玻爾氫原子模型中德布羅意波的最概然解釋

雷 勇

(南京信息工程大學物理與光電工程學院大學物理部，江蘇 南京 210044)

1 提出問題

玻爾氫原子模型在量子理論發展史上有著非常重要的地位，在模型中玻爾根據對應原理思想得出了氫原子軌道穩定性的量子化條件：只有電子角動量為(即約化普朗克常量)整數倍的那些軌道才是穩定的[1, 2]。根據對應原理確定某個體系的量子化能級需要知道系統軌道運動的頻率對能量的依賴關系，這通常比較麻煩，但是如果反過來，把角動量量子化條件作為出發點，往往可以比較容易求出體系的量子化能級。此外，量子化條件與經典力學并不相容，帶有一定的人為假設性質，并未從根本上解決不連續的本質[3]，因此當時的物理學家希望能對量子化條件給予更深刻的物理解釋。英國物理學家布里淵曾設想原子核周圍存在以太波，這種波是由電子運動激發的。該波相互干涉，只有在特定合適的軌道半徑時才能形成繞原子核的駐波，因為軌道半徑是量子化的[4]。

λn=2nπa0

(1)

其中a0是玻爾半徑。

盡管德布羅意利用相位波理論解釋了量子化條件，但是從后來建立的量子力學角度看，其解釋有明顯的局限性。薛定諤于1926年發表在《物理學年鑒》的第一篇論文[6]中從經典的雅可比-哈密頓方程出發，并引入作用量函數S=Klogψ(K是一常量)，利用變分法得到描述氫原子的方程：

(2)

式中，E為電子能量；e為電子電量絕對值；r為電子相對原子核的距離。在考慮函數ψ的單值性和有限性后，當E為負值時，方程(2)中E的解為

(3)

得到和玻爾氫原子模型一樣的能級。薛定諤進一步寫到：“我……最終……以上述更為中性的數學形式給出了它們，因為它揭示出了真正本質的東西。在我看來，真正本質性的東西，在于‘整數’假設無須再神秘地引入量子化規則，而是通過進一步回溯問題，從而發現‘整數性’根植于某個空間函數的有限性和單值性。”[6]薛定諤的解釋顯然不同于德布羅意。不僅如此，氫原子本征態波函數ψnlm也不是動量的本征函數，所以ψnlm的德布羅意波長沒有確定的值，而呈現一定的分布，這顯然與德布羅意的解釋不同。此外，玻爾模型中氫原子能級不存在簡并問題，而量子力學解存在簡并問題，如下文所述不同的簡并態對應的德布羅意波長分布并不一樣。

盡管德布羅意的解釋有明顯的局限性，但是我們不應該簡單地認為德布羅意的解釋是錯誤的或者純屬巧合，應該進一步探究其內在原因。量子力學的計算結果顯示玻爾氫原子模型中的半徑其實是由|Rn(n-1)r2|2得到的最概然半徑[3]，其中Rnl為徑向函數，可以看出最概然半徑僅僅取決于氫原子波函數ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)中的徑向函數Rnl(r)部分。我們可以據此推測，玻爾氫原子模型的德布羅意波長λn=2πna0是否具有類似的最概然解釋呢？本文基于上述推測，研究了氫原子不同量子態下的徑向函數對應的德布羅意波長概率分布，發現λn有類似的最概然解釋。

2 計算、分析和討論

徑向函數Rnl(r)由坐標表象到動量表象的變換關系為[7]

(4)

其中jl是球貝塞爾函數。參考文獻資料的一般做法，下面只列出n=1、2、3的計算結果，相應徑向函數有6個：R10、R20、R21、R30R31、R32。計算結果顯示上述徑向函數對應的德布羅意波長概率分布的極值個數并不相同，據此可將這6個態分為兩類：第一類是R20、R30、R31，在λ∈(0,∞)范圍內，德布羅意波長概率分布有多個極大值，這類情況與我們要討論的問題無關，所以不再列出它們的具體計算結果；第二類是R10、R21、R32，在λ∈(0,∞)范圍內，德布羅意波長概率分布只有一個極大值，這類情況與我們要討論的問題密切相關。為什么它們只有一個極大值呢？這源于氫原子徑向函數的自身特點。氫原子的徑向函數可以寫為[3]

(5)

其中u(r)滿足方程

(6)

函數u(r)，進而徑向函數Rnl(r)的行為由徑向量子數nr決定[3]。由于nr=n-l-1，所以第二類徑向函數有nr=0，此時的徑向函數可表示為

(7)

徑向函數R10、R21、R32表示如下：

(8)

相應的球貝塞爾函數表示如下：

(9)

根據公式(4)，徑向函數R10在動量空間的表示，即動量概率振幅為

(10)

動量的大小在p～p+dp范圍內的概率為

(11)

(12)

在λ∈(0，∞)范圍內，當λ=2πa0時w10(λ)有最大值，即R10的最概然德布羅意波長λp1=2πa0，等于公式(1)所示的玻爾模型基態(n=1)時的德布羅意波長λ1。

同理可得R21的動量概率振幅：

(13)

則動量大小在p～p+dp范圍內的概率為

(14)

可得德布羅意波長分布的概率密度為

(15)

在λ∈(0，∞)范圍內，R21態的最概然德布羅意波長λp2=4πa0，等于玻爾模型第一激態(n=2)的德布羅意波長λ2。

最后，R32態的動量概率振幅：

(16)

動量大小在p～p+dp范圍內的概率為

(17)

可得德布羅意波長分布的概率密度為

(18)

在λ∈(0，∞)范圍內，R32態的最概然德布羅意波長λp3=6πa0，它等于玻爾模型第一激態(n=3)中電子的德布羅意波長λ3。

3 結論

綜上所述，可得出結論，德布羅意對玻爾氫原子模型解釋中的德布羅意波長在物理實質上對應于氫原子量子態中徑向函數Rn(n-1)(即徑向量子數nr=0)的最概然德布羅意波長。