數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)中的體現(xiàn)

丁曉曉 譚希麗

摘 要：當(dāng)前，“核心素養(yǎng)”一詞在教育界成為熱門話題，對(duì)于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，幾節(jié)專門的文化素養(yǎng)課是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而是應(yīng)該滲透到各學(xué)科每一節(jié)課的教學(xué)中。本文以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”為例，淺談在整個(gè)教學(xué)過程中所能夠體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具體分別為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算，以此說明教師應(yīng)注重知識(shí)與素質(zhì)相結(jié)合的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)教學(xué) 等差數(shù)列 前n項(xiàng)和

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)集數(shù)學(xué)課程目標(biāo)于一體，是指基于教師的引導(dǎo)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所應(yīng)該達(dá)到的基本數(shù)學(xué)能力以及必要品格。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)成分：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。即不僅要使學(xué)生學(xué)會(huì)分析和處理問題，還要善于在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”一節(jié)不僅是進(jìn)行數(shù)列研究的敲門磚，也是高中階段的經(jīng)典課題。在講解求和公式時(shí)，往往是教師單方面講授，學(xué)生失去了思考的余地，這也就無法培養(yǎng)學(xué)生的思維，進(jìn)而記憶公式困難，機(jī)械記憶。下面就結(jié)合該節(jié)課談?wù)勗谧裱瓕W(xué)生的思維方式的同時(shí)如何體現(xiàn)出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)抽象，經(jīng)歷概念形成的過程

數(shù)學(xué)抽象是指從研究對(duì)象或問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性，得出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用符號(hào)語言表示。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)中，通過情景導(dǎo)入得出1+2+3+···+100的式子，將該式中每一項(xiàng)抽出來即構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列，設(shè)為{}，那么數(shù)列{}是以首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，此時(shí)1，2，3，···，100就是數(shù)列{}的前100項(xiàng)，則1+2+3+···+100為該數(shù)列的前100項(xiàng)的和，因此順理成章引出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義。

二、邏輯推理，感知從事實(shí)向命題的轉(zhuǎn)換

邏輯推理是指在依據(jù)嚴(yán)格準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)規(guī)則前提之下，從一些命題推出其他數(shù)學(xué)結(jié)論的素養(yǎng)。解決“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”這一問題的整個(gè)過程是從現(xiàn)實(shí)情境導(dǎo)

入，以一個(gè)特殊的等差數(shù)列為起點(diǎn)，得出1+2+3+···+100的求解方法，即高斯算法，之后啟發(fā)學(xué)生思考“高斯算法對(duì)于所有的等差數(shù)列求和問題是否都適用呢？”繼而教師給出1+2+3+···+21（奇數(shù)個(gè)數(shù)相加），直到一個(gè)一般的等差數(shù)列求和。具體過程為：

以上得出的過程，是先從學(xué)生比較熟悉的等差數(shù)列的和入手，循序漸進(jìn)過渡到一個(gè)一般化的等差數(shù)列的求和，這種形式順應(yīng)學(xué)生從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思維特征，體現(xiàn)了從特殊到一般的邏輯推理素養(yǎng)。

三、直觀想象，感受倒序相加法的意義

直觀想象包含兩個(gè)關(guān)鍵詞：“幾何直觀”和“空間想象”。在高中階段，幾何圖形關(guān)系的轉(zhuǎn)換、坐標(biāo)表示和圖像分析是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，這就表示學(xué)生要形成直觀想象的素養(yǎng)，必須借助于圖形直觀進(jìn)行深度數(shù)學(xué)思考和問題理解。通過高斯的首尾相加法能夠得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，但這種方法并不適合所有的等差數(shù)列求和問題，因?yàn)楫?dāng)加數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，兩兩配對(duì)會(huì)導(dǎo)致有一個(gè)加數(shù)被孤立起來，所以在這要引入一種簡(jiǎn)單的解決方法，即倒序相加法，但直接講授不符合學(xué)生的認(rèn)知方式，所以可以通過梯形的面積引入：若要求解第一個(gè)梯形的面積（實(shí)線所表示的部分），可將第一個(gè)梯形倒置，繼而形成了一個(gè)平行四邊形，平行四邊形面積除以2得到梯形的面積。

通過這個(gè)圖形引導(dǎo)學(xué)生理解倒序相加法的實(shí)際意義，將一個(gè)一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和式子倒置，即將（1）式與（2）式相加得：

通過讓學(xué)生直觀地觀察具體圖形，分析梯形面積的解決方法，進(jìn)而將等差數(shù)列求和與幾何聯(lián)系在一起，這樣就借助了幾何直觀來讓學(xué)生理解倒序相加法的應(yīng)用，能夠增強(qiáng)學(xué)生在具體情境中把握問題本質(zhì)的能力，并合理地在課堂教學(xué)中滲透了直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、運(yùn)算能力，領(lǐng)會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指以明確運(yùn)算對(duì)象和掌握運(yùn)算法則為基礎(chǔ)，對(duì)所要解決的問題計(jì)算正確結(jié)果的素養(yǎng)。在推出等差數(shù)列前n項(xiàng)和兩個(gè)公式之后，帶領(lǐng)學(xué)生加以鞏固其應(yīng)用。給出分別運(yùn)用兩個(gè)公式解決求和的問題以及已知知道幾個(gè)相關(guān)量，怎樣求其他量，在整個(gè)解題過程中，不僅可以鞏固學(xué)生對(duì)于公式的理解，并且能夠得出對(duì)于公式中涉及的5個(gè)相關(guān)量滿足“知三求二”。借助公式快速有效地解決問題，培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式，形成科學(xué)的價(jià)值觀和世界觀。

例：下列表格中的每一行為一個(gè)等差數(shù)列，是首項(xiàng)，為第n項(xiàng)，d是等差數(shù)列的公差，n是項(xiàng)數(shù)，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。

這個(gè)過程是課堂教學(xué)的必要環(huán)節(jié)，給出例題讓學(xué)生當(dāng)堂訓(xùn)練，趁熱打鐵，鞏固知識(shí)，讓他們學(xué)會(huì)選擇最適合的公式快速準(zhǔn)確地求得結(jié)果，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力。

因此，在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”一節(jié)課中體現(xiàn)出了以上四種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這也就說明，高中階段的每節(jié)內(nèi)容中都有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的身影，那么作為一線數(shù)學(xué)教師，面對(duì)炙手可熱的新一輪課程改革以及處于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的緊迫關(guān)頭，應(yīng)有意識(shí)地設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)過程，使學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)之中，開拓思維，形成能夠適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)終身學(xué)習(xí)和個(gè)人發(fā)展所需的必需品。

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