基于智能手機的靜電場描繪及模擬

林春丹 李秋真 張 程 張萬松 楊振清

(中國石油大學(北京) 1理學院； 2新能源與材料學院，北京 102249)

2020年以來，受新型冠狀病毒肺炎影響，教育部明確要求各高校延遲開學，以“停課不停學”為目標，組織開展線上教學，指導學生居家學習[1]。線上教學一般需要手機的輔助，小巧的智能手機變成必不可少的工具，尤其對于處理比較繁瑣的物理實驗數據也可以用智能手機輔助完成，因此引導學生在學習中嘗試利用智能手機對提高線上實驗教學效果有較好的作用。本文針對用模擬法描繪靜電場這一理工科學生必做的基礎實驗[2]展開研究。由于靜電場難以直接準確測量，通常利用電流場來模擬靜電場。實驗中一般采用雙層靜電場測試儀，通過探針在紙上打出電位相等的點[3-4]。實驗中數據處理的一個重要環節是測量各等勢線的半徑，并對U與lnr進行線性擬合[5]。傳統上一般由學生手動計算出半徑的平均值，并擬合U與lnr的線性關系，得出斜率值。此過程涉及的數據處理量大，計算過程復雜，且耗時較長。其他運用OpenCV軟件[6]、Origin軟件[7-8]、Matlab軟件[9-10]等計算機軟件進行數據處理的方法對學生的編程或軟件運用能力要求高，不易上手。同時，此類軟件安裝困難且計算機不便攜帶。這使得靜電場描繪實驗的數據處理過程具有一定的難度。

由此本文提出了基于智能手機中的相機及Geogebra軟件完成實驗數據處理的方法。利用Geogebra軟件實現了等勢點的坐標確定、等勢線的擬合、三維等勢面的模擬等過程。此方法可大幅減小實驗數據的處理難度，節約學生們的計算時間。同時，智能手機的普及和Geogebra軟件的開源性使得此方法具有較強的普適性，適合在疫情期間進行居家學習。

1 靜電場描繪實驗的原理及內容

1.1 用電流場模擬靜電場

靜止電荷產生的電場稱為靜電場。然而，由于靜電場中無電流，無法用常見的電流表進行測試。靜電式儀表又存在靜電感應的問題，會改變電場的原始分布，因此靜電場很難直接測量[8]。

恒定電流所產生的穩恒電場的基本特性與靜電場相同，且其中的電場分布容易測量，故可用恒定電流場來模擬靜電場[11]，即通過測量和描繪電流場中的電位分布來確定相應靜電場中的電位及場強分布。

1.2 真空中的圓柱形電容器

圖1 圓柱形電容器示意圖

本文主要針對兩個長直同軸圓柱型導體間的電場[12]進行研究。設長為l的圓柱形電容器(圖1)的內外極板的半徑分別為a和b(且a、b?l)，設其均勻帶有等量異號的電荷，線電荷密度的絕對值為λ。由于其對稱性，半徑為r(r>a)的圓柱面上電場強度的方向應沿著半徑方向，大小E應為常數，則由高斯定理可得：

(1)

令U為內圓柱面與半徑為r的圓柱面上一點p之間的電壓，則：

(2)

1.3 等勢線的測定與描繪

測量二維電場電位分布的實驗裝置示意圖如圖2所示，電路圖如圖3所示。裝置下部的電極間充以導電液P，在內外電極之間加上頻率為1000Hz的交流電，電壓有效值為U0。在兩電極間有電流流過，從而形成一組等勢線，其位置可通過電壓表和探針e測出[13]。

圖2 實驗裝置示意圖

圖3 電路示意圖

實驗步驟如下：

(1) 按圖3連好線路圖，在電極水槽中充以適量的水作為導電液，水的深度以稍沒過電極為宜。

(2) 接通電源，通過調節電源的輸出電壓和滑線電阻的分壓使兩電極間的交流電壓有效值為1.00V。

(3) 打出電壓表讀數為0.20V、0.30V、……、0.90V的幾組相差為0.10V等勢點。

(4) 將各等勢點連接，描繪出等勢線。

1.4 電力線的描繪

在靜電場中，電場強度矢量等于電位的負梯度。當畫出電場等勢線的分布圖后，就可在此基礎上描繪出電力線圖，在描繪時使電力線與等勢線處處垂直，且電力線的方向指向電位下降的方向。

2 人工數據處理

2.1 人工數據處理流程

靜電場描繪實驗的傳統數據處理方法需要學生手動描點、測量并計算。處理步驟如下：

(1) 將各等勢點連接繪制出等勢線，垂直于等勢線繪制電場線，確定圓心。圖4為學生手動描繪的等勢線及電場線圖。

圖4 手描的等勢線圖

(2) 在各等勢線中取四個點進行半徑的測量和記錄，并計算半徑的平均值及對數值。實驗數據的記錄與計算結果如表1所示。

表1 各等勢線的半徑值、半徑平均值及對數值

續表

(3) 在坐標紙上建立U-lnr坐標系，描點作圖并進行擬合, 擬合曲線如圖5所示，該曲線符合線性關系，計算得到斜率為0.55。

圖5 人工線性擬合圖

2.2 人工數據處理的弊端

人工數據處理過程涉及大量的數據測量、記錄和計算過程，處理過程復雜且耗時。且人工繪圖和確定圓心的過程存在較多不確定因素，計算過程中也存在精度的限制，帶來了一定的實驗誤差，難以保證實驗的準確性。

