流體力學概念性理解缺失的啟示

王藝凝 張 豪 呂洪鳳

(1中國農業大學煙臺研究院，山東 煙臺 264670; 2中國農業大學理學院, 北京 100083)

1 導出問題

流體包括氣體、液體(生物液)、大氣、海洋等。流體的平衡狀態、運動狀態以及流體和其他物體間的相互作用和規律是流體力學需要研究的內容。流體力學的知識點較多，既有靜力學、動力學等高中學習過的經典力學的基礎知識，又有流線、湍流等特定概念，不少內容對初學者相當有難度。很多學生在學習中對基礎概念重視不夠、理解不清，導致學習難度較大，從而影響教學進程和人才培育的質量。

A．Suarez等人從物理教育研究的視角，通過客觀題、主觀題、學生訪談等多種形式，系統地整理了學生在學習流體力學部分的困難，并指出導致這些學習困難的原因，從而為進一步設計有針對性的教學方法提供了參考[1]。為了摸清學生在理解、應用流體力學概念時的困難，本文參照A．Suarez等人在烏拉圭共和國大學的實驗，對中國農業大學大一理工科學生進行了研究。希望可以通過比較獨立教學情況，探究如何解決流體力學的概念理解困境。

2 研究過程及結果

A．Suarez等人評估了他所在學校6次測試中的600份試卷，依據錯誤率對理想流體力學相關的題目進行了歸類，從而提出學生在該部分有概念性缺失的假設，為了驗證該假設，遂構建了半結構性訪談類測試[1]。我們將該測試題目整理成單選題(詳見附錄)，通過微信和PPT相結合的雨課堂在班級內發布。為分析學生對各題目相應知識點的掌握程度及出錯原因，我們給出了各題的選項，見表1。

表1 答題選項分布(加黑體者為正確答案選項)

從表1可以看出，學生對1、2、8、10題的答題正確率偏低，數值≤1/3； 4、6題的答題正確率≤1/2；3、5、7、9題的答題正確率略高，屬于1/2～3/4范圍。經過對以上題目內容的分析，我們對學生的錯題原因推測如下：

2.1 伯努利方程和連續性方程使用條件掌握不當(題目1和題目10)

1) 測試題1，正確率33%

(1) 正確解答：根據連續性方程，流體元(質點)在通過均勻截面的垂直管道下降時的速度是恒定的。

(2) 錯誤解答：流體加速運動(選項A)。近50%的學生沿用重力做功使物體加速的質點力學知識，而忽略了流體的特性、未考慮流體元彼此之間的相互作用。

2) 測試題10，正確率21%

(1) 正確解答：理想流體遇到障礙物、流線變形時，同一高度，流線曲率半徑小處的壓強小(pA>pB)。

(2) 錯誤解答：流線曲率半徑小處壓強大(選項B)、曲率不同處壓強相同(選項C)。選項B和選項C的錯選率相當，相當一部分學生沿用了流體靜力學中同高度處壓強相同的知識，未識別出流體元正在加速；也有一部分同學是應用伯努利方程失當。

2.2 流體靜力學與動力學混淆不清(題目2和題目8)

1) 測試題2，正確率29%

(1) 正確解答：理想流體從大容器進入下端的窄小豎直管道時，流體在小管中的速度比容器中的快，進口處與小管內某點的壓差應低于流體靜壓力差ρgΔh。

(2) 錯誤解答： 壓差高于(選項A)、等于(選項C)流體靜壓力差。錯選的學生多忽略了流體可流動的前提，受靜力學的影響，認為壓力只與液體頂部的液柱重量有關。

2) 測試題8，正確率33%

(1) 正確解答：理想流體從大容器進入下端的窄小豎直管道時，長度為dy的流體元在小管中受到的重力G和管壁表面作用力F相等。

(2) 錯誤解答： GF(選項C)、無法判斷(選項D)。無論是哪個錯選項，都體現出學生未考慮到在流體力學中，勻速運動的物體依然遵守牛頓第一定律。

圖1 中、烏兩所高校對流體力學概念理解之比較

中、烏兩所高校獨立教學情況下所得到的結果比較見圖1。由圖1可知，烏方的學生表現普遍較好。這可能是由于中、烏兩所高校在物理教學上的課時不同，導致了雙方對流體力學概念的理解存在一定的差異。被研究的烏方大學物理課程為15周75學時，流體力學占用了3周15學時；中方大學的普通物理公共課為16周96學時，流體力學只占了2周6學時。兩者的學習內容相仿，但在授課時間上差了2.5倍。此外，烏方第3、4、10題的正確率比中方低，尤其是第10題，烏方學生全部選擇了在等高度處、彎曲流線壓強處處相同的錯誤選項。這表明雙方學生對伯努利方程的使用均有不同程度的濫用。從題目2和8可以看出，相較于烏方學生，中方學生在從流體靜力學到流體動力學的過渡方面產生了不適感。題目3的正確解答是流體元在小管內壓強處處相同，這和題目1流體元在小管內的速度處處相同是相洽的。烏方該題目的正確率比第一題的低是因為有部分學生因馬虎錯答；中方題目3正確率反倒比題目1和8高，則從另一側面顯現出很多同學沒有前后題目一致考慮的全局觀，也顯示了概念應用的混亂性。

