楊氏彈性模量測量實驗綜述

段 陽 楊浩林 伍泓錦 賈欣燕 樊代和

(1西南交通大學物理科學與技術學院，四川 成都 610031；2物理國家級實驗教學示范中心(西南交通大學)，四川 成都 611756)

1 楊氏模量及其測量概述

彈性模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量[1]。其只取決于固體材料本身的物理性質，外界環境對其沒有影響。彈性模量越大，固體材料越不容易形變。各項同性物體的彈性模量包括拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G、體積彈性模量K、泊松比μ以及拉梅彈性常數λ[2]等。

1727年，歐拉提出了類似彈性模量的“模高”ω和“模重”h的概念，分別定義為ω=EA和h=E/ρg，其中，E表示材料的彈性模量；A為桿件的橫截面積；ρ為材料密度；g為重力加速度。1807年，托馬斯·楊(Thomas Young)出版了《自然哲學與機械技術教程》一書，其中提到：“任一材料的彈性模量，是同一材料構成的一個柱體，在柱體底部能夠產生一定的壓力，該壓力與引起柱體某一壓縮度的重量之比，等于柱體長度與其縮短量之比”，這里提出的彈性模量概念與歐拉提出的“模重”類似。若將“柱體”理解為“單位底面積柱體的重量”，則他的論述就是現在的彈性模量定義,故而彈性模量又被稱為“楊氏彈性模量”[3]，簡稱為楊氏模量。

一方面，楊氏模量是研究微機械材料[4]、石墨烯材料、金屬復合材料[5]、混凝土[6]、納米材料[7]、陶瓷[8]、橡膠[9]等材料力學性能的關鍵參數。隨著工業材料的發展，楊氏模量的應用變得必不可少，同時對楊氏模量的測量精度要求也越來越高。另一方面，據不完全統計，楊氏彈性模量測量實驗，國內約有87.8%的高校將其作為大學物理實驗課程中的實驗項目之一[10]。從2019年開始，該實驗項目也成為了全國高等學校物理基礎課程青年教師講課比賽實驗題目規范表中的20個題目之一。因此，楊氏彈性模量測量實驗在當前國內高校大學物理實驗課程中的重要性不言而喻。

目前，國內不同高校的物理實驗教材，采用了不同的實驗原理來進行固體材料楊氏模量測量實驗，已報道的文獻材料中也有很多關于楊氏模量的測量及改進方法。然而，對該實驗測量的系統歸納整理還未見報道。因此，為了能夠對這個具有重要應用價值的、開設范圍較廣的大學物理實驗項目進行一個系統梳理，以期為國內高校的物理實驗教學提供參考，并為后幾屆計劃參加全國高等學校物理基礎課程(實驗)講課培訓的青年教師提供借鑒作用，本文系統地綜述了目前已報道的楊氏模量實驗測量的原理和方法，分析了這些方法的測量精度及優缺點等。

2 楊氏模量的測量方法

目前，楊氏模量的測量方法通常分為以下4種：靜態拉伸法、動態共振法、梁彎曲法以及超聲波測量法。其中，靜態拉伸法又可分為光學測量和電學測量兩大類。動態共振法又可分為普通共振法、負載動態法、激光雙光柵法等幾類。梁彎曲法可分為激光光杠桿放大測量、單縫衍射法、霍爾傳感器測量法及光纖布拉格傳感器法等。

2.1 靜態拉伸法

靜態拉伸法主要適用于金屬絲、頭發絲等可拉伸絲狀材料，其測量原理是對被測材料施加一個使其產生伸長形變的力，通過測量材料受力后的微小伸長量，最終使用定義公式來計算楊氏模量。例如，在被測材料兩端加上與桿平行的力F，桿的長度將由自然長度L變為L+ΔL，這種應變以長度的相對增量ΔL/L來表征。若被測材料的截面積為S，則根據胡克定律,在彈性限度內, 應力的大小與應變成正比，即：

(1)

式(1)中，E就是被測材料的楊氏模量值[11]。從式(1)可以看出，如果要測量得到楊氏模量E的值，只需要測量得出F、S、ΔL、L即可。其中，最難測的物理量就是ΔL，因為其量值范圍非常小，在通常的實驗條件下，僅為微米量級。因此，當采用靜態拉伸法測量材料的楊氏模量時，如何精確測量ΔL，就成為實驗測量的關鍵。

