Caputo 型分數階導數的一個離散格式

孫軼男 徐曉明 馮立婷

（東北大學，遼寧 沈陽110004）

1 Caputo 型分數階導數的離散格式

考慮只有時間t 得Caputo 型分數階導數的離散。

引入如下記號

在節點tn處由（1）可以得到

在[tk-1，tk]對u 作Hermite 插值，則

顯然有

將H"2，ku（t）代替u"帶入（2）得

誤差函數為：

令

由于

那么，由（5）有

應用分步求和公式

得：

令yk=u'k，k=1，2…n，由（8）有

我們知道其中誤差函數將（10）帶入（9）整理

其中誤差函數

2 離散格式的誤差

對于二次多項式H2，ku（t），它的誤差函數RH，k（t）=u（t）-H2，ku（t），1≤k≤N，有

將（14）帶入（6）

由于

我們有

由于

再將（11），（15）帶入（13）放縮整理有

3 結論

本文針對只含有時間t 的Caputo 型分數階導數，為分數階導數的離散提供了一個新的來源，并得到了O（τ3-β）的收斂階。利用本格式可以為以波動擴散方程為例的分數階偏微分方程提供新的差分格式，并得到收斂性與穩定性分析。