上述結果對大學物理流體力學板塊的概念教學具有一定的啟示性，提示我們在教與學的實踐中應該關注以下幾點：

1) 液體的不可壓縮性

高中知識告訴我們，氣體可以壓縮而液體不可壓縮。但學生們會認為液體在流過狹窄的管道時會被壓縮[2]。如，澆花的水管口被捏扁時，噴出的水流速快，這使得學生認為高壓應該對應高速。他們把壓強等同了力，并將力和速度關聯而不是與加速度關聯。事實上，若不考慮高度變化，當液體流過的管道變窄時，由伯努利方程可知窄管處的液體流速大、壓強低。

2) 伯努利方程的適用性

在運動學、質量守恒方程、能量守恒方程等質點模型中學習過的知識在流體力學中依然適用。流體中有流體元的概念，這也是流體連續介質模型提出的基礎。流體元具有宏觀物理量如質量、速度、密度等，這些物理量都是空間和時間的連續、可微函數，滿足一定的物理定律。流體元速度的方向是流線的切線方向，速度場的空間分布及其隨時間、空間的變化是流體力學的研究內容。伯努利方程就是沒有“黏性”的理想流體元在流線圍成的流管內的機械能守恒定律，只對可逆絕熱過程的定熵流動適用。應用伯努利方程時，流體需要滿足定常流動、不可壓縮、無摩擦力等假設。

3) 流體靜力學與流體動力學的關聯

物體在平衡條件下的靜力學可以看成是動力學的一個特例。對于靜止流體，流線上各點的速度為零，由伯努利方程可以得到壓強和高度之間的關系。這使得學生難以理解伯努利方程應用于同一流線上不同點之間的關系，很多同學認為靜止液體與流動液體的壓強應該是一樣的，壓強只與高度有關，壓差來自于參考點上方的液體重量，從而混淆了靜力學與動力學[3]。

在教學時，需關注學生掌握基本概念的程度，選擇適當的講授方法，如使用恰當的推導方式、做好必要的理論鋪墊等[4]。在翻轉課堂上，可以引入慕課等短視頻，對知識點進行梳理和分解。此外，針對學生理解、應用流體力學概念的困難，有的放矢地設計、編寫該部分的教學材料，也會對解決該問題有所改善。

3 結語

為了摸清學生在理解、應用流體力學概念時的困難，探究如何解決該困境，我們對中、烏兩所高校獨立教學情況下所得到的結果進行了比較研究。相對于高中的力學，大學的流體力學是全新的知識，流體元的特性與質點的特性既有關聯又有不同。學生在該部分的學習難度大，影響了教學質量。許多學生能將伯努利方程應用于流體力學的解題過程，卻沒有考慮到該方程來自于一個守恒定律，作用于沿著流線移動或同一流管內的流體元。學生在熟練地調用連續性方程和伯努利方程解題時，并沒有意識到壓力梯度與空間速度變化相關。學生們很難理解運動中流體的不同部分如何相互作用，無法將運動學與動力學聯系起來。以上概念誤解和困難，在所研究的中、烏兩高校學生中均存在。為了解決該問題，應適當地提高授課學時、在授課過程中改進講授方法、設計有針對性的教學材料等。這對改善現階段理工類本科教育有一定的借鑒參考意義。

附錄題目：

圖A1 排水管容器

1. 如圖A1所示，一個高為h的容器裝滿水，水位h保持不變，忽略水的黏度，一個長為L的排水管(和出口處的直徑相同)位于排水口處。 如果水從容器剛進入排水管時的速度為v, 在排水管中流動的速度會如何變化?

A. 變大 B. 變小 C. 不變

2. 接題1，考慮圖A1中被標記的點1，2，3。點1在排水管上方，點2、3在排水管內。點1、2之間的壓差Δp比ρ(z2-z1)的值________？

A. 更高 B. 更低 C. 相等

3. 接第2題, 圖A1上2、3點間的壓差Δp比ρg(z3-z2)________?

A. 更高 B.更低 C.相等

4. 假設在之前提到過的帶管子容器旁放置一同樣的容器，兩個容器內有等量的水。新容器底端有同樣的洞但沒有排水管，如圖A2所示。同時放水，哪個先排完？

A. 無管容器 B. 無管容器 C. 兩者同時

圖A2 兩等量容器

5. 在一水面高h的箱底端有一長L的垂直管。忽略水的黏滯性。考慮管內的點A、點B以及管外的點C、點D(圖A3)，下面關于流速正確的是

A.vAvB

C.vCvD

圖A3 箱底垂直管

6. 接第5題, 下面關于壓強正確的是？

A.pA

C.pCpD

7. 以下哪種因素導致了管外“水流直徑會隨著流體的流出而減小”現象的產生？即，為何圖A3上D點對應的橫界面比C點對應的小？

A. 流速 B. 裝置結構

C. 空氣阻力 D. 壓力

圖A4 流體元

8. 若以垂直管道內長度為dy的流體元為研究對象(圖A4)，已知其所受的兩種力G(重力)和F(管壁表面作用力)，以下對這兩種力的大小描述正確的是？

A.G

C.G>FD. 無法確定

9. 接第8題，若以垂直管道外長度為dy的流體元為研究對象(圖A4)，該流體元受到的合力為？

A. 0 B.其重力G

C.空氣壓力 D.無法確定

10. 已知流動液體遇到障礙時，流線發生嚴重變形。流體元通過等高的A、B兩點(圖A5)時速度相等。試比較A、B兩點的壓強(假設壓力梯度與速度變化之間沒有聯系)

A.pA>pBB.pA

C.pA=pBD. 無法確定

圖A5 形變的流線