離散數學課程教學探索與實踐

摘 要：針對離散數學課程具有概念抽象、內容廣泛、知識點分散、邏輯性強、理論性強等特點，結合離散數學課程的教學現狀及學生的實際情況，優選教學內容，提出了“三個加強”的教學方法，并闡述了實際教學效果。

關鍵詞：離散數學;課堂教學;教學效果

隨著信息時代的到來，工業革命時代以微積分為代表的連續數學占主流的地位已經發生了變化，離散數學的重要性逐漸被人們認識。一方面，在構建各種計算模型的過程中，首先需要將現實問題轉換成離散的存儲和表示方法，這樣才能被計算機“理解”和“接受”，進而才能進行處理操作;另一方面，離散數學離不開集合論、圖論等數學知識，所以離散數學是“計算機科學的數學基礎”，是構筑在數學和計算機科學之間的橋梁，是計算機和軟件相關專業的基礎必修課，甚至也被人們稱為是“計算思維的體操”。

1 離散數學課程的教學現狀及教材分析

離散數學是信息與計算科學專業的一門重要課程，具有嚴謹、系統的理論體系。離散數學課程的主要目標是培養學生的抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力，所以該課程以概念多而抽象、定理多而枯燥、理論知識強而豐富為其特點，要求學生具有較強的數學思維。在學生看來，離散數學是非常難以學懂的一門課程。

我院為信息與計算科學專業學生將離散數學課程安排在大學二年級第一學期，共48學時，選用的教材是高等教育出版社屈婉玲、耿素云和張立昂出版的《離散數學》第2版。全書分為六大部分，分別是數理邏輯、集合論、代數結構、組合數學、圖論、初等數論，共19章[1]。根據本專業的培養目標和其他課程開設的時間，基于離散數學課程的分配學時以及學生實際學習情況，我們將數理邏輯、集合論、圖論這三個部分作為教學內容。

2 教學方法的探索與實踐

2.1 加強實例化教學，將抽象內容具體化，加深學生對知識的理解

在離散數學這門課程講解中，有很多的概念、知識點，需要結合實例幫助學生理解。例如在講到蘊含式p→q的取值情況時，學生不大明白當前件為真時，后件無論是真還是假，蘊含式都為真。其實這是一種“善意的規定”，在生活中，張三對李四說：“如果我去圖書館，一定幫你借那本書。”張三因為忙或別的原因，沒能去成圖書館，李四認為張三的話是對的，只是他沒能去成圖書館而已。通過這樣的講解，不僅使學生容易理解，也傳遞給他們“人之初，性本善”的做人理念。再比如講到排中律時，A∨A1，就反映了一個真理：在同一個思維過程中，兩個相互否定的思想必有一個為真。同樣的道理，等值式A∧A0即矛盾律又反映了另外一個哲學思想：在同一個思維過程中，兩個相互否定的思想不能同時為真。又如在講一階語言時，函數和謂詞是兩個容易混淆的概念，實際上，函數是用來表示個體常項和個體變項。如謂詞P（x）：x是教授，函數f（x）：x的父親，個體常項a表示張三，那么P（f（a））則表示“張三的父親是教授”，在這里引入的函數f（x）只是為了表示更復雜的個體變項。通過具體的例子，使學生將函數和謂詞正確區分。這樣種種的輔助解釋，會讓學生覺得學習不再枯燥，也很有用，學習起來也很輕松[2]。

2.2 提出學生感興趣的問題，加強學生學習的興趣

面對離散數學這門極具抽象性和理論性的課程，教師如果能選擇一些學生感興趣的問題，來吸引學生主動去思考問題，進而理解和掌握新知識，教學效果將事半功倍。

以一階邏輯引入為例，首先提出蘇格拉底三段論，即“凡是人都要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的”。由于在命題邏輯中，只能用p、q、r分別表示“人都要死的”，“蘇格拉底是人”，“蘇格拉底是要死的”3個命題，上述推理可表成（p∧q）→r，顯然這個命題公式不是重言式，所以不能判斷該推理的正確性。在這一推理中，各命題之間的邏輯關系不是體現在簡單命題之間，而是體現在命題結構的更深層次，由于在命題邏輯中不能很好地描述“凡”字，即對蘇格拉底三段論命題邏輯是無能為力的，這正是命題邏輯的局限性。所以需要引入量詞，才能對簡單命題進一步分析或者對命題進行細化，才能更好地反映現實世界中人們所使用的推理模式，這樣的引入一方面使學生有了興趣，另一方面也體現出離散數學這門課程的實用性。

2.3 開展以學生為主體、教師為主導的教育模式，加強學生的主體地位

為了激發學生的學習熱情與創新意識，教師應選擇靈活多樣的授課方式，建立“以學生為主體、教師為主導”的教育方式。比如在講解新課之前，教師可以事先指導個別學生，帶領他們提前學習，掌握重點和難點。在課堂上，教師可以與這幾位學生分工完成新課的講解。例如，在講到關系的五種性質成立的充分必要條件時，由于每一種性質都有其充要條件，僅僅由教師一人完成推導證明是非常枯燥的。因此，教師首先引導學生如何完成證明即給予他們思路，其次可以采用分組討論并交給學生站在講臺上來完成。筆者在教學實踐中發現，這樣的教學安排改變了傳統的“教師講、學生聽”的模式，明顯的是，學生很積極很愿意作為講解者的身份完成這部分的學習，教學效果不言而喻。除此之外，教師也應當鼓勵其他的同學，讓他們在后面的學習中把握機會，多上講臺展示自己，充分發揮自己作為學習者的主體地位。

3 結語

實際教學效果表明，雖然離散數學是一門理論性、抽象性都比較強的課程，但是只要教師能夠很深刻地理解概念、定理，很系統地掌握各個部分之間的聯系，能夠有效結合具體實例，將抽象內容具體化，能夠提出學生感興趣的問題，調動學生學習的積極性，同時能夠開展以學生為主體、教師為主導的教育模式，學生學習這門課程的積極性、學習效果以及他們的思維能力和專業素質等一定會有提高。

參考文獻：

[1]屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]徐志敏.問題驅動的離散數學教學方法研究[J].德州學院學報，2014（4）：13-15，24.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11371293，11501419）;渭南市2019年度重點研發計劃項目（2019ZDYF-JCYJ-118）;渭南師范學院教育科學項目（2017JYKX004）;渭南師范學院教改項目（JG201701）

作者簡介：屈改珠（1978-），女，漢族，陜西蒲城縣人，博士，副教授，研究方向：微分方程。