2.1.1 光學測量法

目前，針對ΔL的測量，光學測量法有光杠桿法[12-16]、莫爾條紋測量法[17]、等厚干涉法[18]、邁克耳孫干涉法[19,20]、雙縫干涉法[21]、數字激光散斑法[22,23]、數字全息比較法[24]、光纖傳感器法[25]、光柵衍射法[26]等。我們首先闡述光杠桿法的測量原理。

在楊氏模量的測量實驗中，最普遍的測量ΔL的方法是光杠桿法。該方法同時也是目前國內高校大學物理實驗中最常使用的測量方法[27]。其測量原理是通過光杠桿放大微小位移的特點，測出材料受力時的伸長量。光杠桿的測量原理圖如圖1所示[12]，當被測材料受力伸長導致的α角度很小時，可以得出如下近似：

(2)

其中，b為光杠桿前后足的垂直距離；D為標尺到光杠桿小平面鏡中心的距離；Δn為望遠鏡中標尺讀數的改變量。

圖1 光杠桿法測材料楊氏模量示意圖

從式(2)可以看出，光杠桿測量ΔL的原理，實際上就是通過D?b這一實驗設置，將微小伸長量ΔL進行光學放大后測量得出。

根據式(1)，若被測材料為一直徑為d的圓柱體，則楊氏模量測量的理論公式可寫為

(3)

將式(2)代入式(3)中可得光杠桿法測量楊氏模量的實際公式為

(4)

例如，文獻[12]利用光杠桿法測得典型的鋼絲的楊氏模量值為：E=2.10×1011Pa，相對不確定度為uE/E=5.7%。光杠桿法不僅可以測量金屬絲材料，也可對其他可拉伸材料進行測量，例如，文獻[13]中測得某頭發絲的典型楊氏模量值為：E=4.40×1010Pa。

但是，利用光杠桿的測量原理，進行楊氏模量的測量時也有一些不利因素。基于此，有文獻給出了如下的一些改進方法。

首先，在實驗裝置的調節方面，由于實驗裝置中望遠鏡的視角較小，需要調整光杠桿鏡面法線與望遠鏡光軸重合，觀察由光杠桿的鏡面所反射的標尺的像比較費力，針對此問題目前有以下兩種解決方案。例如，可將望遠鏡換為激光器，使其發出的光束照射到光杠桿的平面反射鏡上，調節平面反射鏡鏡面使激光反射到標尺上，直接讀取光斑在標尺上的位置讀數即可[14]；或者，給標尺加一個發光裝置，在標尺背面靠近測量者的一面安裝可發某種光的光源，使其成為一個具有發光功能的LED標尺，如發紅色的熒光管，紅光透過標尺向外散射，使標尺變成有別于周圍顏色的光源[15,16]。此時，在望遠鏡中便可輕而易舉調節出標尺在光杠桿鏡面里成的像，這樣就使標尺讀數變得簡單，減少了實驗過程中調節儀器的時間。

其次，在實驗數據的測量方面，加減砝碼時下夾頭會隨著鋼絲晃動，導致下夾頭上面的光杠桿會移位，有可能從支架平臺上掉落。針對此問題的解決方案有以下兩種。例如，在下夾頭的適當位置處打一個大小、深度適中的小槽，讓光杠桿的后支點剛好放在小槽里，這樣就避免了光杠桿隨著下夾頭的晃動而移位[15]；或者，將砝碼換為拉力測力計，并增設一個固定于底板的定滑輪，增加減震效果[16]。

由于光杠桿法在實驗過程中測量步驟繁瑣，讀數時需要“兩邊跑”，因此介紹下面幾種實驗過程簡便的測量方法。

圖2 莫爾條紋測量ΔL原理圖

第二種測量ΔL的方法是莫爾條紋法，圖2就是一個典型的原理圖[17]。其測量的原理是：莫爾條紋移動距離與光柵移動距離之間存在一定的線性關系，莫爾條紋的放大特性可以將物體的微小位移量轉化成莫爾條紋的移動，從而便捷測量出材料的微小伸長量ΔL，由文獻[17,28]知：微小伸長量ΔL可表示為ΔL=NW=(Δn/B屏)W。其中，B屏為顯示屏上一個莫爾條紋對應的寬度；W為光柵柵距；N為條紋移動個數；Δn為被測材料受力時，莫爾條紋位移量。當利用莫爾條紋原理測量得到ΔL的值后，最終可以得出楊氏模量的測量公式為

(5)

