基于空氣動力學的旋轉球體飛行軌跡的計算模擬

趙炳炎 陳宗華

(玉林師范學院物理與電信工程學院，廣西 玉林 537000)

在大學物理課程中，斜拋問題常被用來作為實例進行分析，分析時一般會把運動軌跡局限在豎直的平面內，并且將研究對象作為質點，根據牛頓定律分別在豎直和水平兩個方向上建立動力學方程，有時還可以將空氣的阻力考慮進來，最終得到兩個獨立的二階線性常微分方程，求解可得出該斜拋運動的軌跡、最大射程、飛行時間等信息，這類問題已經成為質點動力學的經典例題。然而，從學以致用的角度出發，還有一些類斜拋問題受到廣大學生的關注，比如足球運動中的“香蕉球”和棒球運動中“詭異的弧線球”等，這些現象顯然與大學物理課程中學的斜拋運動是不符的。旋轉的球體在飛行時，不僅受空氣阻力的影響，還需考慮由旋轉而引起的馬格努斯力。但是由于旋轉球體與空氣的相互作用較為復雜,且動力學方程無法直接求得解析解，以往的討論往往都局限在定性的描述或者簡單分析二維的情況[1-5]。

本文通過對斜拋的飛行球體進行簡化建模，將球體簡化成質點并建立動力學方程，借助Matlab軟件利用龍格庫塔法對方程進行編程求數值解，從而模擬出球體的飛行軌跡。方程在三維空間建立，所以可以模擬出球體任意方向、任意旋轉情況的飛行軌跡。這不但可以更好地幫助學生理解復雜曲線運動，還可以幫助專業體育教練指導球類運動訓練。

1 旋轉球體在空氣中運動的動力學特征

球體在飛行過程中除了受到重力作用，還與空氣有相互作用。其中重力作用的大小和方向都不變，記為mg，方向豎直向下。需要討論的是球體與空氣的相互作用，這涉及空氣動力學問題，比較復雜，需要建模簡化?？梢詫⑶蝮w與空氣的相互作用簡化為空氣浮力(該力方向始終豎直向上，可以歸化到重力mg)、空氣阻力FD和由旋轉而產生的馬格努斯力FM，其受力情況如圖1所示。

圖1 飛行球體受力圖

1.1 對空氣阻力的分析

由于球體的對稱性，空氣阻力FD與速度方向相反，空氣阻力FD與球飛行速度的關系可以通過簡化建模得到，如圖2所示的圓盤為球體最大截面并與速度方向正交。

圖2 圓盤兩面氣流情況圖

如圖2，圓盤兩面所受到的壓力不同，狀態1為氣流還未被球體穿過，壓強為p1，相對流速v1=v。狀態2的氣流完全被圓盤遮擋，壓強p2，相對流速v2=0。根據伯努利原理可得：

(1)

根據式(1)，可以得到截面兩邊的壓力差為

(2)

令圓盤面積為S,圓盤所受的阻力為圓盤兩面的壓力差：

(3)

式(3)是球體建模簡化后的阻力關系公式。實際的球體并不是圓盤，空氣會有速度損失，空氣流過球體表面時會有摩擦力，而且球體旋轉也會對球體阻力產生影響，實際的情況更加復雜[6-8]。本文引入空氣阻力常數Cd來歸化這些影響，在文獻[6]～[8]中已經指出Cd不但與球體材料和表面結構有關，還與球飛行速度和轉動速度有關，但是在本文中作為教學討論，我們可以令系數Cd為一個常數，空氣阻力可以表示為

(4)

其中，S為球體的最大截面；ρ為空氣密度；為球的速度。如果空氣密度不變，不考慮球體變形，則空氣阻力只與速度的平方成正比，方向始終與速度方向相反。

1.2 對球體旋轉引起的馬格努斯效應的分析

球體旋轉產生的馬格努斯力來自于球體的各面流速不同所導致的壓強差，這里以旋轉軸方向與球速方向垂直為例，如圖3所示。

圖3 馬格努斯力示意圖

旋轉的球體在空氣中飛行時，旋轉方向迎著氣流一面的流速減慢，而順著氣流一面的流速加快，根據伯努利方程：

(5)

兩面的壓力差產生一個垂直于ω和的馬格努斯力，其大小為

(6)

可以引入系數Cl使馬格努斯力的表達形式與式(4)一致，并將馬格努斯力的方向FM～ω×考慮進來，則有

(7)

