基于“學習科學 友善用腦”模式下關于《兩個計數原理》教學實踐

趙玉秋 李龍強 張鐵豐

摘 ?要：在我校大力開展“學習科學 友善用腦”教學研究過程中，我對“兩個計數原理”的教學進行透徹的研究.首先讓學生明白教學內容，教學目標，教學重點、難點.引導學生帶著這些疑問進行學習.其次教師要了解、掌握學生關于“兩個計數原理”的前擁知識.最后教師要對學生的學習效果進行教學診斷.最終讓學生學有所得，學有所獲.

關鍵詞：兩個計數原理;教學診斷

一、教學內容分析

在普通高中數學課程標準（2017年版）中，“兩個基本計數原理”是高中數學選修2-3第1章“計數原理”的起始課.是本章后續內容排列、組合、二項式定理、隨機變量的概率等內容的學習提供理論依據，對后續內容的學習有著舉足輕重的作用.另外本節課涉及的分類、分步的思想是解決實際問題的有力工具，是人們思考問題的最根本方法.

（一）教學目標：

1.通過實例分析，讓學生自主建構分類加法計數原理和分步乘法計數原理，并弄清它們的區別.

2.能初步運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的計數問題.

3.經歷由實際問題抽象出原理，再回到實際解決問題的過程，體會數學源于生活、用于生活的道理.

（二）教學重點、難點：

重點：本節課的重點是經歷對實際問題進行方法建構的過程，能應用原理解決實際計數問題;

難點：在具體問題解決中，有區別地使用計數原理，正確區分“分類”和“分步”.

二、學生前擁知識調查

學生在小學三年級的時候，數學老師已經向學生介紹了形如：某位同學有三件不同的上衣，4條不同的褲子可供選擇，問這位學生有多少種穿衣搭配方案？小學老師從學生思維特點出發，利用枚舉的方法例舉出穿衣搭配方案.學生讀初中時，掌握了列舉法以及畫樹狀圖的方法，有一定的觀察、歸納、推理的能力，在平時的學習中也會不自覺地使用“分類”與“分步”的方法來解決問題，學生能夠熟練的解出“從甲、乙、丙三人中任意抽取兩人一共有多少中方法？”這樣有關組合的問題.兩個計數原理的思想從學生讀小學、初中時已有所滲透，然而由于學生年齡、思維等因素的制約，當時沒有把兩個計數原理上升到理論的高度傳授給學生.因此，兩個原理的學習基礎已經具備.但是簡單的計數能力是不夠的，要在教學過程中培養學生的“原理應用意識”，經歷從生活中的各種計數問題抽象出數學問題，再選擇應用原理解決問題的過程.

三、教學診斷

（一）兩個計數原理的區別

學生在解題的過程中，會出現不知道何時用分類加法計數原理，何時用乘法計數原理.學生出現這種認知上的問題，歸根結底還是因為學生對這兩個計數原理的理解不到位.如果從中任取一種辦法都能完成指定的任務，就用分類加法計數原理，我把這個原理定義成“一步到位”.如果從中任取一種辦法都不能完成指定的任務，當每一步都完成之后才能完成指定的任務，就用分步乘法計數原理，我把這個原理定義成“步步為營”.學生從字面上可能理解這兩個原理，然而當他們真正遇到實際問題的時候，需要學生對事件進行抽象的概括，提煉出與之對應的計數原理，這需要學生的理性思維分析

（二）學生對問題的理解，決定了學生解決問題的思維方式

兩個計數原理就是解決 “完成一件什么事，以及如何完成”的問題，學生思考問題的切入點，決定了學生解決問題的思維方式以及操作層面的繁簡、難易程度.

例1.從甲等6名同學中選出4名同學分別從事翻譯、導游、銷售、秘書這四個職務，其中甲同學不能從事翻譯，問有多少種分配方案？對于這道題，如果學生從每個職務配一名同學這個角度出發，大大簡化了這道題的難度.由于甲同學不能從事翻譯，根據特殊元素（位置）優先考慮的原則，給翻譯配一名同學有5中方案，剩下3個職務從5名同學中（除去甲）任意取3名進行排序，即 ，所以完成這件事共有 種方法.如果學生從人選職務這個角度出發，先選人，再分配任務，相對來說繁瑣一點.由于甲同學不能從事翻譯，所以選出的4名同學中是否含有甲要確定，這樣便于分配任務.方案一，如果選出的4名同學中不含有甲，有 種選法，選出的4名同學再進行分配職務有 種方法，依據分步乘法計數原理有 種方法;方案二，如果選出的4名同學中含有甲，有 種選法，選出的4名同學再進行分配職務有 種方法，依據分步乘法計數原理有 種方法，由分類加法計數原理，共有 種方法.

（三）學生審題上的失誤，造成解題上的障礙

關于兩個計數原理應用的問題，歷年來對于學生來說都是難點.尤其是有兩個或者兩個以上限制條件的樣題，更是如此.應用計數原理解決問題，讀懂題意是關鍵.當學生理解題干信息，清楚完成一件什么事，學生思維就轉向了如何完成這件事，這樣順理成章的沿著正確的思路去解決問題.例如：從甲、乙、丙等7名同學中選出5人分別擔任班級5個不同的職務.（1）若甲、乙、丙3人中有2人擔任正、副班長，有多少種安排方案？（2）若甲、乙、丙3人中只有1人擔任正、副班長，有多少種安排方案？對于這道題第一問學生認為是 種方法，第二問學生認為是 種方法.通過預判以及與學生溝通了解到，學生只是關注了正、副班長，而忽略了其他三個職務，造成理解上的誤差.如果學生把這道題定位在每個職務配一名同學，第一問就是 種方法，第二問答案就是 種方法.所以學生研究有關計數原理這部分問題時，一定逐字逐句的審題，一道題多讀幾遍，邊讀題邊思考，切莫因理解題意出現偏差造成解題上的失誤.分類計數原理與分步計數原理體現了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導排列數與組合數計算公式的依據，而且其思想貫穿于解決本章應用問題的始終.要注意“類”間互相獨立，“步”間互相聯系.

參考文獻

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