例如，文獻[17]就用這種方法測量了鋼絲的楊氏模量值，其測量值為E=1.961×1011Pa，相對不確定度uE/E=8.16%。與光杠桿測量法相比，利用莫爾條紋法測量楊氏模量的優點是實驗儀器裝置簡單、結構緊湊、占空間小 、便于觀測 、實驗過程操作簡便、安全且不會造成視覺疲勞。

第三種測量ΔL的方法是等厚干涉測量法，其實驗裝置圖由圖3所示[18]。該實驗裝置將干涉儀兩個反射鏡(分別為M1、M2)的其中一片垂直固定到鋁片AB上，垂直的反射鏡經過分光鏡所成的虛像與平行的鏡片不嚴格平行時可形成空氣楔形平板。鋁片上有三枚螺絲，其中只有一枚螺絲的為動腳，將此螺絲放在楊氏模量測量儀測量鋼絲長度變化的地方，當鋼絲長度發生變化時，會使鋁片角度發生改變，最終導致條紋的寬度也發生變化。

這種測量方法中，進行函數關系的輔助運算，即可得到材料受力時的微小伸長量：

(6)

其中，D是動腳到水平面的高度;l為定腳到動腳的距離;λn為實驗使用單色光在空氣中的波長;b1、b2分別為鋼絲伸長前后從毛玻璃屏幕上測量到的兩相鄰明(暗)紋之間的距離。最后根據等厚條紋寬度變化，利用公式

(7)

即可求出楊氏模量。例如，文獻[18]中，利用等厚干涉測量法實驗測得鋼絲的楊氏模量為E=1.8×1011Pa，相對不確定度uE/E=27.78%。盡管該測量方法的相對不確定度偏高，但其也有一定的優點，如測量方法更加簡單，無需用到顯微鏡，不用考慮顯微鏡的回程差等問題，可以直接由肉眼進行觀測。若需要更高精度的數據可選用電腦進行圖像處理，也可作為一個綜合性實驗納入大學物理實驗。

第四種測量ΔL的方法是利用邁克耳孫干涉原理，其測量原理圖如圖4所示[19]。

當金屬絲在外加拉力(裝置中水杯的重力)的作用下，帶動靈敏杠桿的一端，靈敏杠桿的另一端帶動邁克耳孫干涉儀的動鏡M1，產生微小的移動，進而引起干涉圓環數目的變化，利用光電傳感器捕捉光信號進行自動記錄干涉圓環的“冒出”與“淹沒”，即可實現對微小位移的測量：

ΔL=h/n=kλ/2n

(8)

其中，k為條紋的條數；n=a/b為放大倍數(支點O將杠桿分為長度為a和b的兩部分，AO=a，BO=b)，λ為He-Ne激光的波長。經過推導，楊氏模量的測量公式可寫為

(9)

其中，F為拉力傳感器測量到的水的重力。

文獻[20]中對楊氏模量的測量也使用到了邁克耳孫干涉儀，不同的是其將經過擴束的半導體激光器更換為商用He-Ne激光器，使得干涉結果由同心圓環變成強度明暗變化的干涉，并將原本用于觀察干涉圓環的毛玻璃屏更換為強度探測器，該實驗的測量公式為

圖4 邁克耳孫干涉儀法測量楊氏模量實驗裝置圖

(10)

其中，λ為入射激光的波長；K=ΔN/F為單位拉力下探測到的干涉波峰(谷)的個數。實驗所用的材料可能是黃銅的未知材料，其楊氏模量為E=1.588×1010Pa，相對不確定度uE/E=0.57%。該測量方法相對傳統方法精度高、數據處理方便，同時將大學物理實驗中常用的邁克耳孫干涉儀與楊氏模量的測量聯系起來，啟發學生的創新思維，鍛煉學生的實驗綜合能力。

第五種測量ΔL的方法是雙縫干涉法，其測量原理圖如圖5所示[21]。這種方法的測量原理是將活動雙縫裝置安裝在楊氏模量實驗儀器的平臺上，鋼絲受力伸長帶動活動雙縫下移，引起狹縫間寬度改變，干涉條紋發生變化。

圖5 雙縫干涉法測量楊氏模量原理圖

文獻[21]報道了ΔL的計算公式為

(11)

其中，s0、s1分別是加砝碼前后狹縫的寬度；Δx0為相鄰兩明(暗)紋間的距離；Δx1為加上砝碼后相鄰兩明(暗)紋間的距離；D為雙縫到屏的距離；λ為激光的波長。利用如上所述的測量原理，最終得出楊氏模量的測量公式為

(12)

