數學思維在高中剪紙課中的運用

王玉姣 田文慧

【摘要】古希臘數學家畢達哥拉斯說：“美是和諧，整個天體是一種和諧，宇宙的和諧是由數組成的，因而構成了整個宇宙的美。”①一切美皆可理解為數之美。剪紙與數學這兩個看似風馬牛不相及的科目其實有著千絲萬縷的聯系。剪紙的形式美感包括的對稱與均衡、秩序與韻律、對比與統一等，這些都可以理解為“關系與數”。如果將數學思維融入剪紙課程，一方面可以使學生更加輕松地掌握剪紙的方法與特點；另一方面也可以利用學科的互補優勢鍛煉他們的思維能力、空間想象力與動手能力。

【關鍵詞】剪紙；團花；對稱；分形

【中圖分類號】G633.955 【文獻標識碼】A

剪紙是歷史悠久并深受廣大人民喜愛的一種民間藝術。現存最早的剪紙作品可追溯刀1500年前的南北朝時期，在那時剪紙就達到了相當高的水平。在民間，逢婚娶和新年，人們都會在墻壁、門楣、家具上張貼剪紙，它可以起到烘托喜慶氣氛的裝飾效果。近年來，隨著我們對即將失傳的民間技藝高度重視，2009年剪紙被列入“世界非物質文化遺產”名錄。為了能讓這些即將失傳的技藝代代傳承，包括剪紙在內的一批非遺項目走進中小學課堂。在高中如何開好剪紙課，讓高中生喜愛這項傳統藝術，是值得思考的問題。剪紙在紅與白的對比中展現獨特的形式美感，包括有對比與統一、秩序與韻律、對稱與均衡等。而這些都和數學有著內在的聯系。教師在教授剪紙時，可利用數學的相關知識與思維進行引導，從而達到事半功倍的效果。

一、團花折紙的函數思維

團花是一種古老的圖案，它的歷史由來已久。這種圖案外形為圓形或者花瓣形，骨架為“米”字形，即呈中心放射狀。圖案由一個或者多個圖形元素組合而成。團花剪紙因象征了團圓吉祥被廣泛運用于剪紙、織染、漆器、建筑裝飾等領域。目前發現的最早的團花剪紙是南北朝時期的《團花》與《對馬》。這兩件作品也是保留下來的最早的剪紙。

團花剪紙是多角折疊的對稱結構，最常見的有對折、四折、八折、十六折。這類對稱剪紙最簡單的制作方式是折剪，也就是先折后剪。而折紙的次數與展開后折痕（對稱軸）的數量有函數的關系。這個知識學生在初中階段學習《對稱軸》一節時有所涉獵，但是他們并沒有親自總結規律與函數公式。“用函數來思考”是數學家萊克因的一句名言，如果學生能通發現過折紙次數與對稱軸條數兩個變量間的內在關聯，對他們臨習和創作團花剪紙以及數學思維的培養都是大有裨益的。讓學生以自主探究或者小組合作探究的方式，親自折一折、數一數，并記錄下兩個變量的數據，學生就會得到如下一組數據：

這樣，學生就可以根據已知的一個變量，求得另一個變量，剪團花也就變得更加容易。

二、巧用對稱講剪紙

萬物皆數，在大自然中，和諧無處不在，美也無處不在，數也無處不在。比如，向日葵花種子從中心向外延伸的螺旋數量，構成了斐波那契數列；蜜蜂筑起的蜂巢是正六邊形；人和動物的對稱性結構……這些都是大自然的神奇魔力所造就的，在這些神奇的魔力中，最被我們熟悉的便是對稱。我們的祖先早在新石器時代就開始在作為實用器皿的陶器上追求對稱的美感。對稱給我們一種和諧、舒適的心理感受及充滿韻律的視覺體驗，被廣泛運用于建筑、工藝品制作、剪紙、織染之中。

在剪紙中，對稱形成了極具裝飾性的形式美。剪紙中都有哪些類型的對稱？它們都各自有哪些特點？這些對稱形該如何剪出來？如果引導學生理解了這些問題，他們創作的圖形就會更加豐富。

赫爾曼·外爾在《對稱》一書中將對稱歸為以下幾類：雙側對稱性、平移對稱性、旋轉對稱性、裝飾對稱性、晶體對稱性。②高中學段的學生已經對“對稱”有了一定的了解，在這一部分的講授過程中，可以充分利用學生已有的知識，適時提出一些新的名詞概念，從而達到“知新”的效果。

（一）雙側對稱剪紙

高中學生最為熟悉的對稱是軸對稱，即雙側對稱性。剪紙中的對折剪紙、十字對折剪紙以及一些對角剪紙都屬于這種。

這類剪紙有比較清晰的對稱軸，并且圖案沿對稱軸重合。所以其制作方法為先找出對稱軸，再進行折剪。關于折幾次可得到想要的圖案，我們在上文已經進行了介紹。可遵循由易到難的教學原則，先讓學生嘗試對折、對角，讓他們嘗試多角折剪（團花）。多角折減是難點所在，學生往往感覺難點在于他們不知道剪完展開之后會是一個什么圖案，所以多半只能進行偶然性的創作。多角折剪需要構思想象想要的圖案如何在已經折好的紙上剪出來。對熟練的剪紙藝人來說或許是心到手到，但對于剛接觸剪紙的高中生來說，他們需要對此進行思考和想象。這個問題的解決也需要數學思維。

