兩點邊值特征值問題的弱有限元方法

徐曉明 馮立婷 孫軼男

（東北大學，遼寧 沈陽110004）

1 概述

弱有限元方法可以看作是標準有限元方法的推廣，在變分方程中，經典導數被弱有限元函數上定義的弱導數所代替。這個方法的主要特點是可以使用完全不連續的有限元函數，而有限元函數在邊界上的值可能與單元內部的值無關。

本文將重點研究一維兩點邊值特征值問題的弱有限元方法。首先建立弱有限元空間，并給出一維兩點邊值問題的弱有限元近似；然后將這些結果應用于一維兩點邊值特征值問題的求解并給出誤差分析。

2 一維兩點邊值問題的弱有限元逼近

考慮一維兩點邊值問題的特征值問題：求實數λ 和函數u是滿足：

則該問題的等價變分問題為：求λ 和||u||=1 使滿足

現在考慮問題（1）的弱有限元逼近。在區間I=（0，1）上，對區間I 進行剖分：

在弱有限元的分析中，在剖分Ih上定義全局離散弱函數空間，空間如下：

下面在一維空間中定義弱有限元空間：

其中

現在給出（1）的弱有限元方程，對于uh∈Sh，有

那么一維兩點邊值問題的變分方程為，對于f∈L（2Ω），求Ω）滿足

則問題（5）的弱有限元逼近為：求uh∈Sh滿足

也即：u=Kf 是問題（5）的唯一解。

然后定義算子K 的弱有限元離散近似Kh：f∈L2（Ω）→（Khf）0∈Sh滿足

可得u=（Khf）0是問題（6）的弱有限元近似。

根據橢圓問題的有限元逼近理論得到

因為f∈L2（Ω），Khf∈Sh而不屬于L2（Ω）空間，所以我們需要引進一個新的算子。

根據上面兩個式子整理可以得到

3 特征值問題弱有限元逼近的誤差分析

證明：利用特征函數的正規正交性，有

綜合上述，得到

因此結論成立。

故得到