式(7)中系數Cl的大小與球體表面結構、空氣黏度、空氣密度、飛行速度和旋轉速度都有關[6-8]。為了不引起學生們的困惑，將它設為一個常數。

2 建立球體飛行的動力學方程

首先建立三維直角坐標系Oxyz，其中x軸和y軸為水平方向，z軸為豎直方向，根據牛頓第二定律建立球體飛行的動力學方程：

(8)

飛行過程中，角速度的方向可以分別投影到三維坐標軸上，有：

(9)

其中，

(10)

將球體動力學方程分解到各坐標軸方向上，得到3個二階常微分方程：

(11)

其中，

(12)

該二階常微分方程組是無法直接求得解析解的，需要用數值分析的方式來求數值解。我們采用Matlab軟件包中四階龍格庫塔算法函數ode45對該方程組進行降階計算。龍格庫塔法求數值解必須給出初始條件，這里考慮球體在xz平面內由坐標原點出射，并假設球體射出后角速度ω保持不變。

3 以上、下旋和側旋為例，得出軌跡圖

在進行課堂討論的時候，可以選擇學生們比較感興趣的足球進行討論，相關參數設定可以在課堂上與學生們共同討論得到。

設球體質量m=0.4kg，空氣密度為ρ=1.29kg/m3，球體的最大截面積S=0.03m2，空氣阻力常數Cd=0.35，升力系數為Cl=0.18。

為了方便討論，設足球以45°在xz平面內踢出，踢出后的旋轉角速度方向，分別以上旋、下旋和側旋的情況進行討論。

3.1 上、下旋的情況

圖4 足球上旋時的飛行軌跡圖

圖5 足球下旋時的飛行軌跡圖

從圖4和圖5的對比可以明顯看到，空氣阻力使得足球飛行的距離明顯減小。但是上旋時的馬格努斯力方向豎直向上，相當于抵消了一部分重力作用，足球飛行的距離較高。而下旋球受到的馬格努斯力方向豎直向下，相當于加大了重力作用，足球飛行高度較低，甚至比上旋球低了近15m。由于上旋球在空中飛行的時間較長，所以水平飛行的距離也比下旋球要多出約12m，但是無論是上旋球還是下旋球的飛行距離，都明顯比忽略空氣影響時的距離要小得多。這也說明足球在飛行過程中，空氣阻力和馬格努斯力對飛行軌跡的影響非常大。

3.2 側旋球的情況

側旋情況是指，球體旋轉角速度ω的方向與球體初始射出方向垂直，與速度方向順時針成90°時定義為右旋，與速度方向逆時針成90°時定義為左旋，其他初始條件與3.1一致。

圖6 足球右旋射出后的飛行軌跡

圖7 足球左旋射出后的飛行軌跡

從圖6和圖7可以看到，由于足球旋轉產生的馬格努斯力，讓足球飛行的軌跡發生了明顯的偏轉：右旋會讓足球向左邊偏轉，左旋會讓足球向右邊發生偏轉，這就是足球里經常說的“圓月彎刀”或者“香蕉球”。但是需要說明的是，實際情況中球體的旋轉同樣會受到空氣阻力使角速度變小，而系數Cl和Cd也會發生一定的變化，所以實際上的偏轉不會有這么大。

由圖8可以看到完全的左右側旋球在xz平面內的軌跡是一樣的，這是因為側旋時的馬格努斯力是完全垂直于該平面的，它只能讓球飛行發生轉彎，產生所謂的“香蕉球”，而在球體前進方向上，只有空氣阻力的作用，飛行距離一致。

圖8 側旋球在xz平面內的飛行軌跡

4 結語

將貼近大學生生活的體育運動案例融入大學物理教學，既可以提升他們的興趣，還可以培養他們應用物理理論分析問題和解決問題的能力。本文將飛行的旋轉球體與空氣的相互作用簡化成一個空氣阻力和一個馬格努斯力，并將球體簡化成質點模型建立動力學方程，且借助Matlab軟件編程求解。以足球為例，計算模擬了足球上、下旋和側旋的飛行軌跡，發現空氣對旋轉球體飛行軌跡的影響很大，這與足球運動時的實際情況基本相符。當然實際的球體飛行時，只有質點的動力學方程是不夠的。球體本身還有旋轉，而且這個旋轉是可以繞任意轉軸的，且球體旋轉的變化也會導致空氣阻力和馬格努斯力的變化。要更準確地模擬出球體飛行的軌跡，有待更深入的討論。