自適應非奇異快速終端二階滑模制導律

楊 芳,張寬橋,余 磊

(1.西安航空學院 飛行器學院,陜西 西安 710077;2.洛陽電子信息裝備試驗中心,河南 洛陽 471003)

在現代戰爭中,許多導彈(如某些反艦導彈、反坦克導彈、防空導彈等)需要以一定的攻擊角度命中目標,來增加戰斗部的毀傷效能。因此,攻擊角度約束是制導律設計需要考慮的問題[1]。由于滑模變結構控制在滑動模態對干擾具有不變性,被廣泛應用在制導律的設計中。文獻[2]采用彈目視線角速率和視線角約束項作為滑模面,將滑模變結構控制用于帶攻擊角度約束的制導律設計中。文獻[3]結合自適應指數趨近律設計制導律,增加了制導律的自適應性和動態性能。

上述制導律均采用線性滑模面,不能保證系統狀態的有限時間收斂,而導彈攻擊目標的時間是有限的。針對有限時間收斂問題,文獻[4]基于終端滑模控制,設計了帶攻擊角度約束的有限時間收斂制導律。文獻[5]通過在終端滑模面中加入線性項,進一步加快了系統狀態的收斂速度。但終端滑模控制律中含狀態量的負指數項存在奇異問題。針對奇異問題,目前主要有2種解決途徑:一是非奇異終端滑模[6],二是積分滑模[7]。積分滑模能保證系統狀態的有限時間收斂,但不能確定其具體的收斂時間表達式。文獻[8]改進了非奇異終端滑模面,避免了奇異問題,并設計了相應的制導律,但所提制導律不能保證滑模面的嚴格有限時間收斂,存在非收斂因子,會降低收斂速率。文獻[9]對滑模面的非嚴格收斂問題進行了研究,提出了一種嚴格有限時間收斂的非奇異終端滑模面,但滑模面函數是不光滑的,系統只能收斂至一個有界區域內,且無法給出其具體范圍。

針對目標機動和系統擾動等干擾問題,目前大多數文獻的處理方法有3種:設計干擾觀測器實時在線估計干擾[10];設計自適應律估計干擾的上界[11],利用滑模控制的魯棒性抵抗干擾。這些方法需要引入符號函數項,使得控制量不連續,引起抖振現象。大多數文獻對符號項進行光滑處理,以達到削弱抖振的目的,但同時也削弱了滑?？刂频聂敯粜?。針對抖振問題,文獻[12]提出了一種二階滑模超螺旋算法,具有算法簡單、避免抖振、魯棒性強等優點。文獻[13]采用該方法設計了二階滑模制導律,能夠有效抑制抖振,且能實現系統狀態有限時間收斂。但超螺旋算法存在控制律不光滑,參數選取需要已知系統干擾的上界信息以及系統狀態距平衡點較遠時收斂速度慢等問題。

針對上述問題,本文設計了一種非奇異快速終端滑模面,改進了一種自適應光滑超螺旋算法來削弱抖振和抵消干擾,進而提出了一種帶攻擊角度約束的非奇異快速終端二階滑模制導律,并對其有限時間收斂特性進行了證明。最后通過仿真驗證了該制導律的有效性和優越性。

1 問題描述及相關引理

1.1 問題描述

在慣性坐標系上建立彈目相對運動關系如圖1所示。r為彈目相對距離,q為彈目視線角,vm和vt分別為導彈和目標的速度,θm和θt分別為導彈和目標的航跡角。所有角度逆時針方向為正。

圖1 彈目相對運動關系

根據彈目相對運動關系,可得彈目相對運動方程:

(1)

(2)

攻擊角度為制導終端導彈與目標速度矢量方向之間的夾角。若導彈在命中目標時滿足期望攻擊角度,則有以下條件成立:

(3)

θd=θt(tf)-θm(tf)

(4)

式中:tf為導彈命中目標的時刻,θd為期望攻擊角度。

將式(1)中第2個公式代入式(3),得:

vmsin(q(tf)-θm(tf))=vtsin(q(tf)-θt(tf))

(5)

將式(4)代入式(5)可得期望攻擊角度與終端視線角q(tf)有如下對應關系:

(6)

因此,攻擊角度約束問題就轉化為了終端視線角約束q(tf)=qd的問題,其中,qd為期望終端視線角。

對式(2)整理后可得帶攻擊角度約束的制導系統狀態方程為

(7)

1.2 相關引理

為分析和證明方便,引入如下引理。

(8)

(9)

引理3[16]對于如下非線性系統:

(10)

若a1>0,a2>0,01,則系統是有限時間穩定的,且收斂時間滿足:

