啟發式教學與立體幾何教學的結合

蘇孟琪

摘 要：以《直線與平面所成角》為例，通過探究實驗、信息技術手段、設置問題串作為線索等手段啟發學生，滲透類比、降維等思想，提高學生的邏輯推理能力。同時也存在線面角的引入缺乏直觀性、唯一性的討論過早等問題，從考試數據來看，學生找角的能力也較弱。

關鍵詞：啟發式教學;直線與平面所成角;信息技術

一、教學背景

（一）學生情況

在前面的學習中，學生已經掌握了空間中點、直線、平面之間的關系，學習了直線與平面平行的定義、判定定理以及性質定理，初步運用過“降維”的思想方法來處理一些問題。在這個過程中，學生的幾何直觀得到了進一步的發展，逐漸開始建立空間觀念。與此同時，學生本身的幾何知識水平仍然停留在平面幾何階段，并且立體幾何的圖形和人們日常生活的圖形結構存在一定的差異性，這使得學生更加不好理解立體幾何。另一方面，學生正處于從形象思維到抽象思維的轉折階段，邏輯思維能力不足，很難理解立體幾何知識點間的邏輯關系，只能通過死記硬背的方式去記憶，在解題的過程中，學生只能將公式定理當做模板去套用，沒有靈活性。因此，如何啟發學生主動探索是立體幾何教學的重點。

（二）教學情況

在學習立體幾何之前，學生進行了必修五《解三角形》和《數列》的學習，明顯表現出對《數列》學習的不適應性，一是不能抓住數列明顯的結構特征來聯系知識點解題;二是不能順暢地進行邏輯推理，涉及到多層推理的問題很多學生都選擇放棄;三是知識點間的聯系非常薄弱。這些問題到立體幾何部分更加嚴重，學生只能處理直接明了的證明題。

在立體幾何的證明中，學生的書寫非常混亂，輔助線的構建也很雜亂，這也從側面反映出學生在證明過程中的邏輯是比較混亂的。在平常的教學中，教師一般都是畫圖+實物演示結合進行教學，學生往往聽得似是而非，對定義定理的理解模棱兩可，沒有建立起一個具體的幾何模型。圖像與實物間也需要一條橋梁，幫助學生將平面圖像轉化成空間中的立體圖形，信息技術是最好的方式。

二、教學設計的特點

為了緩解或者解決上述問題，我的教學設計采用了啟發式教學，以“降維思想”為核心，首先通過復習讓學生回憶“降維”在立體幾何中的應用，然后圍繞選平面中的哪條線與斜線所成角來替代線面角展開，設計實驗先讓學生提出假設，隨后通過GeoGebra演示平面中不同的直線與斜線所成角的規律，然后得到結論。最后再利用數學符號語言對結論給予嚴格的證明。

這樣的研究符合知識發展和學生的認知規律，在這個過程中，學生既從直觀上理解了斜線與其射影在平面上所成角的優越性，也從邏輯上給出了嚴格證明，既有數也有形，多個方面幫助學生理解線面角的定義。

三、教學設計的優點與不足

（一）教學設計的優點

1. 以“降維”為核心設計問題串

學生對直線與平面所成角只有一個感性的認識，如何將這個感性的認識一步步剖析開，用理性思維去認識是設置問題串所需要解決的問題。

部分教學設計

教學環節 教學過程 設計意圖

【任務一：復習舊知】

【任務二：探究定義】

步驟一：

問題1：平面內的直線與斜線的位置關系是怎樣的？

問題2：用平面內哪條過斜足的直線與斜線所成角來刻畫直線與平面所成角？

情況一：用斜線在平面上的射影與斜線所成角來替代直線與平面所成角

情況二：不清楚應該用哪條

教師引導：我們回憶一下距離的定義，兩點間的距離和點到直線的距離我們都用的是最小距離來定義，用最小量定義是我們常見的定義方式，因此我們有了定義的方向，利用最小的線線角來定義線面角

步驟二：實驗探究

1. 提出問題：平面內哪條過斜足的直線與斜線所成角為最小角

2. 提出假設：斜線在平面內的射影與斜線所成角為最小角

3. 實驗探究：利用GeoGebra演示平面中不同的直線與斜線所成角

4. 實驗結論：

首先任務一通過復習引導學生回憶“降維”的思想方法，以它作為定義線面角的切入點，幫助學生找到研究的方向。

緊接著任務二中，第一個步驟利用問題1解決了與斜線異面的問題，進一步縮小了平面中的直線范圍，通過問題2和教師的引導幫助學生進一步確定選取直線的標準，同時提升學生類比的能力。第二個步驟的實驗探究在學生已經有了猜測的基礎上，通過信息技術將規律直觀展示給學生，幫助學生建立對定義的直觀感知。