文獻[21]中，利用該原理實驗測得鋼絲的楊氏模量為E=1.97×1011Pa，相對不確定度uE/E=0.20%，該方法相對不確定度低，精度高，克服了光杠桿法讀數困難的缺點，簡化了實驗過程。

第六種測量ΔL的方法為數字激光散斑法，其測量原理圖如圖6所示[22]。

圖6 數字激光散斑法測量楊氏模量原理圖

其測量ΔL的原理為：利用激光照射被測物品，激光通過樣品漫反射后在空間形成散斑圖像，利用圖像傳感器檢測散斑圖像，分析材料形變時散斑圖像的變化，從而計算出材料的楊氏模量，散斑測量系統被測物實際移動位移d與圖像移動像素n之間的關系為

d=kn

(13)

其中，k=8.38×10-3mm/pix；這里的d就是鋼絲伸長量ΔL。再根據式(3)即可計算出楊氏模量。例如，文獻[22]利用此方法，實驗測得鋼絲楊氏模量為E=2.13×1011Pa，相對不確定度uE/E=8.92%。

另外，文獻[23]也利用了散斑技術測量材料絲的楊氏模量，測量原理為：用光電成像器件記錄待測物體做微小面內位移前后的散斑圖，通過數模轉換、Matlab疊加、傅里葉變換等過程，可觀察到楊氏干涉條紋，再進行處理就可得到待測材料的位移信息，即數字散斑照相術。該文獻測量得到的金屬絲楊氏模量為E=2.1783×1011Pa，相對誤差為Er=8.915%。

利用數字激光散斑法測量楊氏模量值的優點是測量精度高、光路簡單、易于操作、數據處理速度快等。

第七種測量ΔL的方法是數字全息比較法，其測量原理圖如圖7所示[24]。

圖7 數字全息法測量楊氏模量實驗原理圖

通過全息法對鋁板在微小外力作用下所發生的微小形變量進行測量，從而計算出其楊氏模量的值。實驗中分別拍攝鋁板發生微小位移前后的圖片，并將其干涉圖樣通過電腦再現出來。最終，楊氏模量的測量公式可寫為

(14)

其中，L為鋁板長度；b為鋁板寬度；Fy為自由端所施加的力；x為不同級數干涉暗紋所在處沿x軸方向的位置；α為拍攝記錄時入射光和反射光與位移方向的夾角。例如，文獻[25]利用這種方法測量得到鋁板的楊氏模量值為：E=7.48×1010Pa，相對不確定度uE/E=4.01%，相對誤差為3.9%。該方法相對于傳統光學全息法，不僅毋需化學試劑處理的繁瑣過程，縮短了測量時間，而且減少了由于傳統全息中曝光時間過長外界環境干擾因素對測量結果的影響，提高了測量結果的準確性。

第八種測量ΔL的方法是光纖傳感器法。其測量原理圖如圖8所示[25]。

圖8 光纖傳感器測量微小位移原理圖

由光纖傳感實驗儀發射光纖發出的光照射到反射面上，經反射面形成反射錐體，當接收光纖在反射錐體內，便能接收到反射光，因此一部分反射光由接收光纖傳回到光纖傳感實驗儀的探測器上，經過光電轉換元件將接收到的光信號轉化為電信號，通過檢測反射光的強度變化，就能測出反射體的位移。這種方法中，通過將金屬絲作為反射體，則可測量出拉伸下的微小位移量，從而通過公式

(15)

來測量得到楊氏模量值。其中，L為金屬絲長度；g為重力加速度。例如，文獻[25]利用這種方法測量鋼絲的楊氏模量值為E=1.97×1011Pa，相對不確定度uE/E=2.03%。該方法的優點是精確度高，實驗過程簡單方便，數字化儀器可使讀數更精確，進而減小實驗誤差。

第九種測量ΔL的方法是光柵衍射法，其實驗原理圖如圖9所示[26]，該實驗將待測材料與光源相連接，初始時光柵第k級衍射光與望遠鏡平行，而待測材料產生微小伸長量ΔL的同時光源發生小角度Δθ的轉動，要使光柵第k級衍射光再次與望遠鏡平行，則需要光柵轉動α，可得到Δθ與α的關系：

圖9 光柵衍射法測量楊氏模量原理圖

(16)

其中，θ為初始入射光與水平方向的夾角。從而測出待測材料的微小伸長量ΔL：

(17)