(11)

(12)

2 自適應二階滑模制導律

2.1 制導律設計

終端滑?？刂撇捎梅蔷€性函數作為滑模面,能夠使系統狀態有限時間收斂,但該方法存在奇異問題。為避免奇異問題,基于分段滑模面思想和引理3,設計一種非奇異快速終端滑模面為

s=x2+k1|x1|α1sgn(x1)+k2ψ(x1)

(13)

(14)

式中:α1>1,0<α2=p1/p2<1,k1>0,k2>0,δ>0,p1和p2為正奇數,λ1=(3-α2)δα2-1/2,λ2=(α2-1)δα2-3/2。

對式(13)微分得:

(15)

(16)

將式(7)代入式(15)得:

(17)

設計等效制導律為

(18)

將式(18)代入式(17)得:

(19)

為抵消干擾和抑制抖振,并加快滑模面的收斂速度,采用二階超螺旋算法設計輔助制導律為

(20)

其有限時間穩定的充分條件為[17]

(21)

超螺旋算法能削弱抖振,且具有強魯棒性和高精度的控制性能。但傳統超螺旋算法有以下不足:①控制參數的選取需要已知干擾的邊界信息;②當系統距平衡點較遠時,收斂速度慢;③積分項下含有不連續項,控制指令是不光滑的,會影響控制性能。針對上述問題,對超螺旋算法進行改進,在控制指令中加入線性項,在積分項下加入連續函數,并設計了一種參數自適應律來抑制干擾。改進后的超螺旋算法設計的輔助制導律為

(22)

式中:1/2≤β<1。

參數自適應律為

(23)

式中:b>0,c>0,ε>0。

結合式(18)和式(22),設計制導律為

(24)

將式(24)代入式(17)得:

(25)

由式(25)可以看出,當系統狀態遠離平衡點時,式(22)中的線性項s起主要作用,相比傳統超螺旋算法收斂速度更快,當系統接近平衡點時,非線性項|s|βsgn(s)起主要作用。因此,與傳統超螺旋算法相比,式(22)具有更快的收斂速度。

由于系統會存在測量噪聲,因此系統狀態不能完全到達滑模面。為避免參數增至無窮大,因此自適應律中加入了sgn(|s|-ε)項,避免“過分估計”的問題[18]。

由式(22)可知,φ1(s)和φ2(s)與s同號,因此φ1(s)φ2(s)≥0。由式(23)可知,當|s|>ε時,k3和k4逐漸增大,使系統狀態收斂。當系統狀態收斂至|s|<ε時,sgn(|s|-ε)k3和k4逐漸減小。若k3和k4減小到無法抵消干擾時,系統狀態會偏離|s|<ε,此時在自適應律作用下,k3和k4逐漸增大,使系統狀態收斂至|s|<ε范圍內。重復前面的過程,k3和k4逐漸減小。因此,k3和k4是全局有界的。

2.2 有限時間收斂性分析

對于系統總擾動d做出如下假設。

假設1d(t)表示為d(t)=d1(t)+d2(t),且滿足:

(26)

式中:K>0,L>0。

一些文獻假設系統干擾d有界且可微,但實際上,d可能包含有不可微的干擾信息,比如方波干擾、系統噪聲等,因此假設1對d的描述較為全面,并且由于滑模面s并不會完全收斂至0,只是收斂至0的鄰域內,式(26)是可以成立的。

證明引入新的狀態向量:

(27)

結合式(26)和式(27)可得,存在ρ1(t)和ρ2(t)滿足:

(28)

對式(27)微分得:

(29)

構造如下二次型Lyapunov函數:

V1=zTPz

(30)

(31)

式中:a為大于0的任意常數。易證P為正定矩陣且V1徑向無界,即:

λmin(P)‖z‖2≤V1≤λmax(P)‖z‖2

(32)

定義一個正數σ滿足0<σ<2b,結合式(29)對V1求一階導數,得:

(33)

定義:

(34)

易證Q為半正定矩陣。

由式(32)可知:

(35)

(36)

由引理2可知,z可有限時間收斂至原點,即s是有限時間收斂的。

證畢。

定理2在制導律(24)的作用下,且制導參數滿足式(23),制導系統狀態可有限時間收斂至如下區域:

(37)

(38)

(39)

由式(36)可知:

(40)

當|s|>ε時,結合式(23)得:

(41)

令c>a,結合式(40)和式(41)得:

(42)

式中:

由1/2≤β<1,可知1/2<γ<1。由引理1可知V2可有限時間收斂至原點,因此,s可收斂至|s|≤ε,收斂時間滿足:

(43)

