分。對于集合部分，因為學生以前或多或少接觸過相關知識，所以在授課時候，集合的基本概念和運算方面可以加快點進度，在關系、函數的復合及反函數等章節可以多舉例子進行講解，加深理解。

2.2 教學方法的改進

“離散數學”這門課傳統的教學方法較為古板，教師大部分照本宣科，無法引起學生的學習興趣。因此，如何在教學方法上進行相應改進，提起學生對這門課的興趣顯得至關重要，提起學習興趣后再進行知識點的講解，這樣所取得的效果會好很多。本文以“圖論”部分的內容為例來從以下兩個方面探討教學方法的改進。

2.2.1 趣味入題

在進行新的知識點講授的時候，盡量以一些有趣的話題來引入所講的內容，首先引起學生的注意，讓學生不再感覺到這門課是枯燥乏味的，調動其積極性。

例如，在講“圖論”知識的時候，可以先向學生講述圖論的起源：18世紀中葉在歐洲普魯士的哥尼斯堡城內有一條河，河中有兩個小島，由七座橋相連接。當時人們熱衷于一個難題：一個人怎樣不重復地走完這七座橋？這就是著名的哥尼斯堡七橋問題。當時很長時間沒人能解決這一問題，直到1736年，歐拉發表了第一篇關于圖論的論文，將該題轉化為圖論問題才得以解決［3］。以這樣的趣味性問題入題，進而引申出相關的知識點，能夠使學生對這些內容留下深刻的印象，也可以提起對后面知識的學習興趣。

2.2.2 結合實際講授知識點

在授課過程中，為了加深學生對抽象的知識點的理解，盡量將該知識點和實際中的例子結合起來，讓同學了解到在遇到不同的問題時使用哪些知識點來解決。

例如，在講“圖論”中的哈密頓圖［6］時候，由于哈密頓圖的特殊性，至今沒有一個較好的定理或者方法來判定，都是結合各種必要條件、充分條件進行判斷。定理多，每種判斷方法都存在局限性，使學生無法理解哈密頓圖到底有何使用。這時候可以列舉一個現實生活中的例子，來加深學生的理解和了解哈密頓圖的用法。如：某次國際會議8人參加，已知每人至少與其余7人中的4人有共同語言，問服務員能否將他們安排在同一張圓桌就座，使得每個人都能與兩邊的人交談？這個例子就可以使用到哈密頓的知識點來解答，可以將參加與會的人員看成圖的8個頂點，如果兩個人有共同語言，就給他們之間畫一條邊進行關聯，進而轉化為圖論問題。由于每個人都可以和其他7個人中的4個人有共同語言，所以每個頂點的度數至少為4，根據判斷哈密頓圖的充分條件知道，兩個頂點的度數之和大于實際頂點數，則是哈密頓圖［3］，所以該題肯定存在一條哈密頓回路，服務員只需要在該圖中找一條哈密頓回路，然后按回路中相鄰關系安排座位即可解決此題。

上述例子在現實生活中是極可能存在的推理問題，對這類題感興趣的同學肯定很多，這時借助所學知識就能很簡單地解決實際中的復雜問題，以這樣的方式進行內容講解，既不會讓學生感覺到枯燥乏味，還能引起學生的興趣，提高同學解決實際問題的能力。

2.3 增加實踐環節

前面闡述了對于應用型本科生而言，最主要的是實際動手能力，而要提高動手能力，實踐環節必不可少。但是傳統的“離散數學”課程無實踐環節，只說離散數字在計算機中應用廣泛，學生無法理解如何使用“離散數學”的知識去解決與計算機相關的問題。為了解決這一問題，本文提出在正常的教學中，增加一些實踐內容，加深學生對知識點的理解和鞏固，同時也可以提高學生的動手能力。

例如，在講“圖論”中的最短路徑問題時，使用到了著名的算法——Dijkstra算法，教材上已經給出了該算法的具體步驟。在教學中，可以將該算法列入實踐內容，讓學生用自己熟悉的語言，編寫出該算法的相應代碼，給定一個特定的圖，規定起點和終點，調用自己編寫的算法函數，求出最短路徑。然后用數學上的方法，手動繪制該圖的最短路徑計算過程圖表，最后也會確定一條路徑，去驗證是否和程序運行的結果一致。

通過對類似的內容增加實踐環節，不但加深學生對知識點的理解，而且使學生的編程能力得到了鍛煉，也使學生對自己產生很大的自信，能運用已經學過的編程語言和“離散數學”的知識，編寫出小的應用程序，解決一些算法問題，進而對學習也產生濃厚的興趣。

3 結語

“離散數學”作為計算機科學技術的支撐學科之一，正變得日益重要，在計算機的各個領域都有重要的應用，同時它又可以提高學生的思維能力，使其在解決計算機問題時候激發一些設計思想。通過對“離散數學”課程進行一系列的教學改革實踐后，上述教學改革措施非常有效，大大提高了學生的學習興趣，將理論與實踐相結合，加深了學生對知識點的掌握，也提高了學生的實際動手能力，取得了較好的教學效果。