首先，引導學生找出設計好的團花圖案的所有對稱軸，并標出來。對稱軸即是折痕，兩側對稱軸之間的圖案就是要剪的圖案。通過實踐學生能得出的結論為：剪團花圖案首先找出設計好的圖案的對稱軸，通過對稱軸的數量判斷折紙次數；然后在兩側折痕的中間部分畫出兩條對稱軸中間的圖案。這樣，剪完展開便是想要的圖案了。其原理是對稱軸兩側的圖案能完全重合。

（二）平移、翻轉對稱與連續紋樣

二方連續紋樣是以一個或者多個單位紋樣為單元，沿水平或者垂直兩個方向重復的紋樣，這種帶狀的紋樣稱為二方連續紋樣。在新石器時代的陶器上這種紋樣早已出現，在剪紙中，連續紋樣也是一種常見的圖案形式。

連續紋樣是單元紋樣的有規律排列，依據單元紋樣的特點，二方連續紋樣剪紙包括兩類：一類是單元紋樣呈對稱性，也就是相鄰單元紋樣對稱，單元紋樣本身也是對稱形。這類剪紙剪時需要找出兩個對稱軸，即單元紋樣之間的對稱軸和單元紋樣的對稱軸，先后兩次折疊后剪出；還有一類，是單元紋樣非雙側對稱性剪紙，這類紋樣雖然不是雙側對稱，但是如果將紋樣平移或者翻轉便能重合。學生在中學階段已經學習了平移、翻轉的幾何知識。對于這個特點，可讓學生用幾何中平移與翻轉思維對紋樣進行理解。這樣，他們便能夠更加清晰地總結出紋樣的特點。

三、分形幾何與剪紙圖案的形式美

二十世紀七十年代，曼德布羅特在其《大自然界中的分形幾何》一書中引入了“分形”這一概念③。自此，“分形”風靡全球并持續溫度不減。分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、空間等方面具有相似性，即是指局部與整體成比例縮小的關系。分形理論能解釋大自然的很多規律，比如大自然中蕨類植物的葉子的形態、雪花的形態等。正如伽利略所言：“數理科學是大自然的語言”。

在剪紙以及民間織染工藝中，有分形幾何特征的裝飾圖案也經常出現。關于分形，學生在高中階段的數學中題目中會有所涉獵，所以對于比如謝賓斯基三角形或者科赫曲線他們并不感到陌生。教師可利用分形幾何的特征引導學生發現這類圖案的特征與美感。

這類圖案的特征便是“自相似性”，即整體與局部是相似形，有規律的相似圖案展現出了極強的秩序感和韻律美。秩序感是形式美法則之一，秩序產生于重復，變化可以讓簡單的畫面呈現出豐富之美。貢布里希說：“審美快感來自對某種介于單調和復雜之間的圖案的觀賞，簡單重復的圖案難以吸引人的注意力，但過于雜亂的圖形則會使我們的知覺產生疲勞而影響并終止對它的欣賞。”④在二維圖案里，有三維的視覺幻象，能夠增強觀者的視覺記憶，增加美的感受。所以，剪紙是美的，數學是美的，大自然也是美的。

在具有分形幾何特點的剪紙紋樣教學中，教師可以充分發揮學科的綜合性，促進學生感性和理性思維的全面提升，并且要擅用已知拓展未知，從而起到“跳一跳，摘顆桃”的效果。

四、結語

本文以數學思維融入高中剪紙課為思路，分別闡釋團花折疊與函數思維、對稱與剪紙以及分形幾何與剪紙圖案。理性與感性是思維的雙翼，藝術與科學密不可分。高中階段是學生抽象思維發展的關鍵時期，也是學生獨立思考能力發展形成的重要時期。將數學的思維融入剪紙的教學，可以打破因學科獨立而產生的思想壁壘，讓知識有效的遷移，從而在學生的剪紙學習過程中產生意想不到的效果。

注釋：

①[法]萊昂·羅斑.希臘思想和科學精神的起源[M].桂林：廣西師范大學出版社，2003.

②赫爾曼·外爾.對稱[M].上海：上海科技教育出版社，2002：1.

③[波]伯努瓦·B.曼德布羅特.自然界中的分形幾何學[M].上海：上海遠東出版社，1998.

④貢布里希.秩序感—裝飾藝術的心理學研究[M].長沙：湖南技術科學出版社，1999：14.

作者簡介：王玉姣（1989-），女，漢族，山東聊城人，碩士研究生，研究方向：美術教育；田文慧（1987-），女，漢族，山東聊城人，本科學歷，研究方向：美術教育。