該方法設計新穎，可行性較高，而且對于微小角的放大倍數很高，大大提高實驗精確性。

以上，即為目前報道的9種利用光學測量原理實現的楊氏模量測量實驗概況。結合部分已報道了測量精度的文獻，表1給出了針對楊氏模量測量相對不確定度及其優缺點的比較匯總，由表中可看出拉伸法測量楊氏模量的普遍缺陷是其實驗裝置穩定性低，鋼絲伸長存在延遲導致誤差。

表1 光學方法測量楊氏模量的相對不確定度及優缺點對比

從表1中可以看出，文獻[21]報道的雙縫干涉法的相對不確定度uE/E最低，可達到0.20%，其次是文獻[20]報道的邁克耳孫干涉法，為0.57%；文獻[20]報道的等厚干涉法的相對不確定度最高，達到了27.78%。

從實驗操作方面而言，雙縫干涉法與光纖傳感器法都較為簡便，實驗步驟清晰。在實驗構想方面，除了光杠桿法，其他測量方法都將微小量的放大與其他光學技術(實驗)結合在一起，在簡化實驗步驟的同時，又具有綜合性，可進一步培養學生創新能力，增強學生綜合素質。

2.1.2 電學測量法

電學測量法的主要原理是利用金屬的導電性來進行ΔL的測量，因此電學測量法只適用于金屬絲材料，目前報道的有直流雙臂電橋法[29]、惠斯通電橋法[30]、RLC串聯交流諧振法[31]、非平行板電容法[32]等。

第一種測量方法是直流雙臂電橋法，其實驗裝置如圖10所示[29]。

圖10 直流雙臂電橋測楊氏模量的實驗裝置圖

將金屬絲接入雙臂電橋的一路橋臂中充當該橋臂的電阻，其他都接入已知電阻，則可以通過公式Rx=R1Rn/R2來計算出金屬絲的電阻值，又由于“同一材料的導體，其電阻與導體的長度成正比，與導體的橫截面積成反比”[33]，即公式ΔR=ρΔL/A， 當金屬絲發生微小伸長時，其電阻也會改變，由于金屬絲電阻已通過雙臂電橋簡單測出，進而其楊氏模量測量公式為

(18)

其中，ρ為導電系數；ΔR為電阻變化量。文獻[29]中測得碳鋼的楊氏模量值為E=2.00×1011Pa。

該測量方法的優點是實驗方法簡便，測量數據符合精度要求；將金屬絲楊氏模量的測定實驗與雙臂電橋測微小值電阻實驗綜合成一個實驗，保證了實驗質量，提高了實驗效率,豐富了實驗內容，開闊了學生的視野。但其缺點是，實際上金屬絲伸長時其長度和橫截面積均改變，而該實驗中假設其伸長前后面積不變，會造成一定誤差。

第二種測量ΔL的方法是惠斯通電橋法，其電路原理如圖11所示[30]：

圖11 惠斯通電橋示意圖

其原理是將金屬絲接入電路作為惠斯通電橋的一路橋臂，根據電阻的微小變化測得金屬絲的微小伸長，該方法下的楊氏模量計算公式為

(19)

其中，KS為應變片絲柵的靈敏系數；R10是鋼絲的初始電阻；US是電源初始電壓；R2為電橋中鋼絲的相鄰橋臂；ΔUBD為電橋兩端點間的電壓變化量。

該實驗引入了應變片，使得鋼絲的形變轉換成應變片的電阻值，從而將電阻的變化放大，待測電壓的值變大，文獻[30]測出的實驗結果為E=2.13×1011Pa。利用該原理測量楊氏模量的優點是：(1)實驗考慮到金屬絲拉長后長度、面積對電阻都有影響，數據精確，誤差小；(2)實驗使用應變片來放大電阻變化，提高精確度。

第三種測量ΔL的方法是采用RLC串聯諧振法， 其實驗裝置如圖12所示[31]。

圖12 RLC串聯諧振法測量楊氏模量實驗裝置圖

將RLC串聯交流諧振電路的電感替換成自制的密繞長螺線管，將待測金屬絲穿過磁棒，并用夾子將磁棒固定在金屬絲適當位置，并保持磁棒在螺線管中下部位置，且將螺線管豎直放置。當金屬受外力時，金屬絲會產生細微伸長，進而帶動磁棒在長螺線管內伸長，文獻[34]報道了電感變化量與螺線長度變化量的關系：

ΔL0=μ0n02(μr-1)SΔL

(20)