3 基于智能手機的實驗數據處理

3.1 Geogebra軟件的簡要介紹

Geogebra，簡稱GGB，是一款免費、開源且性能可靠的學習和教學的動態軟件[14]。它包含運算區、繪圖區、表格區等多個模塊以及代數、幾何、統計等多項功能。其數學表現豐富準確，且界面簡潔，操作方便，易學易用，占用內存小，學生可獨立完成安裝及操作過程。

3.2 基于智能手機的數據處理

3.2.1 打點圖的導入及定位

利用智能手機中的相機，1∶1拍攝打點圖。將拍攝圖片導入手機中的GGB軟件，根據實際打點圖中最外側等勢線的直徑值(單位cm)設定圖片的頂點位置，使圖形的像素坐標與實際坐標吻合。將圖片鎖定于坐標軸之上，則其在后續縮放或移動過程中會與坐標軸同步變化。

3.2.2 點的標定及圖像模擬

利用“標點”工具，可得到各點的坐標值。在每圈等勢線上選取連線接近正三角形的點進行標定，以保證圓心位置誤差及其對應的半徑標準差均為最小，即為“優質組合”[5]。標點過程中可將圖片進行放大并調整有效數字位數以保證標點的的準確性及精確度。在最內圈標出三點A、B、C，可自動顯示其坐標。利用“圓形擬合”工具，可得到最內側圓形的方程式及r2值。點的坐標及擬合結果如圖6(a)、(b)所示。

圖6 最內側等勢點的擬合結果(a) 點的坐標及圓的方程式; (b)擬合出的等勢線

對外側等勢點重復上述兩個步驟。最終得到一系列的等勢圓及其方程。利用“向量”工具可垂直于等勢線繪制出電場線，如圖7所示。

圖7 等勢線及電場線模擬圖

圖8 三維等勢圓柱面模擬圖(a) 正視圖; (b)斜視圖; (c) 剖面圖

利用“3D繪圖區”模塊中的“圓柱”功能，按照所得圓的方程建立三維立體等勢圓柱面圖。在此基礎上，用手指觸屏拖動三維圖形即可實現三維等勢面的平移或旋轉，圖8(a)、(b)、(c)分別為模擬出的三維等勢面的正視圖、斜視圖及剖面圖。通過上述操作學生可在各自的智能手機上進行立體圓柱等勢面的多角度觀察。

3.2.3 對數擬合

選中B、C兩列，進行“雙變量回歸分析”，選擇“對數”作為回歸模型進行擬合，則省去了計算半徑對數值的步驟，可直接得到U與r的擬合曲線及其方程，即圖9(b)中的y=0.13284+0.54068lnx，則U與lnr線性關系的斜率k值為0.54068。

圖9 手機軟件的擬合結果(a) 數據表格; (b)對數擬合曲線及方程式

根據式(3)，可計算得斜率k的理論值。擬合結果相比人工計算擬合的結果更為準確，二者與理論值的比較如表2所示，基于智能手機的擬合結果準確率提高了2.0%。

表2 兩種方法結果與理論值的比較

3.3 基于手機軟件進行數據處理的優勢

基于智能手機中的相機及GGB軟件進行靜電場描繪實驗的數據處理避免了手動處理時繁冗的數據測量、記錄和計算過程， 也無需學生攜帶或使用計算機，僅需一部手機即可完成整個數據處理過程。處理過程方便、快捷，且計算精度較高，保證了實驗的準確性。學生們也可在手機上觀察到靜電場的二維等勢線及三維等勢圓柱面，使得靜電場描繪實驗更加生動直觀。

此外，此軟件還可實現保存、導出圖片、分享等功能，學生們可以隨時保存數據處理結果，也可以利用智能手機中的多種社交軟件將文件傳輸給同學或老師進行文件共享或作業的提交等工作，在一定程度上實現了物理實驗的智能化和信息化，實現了疫情期間對物理實驗的的線上居家學習。同時，在新工科的建設背景下，將智能手機應用于傳統的物理實驗過程中可在一定程度實現“厚基礎”的升級創新。

4 結語

本研究將靜電場描繪實驗與智能手機相結合，使傳統的靜電場實驗實現了智能化計算模擬。改進后的靜電場模擬描跡實驗的處理方法避免了手動描線、計算半徑平均值、線性擬合等大量的數據處理過程，大大減少了計算量，節省了實驗時間，且保證了計算的精確度。本方法普適性強，能夠使學生們有效利用手中的智能手機，準確且高效地完成數據處理過程，并直觀觀察到二維等勢線與三維等勢面，使傳統的靜電場實驗變得簡易、生動且直觀，對實驗教學老師開拓思路也有參考意義。