從一道中考題說自然解法特征

宋大春

【摘 要】二次函數(shù)的定點(diǎn)問題往往是學(xué)生解題困惑比較大的一類問題，本文通過一道中考題，歸納出解這類題目的方法，如何理解這些方法才能讓學(xué)生更容易接受。從認(rèn)知來看，自然接發(fā)遵循“最近發(fā)展區(qū)”以及建構(gòu)主義的教學(xué)理念。

【關(guān)鍵詞】自然解法;通性通法;定點(diǎn)

由于是廣州中考24題的中考題，是壓軸部分的題目，學(xué)生的得分不高，特別是這個(gè)問題的第二個(gè)問，但這道題的第二個(gè)問難度其實(shí)不大。而從解答的情況來看，學(xué)生對(duì)定點(diǎn)問題還是比較陌生，不知道定點(diǎn)是如何形成，以及如何去求定點(diǎn)，對(duì)于這道小題，很多同學(xué)是無從下手的。本文就本道題談?wù)劧c(diǎn)問題的解決方法，同時(shí)從這道題的方法看自然解法的特征。

一、題目分析

【原題】已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

對(duì)于一道含參數(shù)的二次函數(shù)，學(xué)生往往沒做就恐懼和無從下手，以致對(duì)這種題有回避情緒，沒有上陣就敗下來了，究其原因，是學(xué)生難于確定題目的思維起點(diǎn)。本道題大概有三種解法。

（一）解法的比較

1.驗(yàn)證特殊點(diǎn)

含參二次函數(shù)的定點(diǎn)就是當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，而有些點(diǎn)卻恒定不變，這就是定點(diǎn)。所以給定參數(shù)兩個(gè)值，得到兩個(gè)無參數(shù)函數(shù)，這些得到的特殊無參數(shù)函數(shù)也是經(jīng)過一些公共點(diǎn)即交點(diǎn)，采取的措施就可以聯(lián)立解方程，解得的點(diǎn)就是公共點(diǎn)，也即可判定這些公共點(diǎn)就是定點(diǎn)。

證明：當(dāng)m=1時(shí)，y=x2-x-2

當(dāng)m=-1時(shí)，y=-x2+3x+4

聯(lián)立兩方程 x2-2x-3=0

解得：x=3或x=-1，

當(dāng)x=3時(shí)，y=4，定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）;

當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，定點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），

∵P不在坐標(biāo)軸上，

∴P（3，4）;

如果拋物線族過某個(gè)定點(diǎn)，其中的兩條拋物線也必過這個(gè)定點(diǎn)，確定兩個(gè)參數(shù)的特殊值，然后求這兩條拋物線的交點(diǎn)。但是弊端也比較明顯，就是這種方法是不完全，求出來的點(diǎn)就可能是定點(diǎn)了。求出的定點(diǎn)是這兩個(gè)構(gòu)造新的特殊的函數(shù)的定點(diǎn)，但不一定是含參函數(shù)的定點(diǎn)。同時(shí)，交點(diǎn)也可能有多個(gè)，需要繼續(xù)排除。由于特殊值法不具有普遍性，這種方法更適合于填空題和選擇題。

2.主參換位法

在解題中，當(dāng)遇到二次函數(shù)里含有未知參數(shù)時(shí)，這種情況往往會(huì)迷惑學(xué)生，讓學(xué)生找不到切入口。如果注意到換位思考，如果讓這些參數(shù)不起作用時(shí)，對(duì)函數(shù)沒有影響時(shí)，反客為主，在參數(shù)不起作用的情況下求出的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是我們要找的定點(diǎn)。比如把原式變形為y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與m無關(guān)，解得x=3或x=-1（舍去，此時(shí)y=0，在坐標(biāo)軸上），故定點(diǎn)為（3，4）;

證明：∵拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m，

∴y=m（x2-2x-3）+x+1，

拋物線過定點(diǎn)說明在這一點(diǎn)y與m無關(guān)，

顯然當(dāng)x2-2x-3=0時(shí)，y與m無關(guān)，

解得：x=3或x=-1，

當(dāng)x=3時(shí)，y=4，定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）;

當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，定點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），

∵P不在坐標(biāo)軸上，

∴P（3，4）;

方法歸納：就是集中含有參數(shù)的項(xiàng)，通過變形使其成為只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個(gè)只含x的因式之積的形式。令含變量的因式等于零，這時(shí)含參的因式乘以零得零，以使其對(duì)整個(gè)式子不起作用，即是與參數(shù)無關(guān)。沒有參數(shù)影響的情況下，求出的點(diǎn)就是定點(diǎn)，是參數(shù)為任何值時(shí)，都存在的點(diǎn)。

3.定參求交點(diǎn)

函數(shù)恒過一定點(diǎn)，可聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，求出公共點(diǎn)，即是所求定點(diǎn)。但要求這個(gè)參數(shù)有一定的代表性。

證明：若m1，m2分別是m的兩個(gè)值，

y=m1x2+（1-2m1）x+1-3m1，

y=m2x2+（1-2m2）x+1-3m2，

∴m1x2+（1-2m1）x+1-3m1=m2x2+（1-2m2）x+1-3m2

（m1-m2）x2-2（m1-m2）x-3（m1-m2）=0

x2-2x-3=0

x1=-1，x2=3

當(dāng)x=3時(shí)，y=4，定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）;

當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，定點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），