其中，ΔL0為電感變化量；ΔL為螺線長度變化；Δf0為諧振頻率變化量；μ0為真空磁導率；μr為相對磁導率；n0為螺線管線圈匝數；S為磁棒的截面積。利用該原理測量楊氏模量的公式可寫為

(21)

其優點是原理簡單、精度高；有較強的抗干擾能力，穩定性好。

第四種測量ΔL的方法為非平行板電容器法，其實驗裝置如圖13所示[32]。

圖13 非平行板電容器法測量楊氏模量實驗裝置圖

其原理是使用3個電容器板構成兩個電容器，其中上下兩板平行且固定，中間板可繞中心轉動些許角度，初始位置與上下板平行，將鋼絲下端與中間板端點連接，鋼絲發生微小伸長時，電容板會有小角度轉動，測量電容改變量即可計算出鋼絲的伸長量：

ΔL=Dθ

(22)

其中，D為電容器轉軸到鋼絲的距離；θ為平行板轉動角度。最終利用該原理測量楊氏模量的公式可寫為

(23)

文獻[32]中對鋼絲的測量結果為E=1.98×1011Pa，相對不確定度uE/E=21.72%。盡管測量得到的相對不確定度較高，但其優點是測量方法新穎，結合了非平行板電容器，知識涉及廣泛，較有綜合性。

以上為目前利用電學測量原理進行楊氏模量測量的方法概況，上述4種方法中，只有非平行板電容器法[32]給出了相對不確定度：uE/E=21.72%，其相對不確定度偏高，值得繼續研究改進。其余3種方法都利用了常用的電橋、電感原理，適合作為教學實驗開展。在實驗操作方面，電學測量法比光學測量法更加簡便，尤其是在數據處理方面，不需要處理過多數據，且電學測量穩定性更好。

2.2 動態共振法

除了靜態拉伸法測量楊氏模量值外，動態共振法也是一種普遍使用的楊氏模量測量法，多適用于棒狀材料等難以拉伸的脆性材料，文獻[35]根據固體材料的動力學方程推導出動力學下楊氏模量的測量公式：

(24)

其中，L為材料絲的長度；d為材料絲的直徑；m為質量；f為固體材料的固有頻率。

根據式(24)可知，材料的固有頻率和楊氏模量有關。由于固有頻率與共振頻率數值相等，因而利用動態共振法測量楊氏模量的關鍵為用各種不同方法測量材料的共振頻率，進而實現材料楊氏模量的測量。

一般動態共振法的實驗裝置如圖14所示[35]。

圖14 動態共振法測量楊氏模量實驗裝置圖

其實驗原理為：給試樣加機械振動，當信號發生器的頻率不等于試樣的共振頻率時，試樣不發生共振，示波器上幾乎沒有信號波形或波形很小。當信號發生器的頻率等于試樣的共振頻率時，試樣發生共振，示波器上的波形突然增大，這時讀出的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率[35]。改變支撐點位置，記錄不同位置的共振頻率，用外延法或內插法找出節點處共振頻率，利用式(24)便可計算出試樣的楊氏模量。

例如，文獻[36]利用智能手機上的Spectrum Analyzer軟件來進行共振頻率的讀數，測得銅棒的楊氏模量E=10.45×1010Pa，相對不確定度uE/E=3.83%，該方法增加了實驗的可操作性和趣味性，簡化實驗儀器，減小實驗操作的難度。

除了如上所述一般的測量方法，還有幾種較為創新的動態測量法。

首先是激光雙光柵法測固體材料的共振頻率，其實驗裝置如圖15所示[37]，主要原理是使激光器與銅棒產生共振，激光通過一固定光柵和與銅棒相連的動光柵，發生衍射，用示波器接收并處理衍射光，示波器的光拍數則對應輸出頻率，一個周期內拍頻數目最多時的頻率，即為共振頻率，再通過式(24)計算出黃銅棒的楊氏模量E=1.109×1011Pa，相對不確定度uE/E=5.6%。

圖15 激光雙光柵法測量楊氏模量實驗裝置圖

其次是負載動態法，其直接提出了細桿橫振動普適的定解問題，通過建立理想振動模型，導出了楊氏模量的計算公式[38]：

E=38.32l2ρf2/h2

(25)

其中，l是細桿的長度；ρ是桿的體密度；f是固有頻率；h是桿的厚度。

該方法通過在桿上不同位置加載砝碼或同一位置加載不同質量的砝碼來改變桿的共振頻率，通過光電門輸出信號到示波器來測量共振頻率，從而根據式(25)求出桿的楊氏模量。例如，文獻[38]中測得鐵桿的楊氏模量E=1.75×1011Pa，相對不確定度uE/E=1.14%。

