定義在多重互素GCD封閉集上Smith矩陣行列式的整除性

胡雙年，李艷艷，朱玉清，牛玉俊

（1.南陽理工學院數學與統計學院，河南南陽473004； 2.南陽理工學院電子與電氣工程學院，河南南陽473004）

設f為算術函數，S＝｛x1，x2，…，xn｝是由n個不同的正整數構成的集合.用（f（S））＝（f（xi，xj））（1≤i，j≤n）表示一個n階方陣，其i行j列處的元素為f在xi和xj的最大公因子（xi，xj）處的取值.用（f［S］）＝（f［xi，xj］）（1≤i，j≤n）表示另一個n階方陣，其i行j列處的元素為f在xi和xj的最小公倍數［xi，xj］處的取值.設a為正整數.若對任意給定的正整數x，算術函數f定義為f（x）＝xa，則（f（S））＝（Sa）和（f［S］）＝［Sa］分別稱為a次冪最大公約數GCD（greatest common divisor）矩陣和a次冪最小公倍數LCM（least common multiple）矩陣.當a＝1時，簡稱（S）為定義在S上的GCD矩陣，［S］為定義在S上的LCM矩陣.對于任意的正整數x∈S，如果x的任意正因子d∈S，則稱S為因子封閉集.1875年，Smith［1］率先研究了定義在集合S＝｛1，2，…，n｝上的GCD矩陣的行列式，他證明了如下結果成立：定義在集合S＝｛1，2，…，n｝上的n階GCD矩陣（S）的行列式，其中φ是歐拉函數.同時也得到了定義在因子封閉集S上的n階GCD矩陣（S）的行列式和n階LCM矩陣［S］的行列式

其中對于任意的素數p和正整數r，乘法函數π定義為π（pr）＝-p，并且Smith［1］也證明了定義在因子封閉集S上的n階矩陣（f（S））的行列式為

其中，μ為M?bius函數，f*μ是f和μ的Dirichlet卷積.1989年，Beslin等［2］推廣了Smith的結論，給出了定義在最大公因子封閉集S（對任意的x，y∈S，（x，y）∈S）上的行列式

1992年，Bourque等［3］證明了當S為最大公因子封閉集時，

其中g為乘法函數，定義為

從此，人們稱定義在整數集合上的矩陣為Smith矩陣.關于Smith矩陣的研究在近幾十年特別活躍，參見文獻［2-14］.在Smith矩陣的研究領域中，整除性問題是中心研究課題之一.設S是因子封閉集，Bourque等［3］證明了在整數矩陣環Mn（Z）中，GCD矩陣（S）整除LCM矩陣［S］（即存在n階的整數矩陣A，使得［S］＝A（S）或［S］＝（S）A）.2002年，Hong［8］證明了對任意GCD封閉集S，如果｜S｜≤3，則在整數矩陣環Mn（Z）中，GCD矩陣（S）整除LCM矩陣［S］，對于｜S｜＞3，此整除性不總是成立.設σ是集合｛1，2，…，n｝上的一個置換.如果存在σ，使得xσ（1）｜…｜xσ（n），則稱S為一個因子鏈.Hong［10］證明了如果S為一個因子鏈，并且算術函數f∈CS：＝｛f｜（f*μ）（d）∈Z，這里d｜lcm（S）｝，那么在整數矩陣環Mn（Z）中，Smith矩陣（f（S））整除Smith矩陣（f［S］）.在2008年，Hong［11］證明了如果S為一個因子鏈且a｜b，則在整數矩陣環Mn（Z）中，（Sa）｜（Sb），（Sa）｜［Sb］和［Sa］｜［Sb］.但是如果ab，則上述整除性不再成立.設k為正整數.如果S可劃分為，其中Si（1≤i≤k）為因子鏈，且滿足1≤i≠j≤k，（max（Si），max（Sj））＝1，則稱S由有限個互素因子鏈構成.譚千蓉等［14］證明：如果S由有限個互素因子鏈構成且1∈S，若a｜b，則det（Sa）｜det（Sb），det（Sa）｜det［Sb］和det［Sa］｜det［Sb］.

本文利用文獻［12］中建立的定義在有限個互素最大公因子封閉集S上與算術函數相關聯的矩陣的行列式的計算公式，首先給出了定義在有限個互素最大公因子封閉集S（1?S）上GCD矩陣與LCM矩陣的行列式的計算公式，然后刻畫了Smith矩陣（f（S））與Smith矩陣（f［S］）行列式之間的關系，最后給出了定義在有限個互素因子鏈集S上且1?S時，冪GCD矩陣與冪LCM矩陣的行列式之間的關系.

1 主要結果及證明

本節給出本文的主要結果及證明.首先給出幾個已知的定義和引理.

定義 1［6］對任意的x，y∈S且x＜y，如果x｜y且不存在其他的元素d∈S，使得x｜d｜y，則稱x是y在S中的一個最大型因子.對與x∈S，用GS（x）表示x在S中的所有最大型因子構成的集合.

Hong［6］通過引入最大型因子概念，極大的化簡了定義在最大公因子封閉集上的LCM矩陣的行列式的計算公式.

定義2［1］設S為正整數集，f為算術函數.對任意的x∈S令

定義3［12］設T是由不同的正整數構成的集合，f為算術函數.定義與集合T和f相關的函數如下：

定義4［12］設S由h個互素最大公因子封閉集S1，S2，…，Sh構成.S的極小元集M（S）定義為，其中min（Si）表示Si的最小元.

例如，若S＝｛2，5，6，8，11，35，143｝，則S由3個互素最大公因子封閉集構成且S的極小元集M（S）＝｛2，5，11｝.

引理5［6］設S為最大公因子封閉集，f為算術函數，則對任意的x∈S有

注1由定義1和2易知當S由多重互素GCD封閉集構成且滿足1?S時，（1）式依然成立.

引理6［12］設f為算術函數，設S由多重互素GCD封閉集構成且滿足1?S.M（S）表示S的極小元集，則

進一步，若f為乘法函數滿足對任意的x∈S，有f（x）≠0，則

下面給出本文的主要定理及其證明.

定理7設S由多重互素GCD封閉集構成且滿足1?S.M（S）表示S的極小元集，則

其中I是算術函數，定義為I（n）：＝n.

顯然，當S是因子封閉集時，由定理7可立即得文獻［2-3］中的結果.若S＝M（S），則定理7即為文獻［13］中的引理1.

定理8設S為多重互素最大公因子封閉集且滿足maxx∈S｛｜GS（x）｜｝＝1，設f為乘法函數滿足對任意的x∈S，有f（x）為非零整數且

f∈DS：＝｛f：f（a）｜f（b）這里GS（b）＝｛a｝｝.

（i）如果S至多由2個互素最大公因子封閉集構成，那么 det（f（S））｜det（f［S］）.

證明由假設，可設f（x）＝zxf（x*），其中zx是與x相關的正整數，設GS（x）＝｛x*｝.