矩陣方程AX=B的求解方法

姜鵬 李揚

【摘要】本文敘述了當A為可逆矩陣以及A為不可逆矩陣或者不是方陣時，矩陣方程AX=B的求解方法。

【關鍵詞】矩陣方程 ?線性代數

【中圖分類號】O151 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）17-0126-01

矩陣方程是以矩陣為未知量的方程。在矩陣方程AX=B中，A、B為已知矩陣，X為未知矩陣。矩陣方程AX=B的求解問題，是線性代數中的一種典型問題，常用的求解方法主要分為如下的兩種類型。

一、A為可逆矩陣

當A為可逆矩陣時，用A的逆矩陣A-1分別左乘矩陣方程AX=B的左右兩端，可得其唯一解為X=A-1B。這種類型的矩陣方程，可細分為下列的兩種解法。

1.伴隨矩陣法

先分別計算A的行列式|A|和A的伴隨矩陣A？鄢，再通過公式A-1=A求出A-1，最后將A-1代入X=A-1B中，即可求出矩陣X。

2.初等行變換法

二、A為不可逆矩陣或者不是方陣

實際上，在計算矩陣方程AX=B時，并不知道矩陣A是否是可逆矩陣。在具體操作時，當A為方陣時，可以按照上述的做法，先求出|A|或者對（AB）施以初等行變換。如果|A|=0或者A化成的行最簡形矩陣不是單位矩陣E，這時就說明A為不可逆矩陣。

當A為不可逆矩陣或者不是方陣時，就需要將矩陣X中的所有元素都設為未知數，并將原來的矩陣方程轉化為關于上述未知數的線性方程組。這時，矩陣方程AX=B就不一定有解。

參考文獻：

[1]謝彥紅，吳茂全.線性代數及其MATLAB應用[M]. 第二版. 北京：化學工業出版社，2017年.

[2]毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納[M]. 第二版. 武漢：華中科技大學出版社， 2000年.

作者簡介：

姜鵬（1976-），男，漢族，遼寧沈陽人，碩士，講師，主要從事應用數學的教學和研究工作。