利用負載動態法測量楊氏模量的優點是測量精度較高，相比傳統動態法測量楊氏模量，該方法不需要改變樣品長度，只需要改變負載的位置和質量，在測量大型桿或不易改變桿的長度時具有較大的優勢。但其也有缺點，例如該方法的推導過程比較復雜且專業性過高，不太適合大多數大學生在物理實驗中理解使用。

以上為目前利用動態法測量楊氏模量的方法概況，表2為數據匯總，從數據精確度方面，負載動態法[38]精確度最高，相對不確定度為1.14%；實驗方法上，手機軟件記錄數據[36]十分新穎，數據精確度也較高。相比于靜態拉伸法，動態共振法可以避免載荷大、存在弛豫過程等情況，且測量穩定性更高，實驗儀器更簡化。

2.3 梁彎曲法

對于片狀或塊狀材料，可采用梁彎曲法來進行楊氏模量的測量。目前，已報道的彎曲法測量楊氏模量的方法主要有光纖布拉格光柵測量法[39]、激光光杠桿測量法[40]、霍爾位置傳感器法[41]、單縫衍射法[42,43]等。

光纖布拉格光柵測量法主要使用到了FBG(纖芯折射率沿光纖軸向呈周期變化的光柵)，實驗原理如圖16所示[39]。將FBG傳感器粘到待測金屬片下面，使用三點彎曲法使待測材料產生微小形變，從而通過測量該形變進行楊氏模量的測量：

(26)

其中，a、b為壓力施加點與金屬片兩端的距離，a、b可取任意值；λB為布拉格中心反射波長；s為應變片粘貼位置到左端點的距離；k為光柵的應力靈敏系數。

圖16 光纖光柵傳感器測量楊氏模量實驗裝置圖

文獻[39]使用該方法測得銅梁的楊氏模量E=1.10676×1011Pa，相對誤差約為Er=0.6%。采用這種方法測量楊氏模量的優點是測量精度高，且具有普適性，可測量任意剛性固體材料的楊氏模量。

激光光杠桿測量法是用光杠桿的放大原理將材料的微小形變放大進行測量，實驗裝置可如圖17所示[40]，通過添加砝碼使測試材料發生彎曲，從而帶動平面鏡支點下移，使原本與水平光束垂直的平面鏡發生傾斜，則鏡面反射到墻上的激光光斑將隨之上移，通過光斑的位置變化計算實際的微小位移量，從而推導出楊氏模量的測量公式為

(27)

其中，a為梁的厚度；b為梁的寬度；d為刀口間距離；k是利用y=A+kM擬合而成的，M為砝碼質量。

圖17 激光光杠桿法測量楊氏模量實驗裝置圖

文獻[40]使用該方法測得鑄鐵的楊氏模量E=1.874×1011Pa。該實驗運用了激光器，比傳統測量方法簡便，操作直觀、準確、實驗率高。

圖18(a) 梁彎曲法示意圖; (b) 霍爾位置傳感器測量楊氏模量實驗裝置圖

霍爾位置傳感器測量法運用了霍爾位置器測量微小位移的原理，實驗裝置如圖18(b)所示[41]，將厚為a、寬為b的金屬板放在相距為d的二刀口上(如圖18(a)所示)，在金屬板上二刀口的中點處掛上質量為m的砝碼，板被壓彎，假設砝碼處下降ΔZ，即金屬板的微小形變量，使用霍爾位置傳感器來測量：

(28)

若dB/dZ為常數，ΔUH與ΔZ成正比。即當位移量較小(<2mm)時，霍爾電勢差與位移量之間存在一一對應的線性關系。

結合梁彎曲的力學推導公式，待測材料彎曲后的楊氏模量公式可寫為

(29)

文獻[41]使用該方法的測得鑄鐵的楊氏模量E=1.846×1011Pa，相對誤差為Er=1.7%。利用該方法測量楊氏模量的優點是，精確度較高，并且將楊氏模量的測量與霍爾位置傳感器結合起來，可提高學生的知識綜合能力。

圖19 單縫衍射法測量楊氏模量實驗裝置圖

將單縫衍射法和梁彎曲法相結合也是測量材料楊氏模量的方法之一，其實驗裝置如圖19所示[42]，測量原理是利用自制單縫裝置將梁彎曲產生的微小形變轉化為狹縫的縫寬變化，通過測量衍射條紋的變化得到負載不同時的玻璃板的微小形變，進而得出樣品的楊氏模量：