∵P不在坐標(biāo)軸上，

∴P（3，4）;

本道題其實(shí)有點(diǎn)類似第一種方法，也是兩個(gè)“特殊值”，只不過這里的特殊值是字母，更具有普遍性。也有點(diǎn)類似第二種方法，最終還是通過乘法性質(zhì)，使參數(shù)在函數(shù)中消失，使其參數(shù)與函數(shù)無關(guān)然后求定點(diǎn)。

（二）思路分析

初步閱讀題干，發(fā)現(xiàn)本題是以二次函數(shù)為背景命制的一道定點(diǎn)問題。

以上三種的解法，各有不同的側(cè)重點(diǎn)，方法一是最容易做到，“特殊值”法多用在選擇題和填空題。第二種和第三種更適合解決解答題，其回答更合理，兩種方法也有異曲同工之處。

第二種方法，獲得與參數(shù)無關(guān)的方程解決，第三種方法由于求交點(diǎn)，學(xué)生接觸更多，也更容易理解。

一題多解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常用方法，能讓學(xué)生多方面理解問題，多方面比較方法，認(rèn)識(shí)方法，能喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

（三）思考

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐的目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)教育家波利亞說“數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)的活動(dòng)中，面對(duì)具體問題不同的人有不同的解題過程，但是解題過程也需要有一個(gè)“有法可依”的實(shí)施步驟。

解題的目的不僅是獲得答案，更重要的是在解題中，對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，和思想方法的提煉。對(duì)該題的多個(gè)解答中，學(xué)生獲得函數(shù)定點(diǎn)的特點(diǎn)，在解答過程中，獲得函數(shù)之間的知識(shí)聯(lián)系，內(nèi)化為認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，提高分析問題的能力。

解法自然的角度來看，對(duì)于試題的分析，對(duì)待定點(diǎn)的看法，第三種方法對(duì)于初中學(xué)生更容易理解，第二種方法更適合習(xí)得課外知識(shí)的學(xué)生，但無優(yōu)劣之分，只是解題者所處的環(huán)境不同，能力不同，知識(shí)儲(chǔ)備不同，學(xué)習(xí)的經(jīng)歷不同，因此在解題思路上也有所不同，形成自己的自然解法。正如數(shù)學(xué)家波利亞《怎樣解題》說：“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成的”。我們還有很多東西可以回顧，

二、自然解法的特征

自然解法是經(jīng)過分析，能自然找到解題的切入口，條件和結(jié)論自然結(jié)合，獲得一個(gè)容易理解，順暢的思路的解法。

（一）自然解法是通性通法

章建躍教授說過，數(shù)學(xué)的通性就是概念所反映數(shù)學(xué)的基本性質(zhì)，通法就是概念所蘊(yùn)含的思想方法。通性通法就是一種普適性的方法，它所對(duì)應(yīng)的就是一些沒有普適性，需要一些技巧的方法。片面追求技巧，往往讓學(xué)生不能理解，同時(shí)由于技巧的特殊性，增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)。所謂“技巧微不足道也”。

在解題教學(xué)中關(guān)注通性通法的教學(xué)，才能做到舉一反三，觸類旁通。解題中，最基本的思想方法，就是最自然的方法。它們都是讓學(xué)生達(dá)到理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)為目的。上面的解題思路其實(shí)的關(guān)鍵就是與系數(shù)無關(guān)和求交點(diǎn)的思路。所以具備通性通法的解法，也是自然解法的特征之一。

（二）自然解法，就是抓住問題的本質(zhì)，概念的核心

數(shù)學(xué)解題通常就是把復(fù)雜問題簡單化。這種自然解法，就是避免把問題復(fù)雜化。抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，就是對(duì)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)思想的理解。解題過程的自然首先要縱向?qū)ふ翌}目中的條件可直接衍生的簡單結(jié)論和次生條件，再從橫向?qū)ふ覘l件之間，條件、簡單結(jié)論和次生條件之間可能的邏輯關(guān)聯(lián)，同時(shí)也尋找這些與結(jié)論之間有可能的關(guān)聯(lián)和潛在的邏輯關(guān)系。這里經(jīng)常用的就是綜合法和分析法通過分析條件和結(jié)論來尋找解題思路。就好像章建躍所指那樣：要逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系出發(fā)和解決問題的習(xí)慣，這是發(fā)展思維能力的正道。在解題中抓住核心概念，方璞歸真，才是順其自然，對(duì)問題的認(rèn)知是從基本概念及其性質(zhì)、原理，最后觸及該問題的本源。

其中符合學(xué)生心理，學(xué)生能最先找到的就是自然解法。所以說數(shù)學(xué)教學(xué)中多鼓勵(lì)學(xué)生展示自己的解法，同時(shí)在眾多解法中尋找出最優(yōu)解法。解題的自然，就是抓住數(shù)學(xué)問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化。這種合理轉(zhuǎn)化，本身就是解題是否抓住問題的本質(zhì)，就決定了解題是否自然。

三、結(jié)語

單墫教師說過：數(shù)學(xué)鑒賞能力也是教師具有對(duì)解題有力能夠做出判斷的能力，而判斷的標(biāo)準(zhǔn)就是是否滿足“解法簡單，思路自然”的原則。可以讓學(xué)生更容易理解，更容易掌握，更容易運(yùn)用的自然解法，增加學(xué)生的自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

參考文獻(xiàn)：

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