從模型構(gòu)建的角度深度窺視空氣阻力

應(yīng)發(fā)寶

(北京市中關(guān)村中學(xué)，北京 100086)

1 問(wèn)題的提出

2019年北京高考中一道有關(guān)“空氣阻力”題在老師們之間引起了一場(chǎng)不小的爭(zhēng)論。討論的焦點(diǎn)聚焦在模型的建構(gòu)及應(yīng)用條件上。

真題：雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過(guò)程中受到空氣阻力有關(guān)。雨滴間無(wú)相互作用且雨滴質(zhì)量不變，重力加速度為g。

(1) 質(zhì)量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時(shí)速度為u，求這一過(guò)程中克服空氣阻力所做的功W。

(2) 將雨滴看作半徑為r的球體，設(shè)其豎直落向地面的過(guò)程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數(shù)。

a． 設(shè)雨滴的密度為ρ，推導(dǎo)雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關(guān)系式；

b． 示意圖(圖1)中畫出了半徑為r1、r2(r1>r2)的雨滴在空氣中無(wú)初速下落的v-t圖線，其中________對(duì)應(yīng)半徑為r1的雨滴(選填①②)；若不計(jì)空氣阻力，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出雨滴無(wú)初速下落的v-t圖線。

圖1 不同半徑雨滴無(wú)初速下落的v-t圖

(3)由于大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡(jiǎn)化為垂直于運(yùn)動(dòng)方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時(shí)受到的空氣阻力f∝v2(提示：設(shè)單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子質(zhì)量為m0)。

2 理想氣體模型

一般的落體運(yùn)動(dòng)速率遠(yuǎn)低于空氣分子的平均速率。如圖2所示，設(shè)圓盤下落方向?yàn)閤正方向，這時(shí)圓盤下表面與沿-x方向運(yùn)動(dòng)的氣體分子發(fā)生碰撞，物體上表面與沿+x方向運(yùn)動(dòng)的氣體分子發(fā)生碰撞。當(dāng)物體以速率v，沿+x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為，氣體分子與物體兩端面的碰撞是完全彈性的。

圖2 圓盤下落與空氣分子碰撞

設(shè)單個(gè)氣體分子的質(zhì)量為m，氣體分子數(shù)密度為n，并考慮沿+x方向和沿-x方向運(yùn)動(dòng)的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的1/6。

因此物體所受阻力為

(1) 不考慮氣體分子間的相互碰撞(稀薄理想氣體)及其自身重力；

(2) 不考慮空氣分子的速度分布，分子沿空間各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)目相等；

(3) 分子與運(yùn)動(dòng)物體的碰撞是完全彈性碰撞，其運(yùn)動(dòng)遵守牛頓運(yùn)動(dòng)定律；

(4) 不考慮運(yùn)動(dòng)物體表面的摩擦及其尾部的渦流。

因此其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況還是有差距的，如當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)接近于聲速時(shí)，是不能用簡(jiǎn)單的函數(shù)確定f與v的關(guān)系的，只能用圖解法或近似法求得。盡管如此，以上計(jì)算結(jié)果還是具有一定的指導(dǎo)意義。

3 密集粒子流模型

對(duì)于一個(gè)真實(shí)的物理情景，我們可以從不同的角度建立模型。但是所建立的模型是否能解釋這一現(xiàn)象，需要從實(shí)驗(yàn)的角度來(lái)加以驗(yàn)證，但相對(duì)繁雜。若要判斷所運(yùn)用的阻力模型是否簡(jiǎn)單適用，只要比較生活中已有的客觀事實(shí)和模型預(yù)言結(jié)果的一致性即可。因此，我們首先要了解真實(shí)的空氣分子是如何分布的客觀事實(shí)，然后再建立可行性模型去解決問(wèn)題，而不是亂套模型。

圖3 同種氣體分子碰撞

3.1 動(dòng)能定理

3.2 動(dòng)量定理

設(shè)空氣分子與圓盤碰撞前后相對(duì)速度大小不變。在Δt時(shí)間內(nèi)，與圓盤碰撞的空氣分子質(zhì)量為Δm=SvΔtnm0，以F表示圓盤對(duì)氣體分子的作用力，以Δm為研究對(duì)象，運(yùn)用動(dòng)量定理FΔt∝Δm·v，得F∝nm0Sv2，即圓盤所受空氣阻力f∝nm0Sv2。

結(jié)論2：基于實(shí)際分子自由程視角的宏觀靜止密集粒子流模型可以在不計(jì)分子熱運(yùn)動(dòng)條件下推導(dǎo)出下落雨滴所受空氣阻力大小f∝v2。因此，題干“由于大量分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等”確為多余條件。

4 結(jié)語(yǔ)

模型構(gòu)建是抽象思維和形象思維相結(jié)合、統(tǒng)一的結(jié)果，是在以科學(xué)知識(shí)和實(shí)驗(yàn)事實(shí)為依據(jù)，經(jīng)過(guò)一系列科學(xué)方法(如分析與綜合、抽象與概括、演繹與推理等)邏輯推理認(rèn)證的基礎(chǔ)上建立的，是知識(shí)與思維的產(chǎn)物。只有熟悉模型建構(gòu)過(guò)程，才會(huì)知道模型的蘊(yùn)涵；只有重視模型的深度理解才會(huì)深化概念規(guī)律的內(nèi)涵。