(30)

其中，a、b分別為待測材料的厚度和寬度；ΔZ為玻璃板中心的撓度；d為玻璃板兩支撐點之間的距離。

文獻[42]通過該方法測得玻璃板的楊氏模量為E=6.69×1010Pa，其相對誤差為Er=6.69%。另外，文獻[43]也利用該種方法測量了金屬棒的楊氏模量E=1.008×1011Pa，相對誤差Er=4.45%，實驗較為準確地測量了材料的楊氏模量，拓展豐富了測量楊氏模量的方法，培養學生利用所學知識自主創新的思維。

以上為目前利用梁彎曲法測量楊氏模量的方法概況，由于這幾篇文獻中都未提及相對不確定度，則用相對誤差來進行數據精確度分析(如表3所示)，可看出光纖布拉格光柵法的相對誤差最低，僅有0.6%；在實驗操作方面，激光光杠桿的操作最為簡便。

表3 梁彎曲法測量楊氏模量的相對誤差及優缺點對比

2.4 超聲波測量法

由于超聲波在軟組織中的傳播速度與軟組織的楊氏模量之間存在一定的關系，因此利用超聲波測量楊氏模量也是一種很好的方法。超聲壓縮波在試塊中的傳播速度與試塊楊氏模量之間的關系為[44]

(31)

其中，ν是被測材料的泊松比;ρ是被測材料的密度;cL是縱波波速。

例如，文獻[44]通過超聲波法測得到豬肌肉組織和豬肝臟組織的楊氏模量分別為1.84×107Pa和2.08×107Pa，實驗結果與預期值接近。

對于金屬材料，超聲波法也可有效測量其楊氏模量，其測量原理如圖20所示[45]。

圖20 回振法測超聲波示意圖

這種測量方法中，利用高頻脈沖發生器通過發射換能器產生超聲脈沖，試樣傳播一段時間后，被接收換能器接收，經放大、整形和鑒別后重新觸發高頻脈沖發生器，產生下一個超聲脈沖，使整個系統變成一個振蕩器。通過測量多次循環的傳播時間，用頻率計測得脈沖的重復頻率，從而計算出超聲波的傳播速度，進一步根據公式

(32)

來測得楊氏模量的值。其中，ρ為各同向性材料的密度；VT和VL分別為橫波波速和縱波波速。例如，文獻[45]就利用回振法測量超聲波在試樣中的傳播時間，然后計算出傳播速度從而得出楊氏模量的值。其測量得到密度7.837×103kg/m3的鋼的楊氏模量為E=2.0996×1011Pa(縱波法)和E=2.00039×1011Pa(橫波法)，測量值十分接近理論值。

由于超聲波具有穿透性強、無創性等特點，使用超聲波測量楊氏模量可以簡化實驗過程，節省時間，其多應用于醫學等專業領域相關楊氏模量的測量。

3 總結

本文對目前國內報道的楊氏模量測量實驗進行了詳細的綜述。通過調研和總結發現，國內報道的楊氏模量測量原理可分為4大類，分別為靜態拉伸法、動態共振法、梁彎曲法，以及超聲波測量法等。其中，靜態拉伸法大類里，又可分光學測量法和電學測量法兩小類。針對光學測量法，其可包含9種不同的測量楊氏模量的原理，分別為光杠桿法、莫爾條紋測量法、等厚干涉法、邁克耳孫干涉法、雙縫干涉法、數字激光散斑法、數字全息比較法、光纖傳感器法、光柵衍射法等。針對電學測量法，其可包含直流雙臂電橋法、惠斯通電橋法、RLC串聯交流諧振法、非平行板電容法等4種測量原理。動態共振法大類里，包含了傳統測量法、激光雙光柵法、負載動態法等3種測量原理。梁彎曲法大類中，包含了光纖布拉格光柵測量法、激光光杠桿測量法、霍爾位置傳感器法、單縫衍射法等4種測量原理。同時，超聲波速法也是一種通過測量超聲波在介質中的速度進而測量出楊氏模量值的一類方法。通過系統總結并詳細闡述上述提到的各種不同測量楊氏模量的原理及測量精度，本文還對部分實驗方法的優缺點進行了總結。希望本文的綜述結果，一方面為國內高校中學習本實驗的學生提供一個全面的參考資料，另一方面也為國內高校從事大學物理實驗教學的教師和對講課比賽感興趣的青年教師提供借鑒作用。