兩個非線性發展方程的精確解

馮立婷 孫軼男 徐曉明

（東北大學，遼寧 沈陽110004）

近年來，非線性科學飛速發展，許多非數學領域的現象可通過非線性方程的模型進行描述。因此，國內外眾多學者對于求解非線性方程進行了深入的研究[1-2]。隨著計算機科學的發展，求解非線性方程的精確周期解變得更加簡便。本文對于mKdV 方程[3-4]、KP 方程[5-6]通過修正映射法、拓展Jacobi 橢圓函數展開法進行研究，證明了兩種方法的有效性。

1 mKdV 方程的修正映射法

修正的Korteweg-de Vries 方程（以下簡稱mKdV 方程）

其中α 為自由參數。此方程在描述等離子的孤立子模型中具有重要作用。

假設mKdV 方程的行波解具有形式

經過行波變換，對φ（ξ）積分一次并取積分常數為0，可得

設方程具有以下形式的孤立波解

根據其次平衡原則，平衡方程（16）中線性最高階導數項與最高階非線性項，即m+3=3m+1，可確定孤立波解的階數m=1，于是方程（16）具有以下形式的解析近似解：

其中A0，A1，B1待定。根據修正的映射法，假設f 滿足下列方程：

也即

結合（19）、（20）式，可得

帶入（16）式，整理各次冪系數并令其為零，可以得到以下非線性代數方程組：

通過Maple 或Mathematica 軟件，可解得

將以上解帶入式（18），可得

當m→1 時，得到解：

③當f（ξ）=cn（ξ）時，p=2m2-1，q=-2m2，r=1-m2

當m→1時，得到解：

本章根據修正的映射法，對mKdV 方程為例，基于齊次平衡原則，求得了經典的孤立波解，對分析此類非線程方程描述的物理現象有積極作用。經過計算，修改的映射法還可以用于其他形式的非線性方程的求解。

2 Kadomtsev-Petviashvili 方程的拓展Jacobi 橢圓函數展開法

Kadomtsev-Petviashvili 方程（以下簡稱KP 方程）

其中α，γ，ε 為自由參數。此方程可以視為KdV 方程在高維情況下的推廣。

假設KP 方程的行波解具有形式

經過行波變換，對φ（ξ）積分兩次并取積分常數為0，可得

設方程具有以下形式的孤立波解

其中f（ξ）=sn（ξ），g（ξ）=cn（ξ）。根據其次平衡原則，平衡方程（15） 中線性最高階導數項與最高階非線性項，即m+2=2m，可確定孤立波解的階數m=2，于是方程（15）具有以下形式的解析近似解：

其中a0，a1，a2，b1為待定系數。根據Jacobi 橢圓函數的性質，求得：

將上式帶入（15），根據Jacobi 橢圓函數的關系，將（18）中gj（j=2，3…n）轉化為fi（i=1，2，…，n）的多項式，并令figi，（i=1，2，…，n；j=0，1）的系數為零，可得到方程組

當m→1 時，通過Maple 解以上方程組，可得以下情況：

下面分析各解的具體情況：

拓展的Jacobi 橢圓函數展開法借助Maple 軟件得到了如（21）-（22）的系列解析近似解，與參考文獻中已知使用混合指數方法得到KP 方程的解一致。相比較可知，拓展的Jacobi 橢圓函數展開法更為簡便，并可用于其他形式的非線性方程的求解。