當|s|≤ε時,若k3和k4減小到無法抵消干擾時,系統狀態會偏離|s|≤ε,此時在自適應律作用下,k3和k4增大,使系統狀態收斂至|s|≤ε區域內。

當滑模面s到達收斂域后,此時令s=ε1,則|ε1|≤ε。分以下2種情況進行討論。

①|x1|≥δ,式(13)可寫為

(44)

(45)

由于ε為一個較小正數,通過合理的選取參數k1和k2,可使2?≤δ,此時,x1的收斂域為

|x1|≤max{2?,δ}=δ

(46)

結合式(44),可得x2的收斂域為

|x2|≤k1|x1|α1+k2|x1|α2+|ε1|≤k1δα1+k2δα2+ε

(47)

②|x1|≤δ,式(13)可寫為

(48)

由式(48)可得:

(49)

綜上所述,系統狀態可有限時間收斂至如式(37)所示的區域內,且收斂時間滿足:

(50)

證畢。

制導律(24)中含有較多設計參數,這些參數可以根據實際需求來進行整定。對自適應律(23)和滑模面(13)進行分析可知,增大a,b,c,k1,k2和α1,減小β和α2的值,可加快系統收斂速度和控制精度,但也會增大導彈過載,而導彈的可用過載是有界的,因此在這些參數選取時要折中考慮。為后文敘述方便,將本節所提的自適應快速終端二階滑模制導律簡記為ANFTSG。

3 仿真分析

本節基于彈道仿真在不同場景下對制導律ANFTSG的性能進行仿真分析。在慣性坐標系下,設定導彈和目標的初始位置分別為(0,0)和(10 000 m,5 000 m),導彈的速度vm=500 m/s,目標運動速度vt=250 m/s。重力加速度g=9.8 m/s2,導彈的最大可用過載為20g。仿真步長0.01 s,采用4階Runge-Kutta法解算仿真模型。ANFTSG的制導參數設置為:k1=k2=2,a1=7/5,α2=5/7,β=0.6,ε=0.01,δ=0.001,a=0.5,b=c=1。目標運動模型為

(51)

式中:xt和yt為目標在慣性系上的位置。

仿真中引入文獻[8]提出的非奇異快速終端滑模制導律(NFTG)以及文獻[13]提出的非奇異終端二階滑模制導律(NTSG)進行對比仿真。

①仿真場景1。導彈以不同初始航跡角θm0打擊機動目標。設定θm0分別為30°,60°,90°,120°,150°。期望終端視線角qd=45°。目標常值機動,加速度at=-30 m/s2,目標初始航跡角θt0=150°。仿真結果如圖2所示。

圖2 場景1的仿真結果

②仿真場景2。導彈以不同期望終端視線角打擊機動目標。設定qd分別為20°,40°,60°和80°,θm0=45°,目標正弦機動,加速度at=30sin(πt/5),θt0=150°。仿真結果如圖3所示。

圖3 場景2仿真結果

③仿真場景3。ANFTSG和NFTG、NTSG對比仿真。設定θm0=45°,qd=45°,θt0=180°。目標的機動考慮如下2種情況:余弦機動at=30cos(πt/5),方波機動at=30sgn(sin(πt/5))。

引入平均過載nme來評估制導過程能量消耗,定義為

(52)

式中:N為總仿真步數。

仿真結果如圖4、圖5和表1所示。

表1為在3種制導律作用下的攻擊時間、脫靶量、終端視線角誤差和平均過載的仿真結果,可以看出,相比NFTG和NTSG,ANFTSG的攻擊時間、脫靶量、終端視線角誤差和平均過載最小。

表1 不同制導律下的仿真結果

圖4 目標余弦機動的仿真結果

圖5 目標方波機動的仿真結果

4 結束語

本文針對機動目標,對帶有攻擊角度約束的制導問題展開研究。通過理論分析和仿真驗證有如下結論:

①所提自適應非奇異終端二階滑模制導律在存在目標機動不確定及系統擾動的情況下,能使導彈以期望攻擊角度命中目標,并且使彈目視線角速率及視線角偏差有限時間內快速收斂至0的可控鄰域內。相比現有的非奇異快速終端滑模制導律和非奇異終端二階滑模制導律,制導精度更高,收斂速度更快,能量消耗更少。

②在超螺旋算法的基礎上,增加了線性項和積分項下的連續函數,且設計了參數自適應律。一方面加快了系統的收斂速度,保證控制量的光滑性;另一方面能夠自適應調整控制器參數,有效抑制系統干擾,且無需干擾的邊界信息。

后續的研究可考慮將本文所提制導律擴展至三維空間,并考慮自動駕駛儀的動態特性。