在這樣的問題設計中，教師更多地扮演著引導者和啟發者的角色。教師通過關鍵的問題啟發學生讓學生自主思考，讓學生深入到定義里，從多個角度去研究去理解而不是浮于表面。

2. 使用信息技術，增添了直觀感知性

直線與平面所成角的定義中，為什么選擇斜線的射影是研究定義的核心，也是學生難以理解的地方，很多教師在處理時選擇先給定義，再嚴格證明解釋原因。在這個過程中，學生并沒有獲得直觀的圖形信息，因此嚴格的證明也沒有起到加強解釋的作用，對于學生而言更多的是增添了負擔。

基于這樣的情況，設置了一個實驗探究，教師利用GeoGebra軟件動態演示，選取不同的平面內直線，測量此時所成的線線角，再拖動直線的位置直觀呈現角度的變化。通過這樣的過程，學生能夠建立一個具體的模型，對定義也有了直觀的理解。

3. 例題設置較好，幫助學生多角度理解射影

當學生利用定義去求線面角時，找不到射影是學生最嚴重的問題。通過連接斜足和垂足來確定射影，因此問題就轉化為如何確定平面的垂線。

例1：如圖所示，正方體中，求：

（1）與面所成角的正弦值;

（2）與面所成角的正弦值;

（3）與面所成角的正弦值;

例2：如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，求與底面所成角的正切值。

兩個例題由淺入深，從學生最熟悉的正方體模型開始，讓學生感受并尋找正方體中的垂直位置關系，同時也讓學生意識到每個方向都有射影，找射影先找平面垂線。當學生逐漸熟悉找線面角的步驟后，再以棱錐為模型，并且已經給了平面的垂線，降低了習題的難度。

在習題設置上，先讓學生在熟悉的模型里面操作，熟悉的模型未知的內容少，難度低，學生能將注意力更多地集中于找線面角上。然后更換模型，稍微提高難度考察學生。在這樣階梯式的過渡中，學生能夠更好地掌握方法。

（二）教學設計的缺點

1. 教學中對找角的訓練不足

在本次期末考中，立體幾何內容共考了四題，其中有兩題與找角有關，年級得分情況如下表。

這兩道題屬于綜合性題目，找角是解決這兩個題目的關鍵。從上表數據以及考后反饋來看，學生要么是看到題目與找角有關就跳過，要么就是找不到角或者找到的角是錯誤的。

線面角是異面直線所成角研究的繼續，也是研究二面角的基礎。它在異面直線所成角的基礎上結合了平行和垂直的位置關系，更加考察學生的空間想象和邏輯推理能力。因此這節課的主要內容是線面角定義的生成，而難點是如何尋找線面角，但是如何尋找線面角只在習題中體現出來，學生的訓練不到位。

2. “最小角”的證明可能過早

學生觀察出斜線在平面上的射影與斜線所成角為最小角是很容易的，當有了這樣一個認知以后，線面角的定義也就呼之欲出了，嚴格地進行證明不是必須的，對于水平不同的班級，是否需要嚴格證明要視學生情況而定。

3. 射影強調不到位

射影是線面角的基礎，但是這份教學設計對射影只是匆匆略過，強調不到位影響后續練習效果。如圖所示，斜線與其在平面上的射影可以構成，因此可以利用直角三角形求線面角的正余弦值和正切值，計算量就小了很多。這個直角三角形要多加強調，讓學生加深印象。

四、教學設計的改進方案

針對上述問題，提出以下改進方案。

通過演示光從上往下照射，斜線在平面上留下影子，借此引出射影的概念，隨后教師進行板書，在黑板上演示一遍射影的畫法，最后強調此時形成了一個直角三角形。通過一系列的設問探究后得到線面角的定義，此時教師需要一邊復述定義，一邊畫出線面角，再次強調此時通過射影的定義形成了一個直角三角形，這能夠降低我們的計算量和計算難度。

找角作為學生的一大難點，一方面與學生的線面垂直的判定功力有關，另一方面也與不熟練找角的程序性操作有關。因此建議在給出線面角的定義后，給出學生找線面角的程序性步驟：第一步過直線上一點做平面垂線交平面于點，第二步連接斜足和垂足形成射影，第三步直線與所形成的角即為線面角。最后在練習中，按照這樣的步驟與學生一起尋找線面角，在練習中熟悉這個程序性步驟。

附件：導學案

2.3.1 直線與平面垂直的判定（二）

——直線與平面所成角

【學習目標】

1. 了解平面的斜線的定義，理解射影的概念

2. 掌握直線與平面所成角的概念，并會求直線與平面所成的角

3. 培養學生的讀圖、作圖的能力，培養學生的空間想象力，滲透類比，降維等思想

【學習過程】

一、復習舊知

復習線面垂直的定義和線面垂直的判定定理

二、探究新知