磁單極狄拉克弦上磁場的顯明形式

林瓊桂

(中山大學物理學院，廣東 廣州 510275)

磁單極的存在(更嚴格地說是存在至少一種粒子其磁荷與電荷之比與其他粒子不同)導致的一個重要結論是電荷的量子化。僅這一點就足以令理論工作者著迷。磁單極從理論上提出[1]至今已經接近一個世紀，但一直未能在實驗上觀察到。盡管如此，由于理論上的魅力，它還是受到了持續而廣泛的關注。

磁單極的磁場B類似于點電荷的電場，形式很簡單。但是，為了將其納入量子力學，人們必須找到一個矢量勢A來描述它。另一方面，A的存在性是以方程·B=0為基礎的。既然有了磁單極，后者便不再成立，于是A的存在性就有了疑問。如果一定要用A來描述，那么就難以避免A會具有某種奇性，狄拉克磁單極描述方案就是這樣?；蛘?，人們需要用兩幅圖(chart)構成的圖冊(atlas)來覆蓋三維空間，然后在不同的圖上采用不同的矢量勢，在重疊區域，它們相差一個規范變換，這是吳大峻-楊振寧磁單極描述方案[2]。

具體來說，狄拉克的矢量勢對應的磁場除了磁單極應有的平方反比場，還多了一條磁通弦(通俗地說就是一條磁力線)，稱為狄拉克弦。它從磁單極所在之處沿任意曲線通向無窮遠處，其磁通量抵消了磁單極平方反比場的磁通量，使得任一閉合曲面的磁通量仍然為零。只有當磁通弦沒有物理效應(至少對于所考慮的問題)時，這樣的矢量勢才是對磁單極的恰當描述。討論磁通弦是否有或對于哪些問題有物理效應，超出了作者的學識，也遠遠超出這篇小文的范圍。前述關于磁通弦的性質在文獻上一般只有文字描述，這些性質可以通過考察矢量勢的環路積分而得出。但是對矢量勢微分(取旋度)并不能自然得出與磁通弦對應的磁場項。當然人們可以利用前述性質手動構造并寫下該磁場項，但是這難免有斧鑿之嫌。本文將矢量勢寫成積分形式，然后通過微分運算自然得出包含磁通弦項顯明形式的結果。上述矢量勢的積分形式在文獻上并不陌生[3，4]，文獻[3]也作了微分運算，但是沒有得出磁通弦項的顯明形式。對于具有不同狄拉克弦的矢量勢之間的規范變換，我們作了一些評述，并指出過去論證電荷量子化的一種方法存在漏洞。最后簡單介紹了吳大峻-楊振寧磁單極描述方案，并簡述該方案中電荷量子化的論證思路(吳-楊原文[2]對此論證并無詳細說明)。希望本文對于電動力學的初學者有所幫助，對于教師也有一些參考價值。

1 狄拉克弦上磁場的顯明形式

設磁單極的磁荷為g，位于坐標原點，狄拉克矢量勢為

(1)

本文同時采用直角坐標和球坐標，在后面一個實例計算中也采用柱坐標，所用符號都是熟知的，eφ、ez等是單位矢量。對上式取旋度，只能得出磁單極磁場

(2)

而得不到實際存在的磁通弦項。實際上，A(r)在θ=π處有奇性，微分運算在這些地方是有疑問的，可能把某些東西弄丟了。這類似于在球坐標中計算2(1/r)，并不能直接得出δ函數。上式的一個顯然的推廣是

(3)

其中e是任意給定的單位矢量。對上式取旋度，得到的同樣是Bg(r)。

現在我們把式(3)改寫成下述積分形式

(4)

考慮沿e方向的直線從無窮遠至原點的極細螺線管，有助于找到這個積分表示[3,4]。然而，在數學上，這不是必須的。我們只需要證明上式的積分結果是式(3)即可。為此，令u=-s，將上式化為

(5)

分解r+ue=[r-(r·e)e]+(u+r·e)e，兩部分互相正交，由此易得

(r+ue)2=r2-(r·e)2+(u+r·e)2

(6)

于是

(7)

利用積分公式

b>0 (8)

完成上式的積分，結果就是式(3)。這就證明了式(4)是式(3)的積分表示。

式(4)可以改寫為

(9)

(10)

B(r)=Bg(r)+B′(r)

(11)

其中

(12)

就是磁通弦項的顯明形式。如果e=ez，則很容易求出積分，而得

B′(r)=ezgδ(x)δ(y)θ(-z)

(13)

其中θ(-z)是亥維賽(Heaviside)階躍函數，這是沿z軸負半軸由原點伸展至無窮遠的磁通弦，磁場沿z方向，磁通量為g。值得指出，如果我們先計算半徑為a的半無界圓柱螺線管的磁場，然后令a→0(同時讓I→∞以保持μ0πa2I=g固定，其中I是單位長度的電流)，得到的磁場正是上述結果，而磁通弦對應于螺線管內的磁場。詳細討論需要較多篇幅，從略。

下面進一步推廣式(4)?？紤]一條空間曲線L，它由定點r0伸展至無窮遠，其參數方程為

r=r(s), -∞

(14a)

滿足

r(-∞)=∞,r(0)=r0

(14b)

我們選取參數s使得ds=|dr(s)|，那么切矢量

(15)

是單位矢量，指向參數增加的方向。參數s類似于古典微分幾何中的弧長參數，后者是一個內稟參數，并使得切矢量是單位矢量[5]，不同之處是我們的參數s是負的，這是因為我們要把r0當作曲線的終點而不是起點。今構造矢量勢

(16)

相應的磁場是

(17)

注意到e(s)·[1/|r-r(s)|]=-(d/ds)[1/|r-r(s)|]，上式的計算與式(10)完全類似。最終得到

B(r)=Bg(r,r0)+B′(r)

(18)

其中

(19)

顯然，Bg(r,r0)是位于r0處的磁單極產生的磁場，而B′(r)是沿曲線L的磁通弦。因此，矢量勢(16)描述的是狄拉克弦為曲線L的磁單極。當r(s)=se，則L是沿e方向的直線，此時r0=0，e(s)=e，以上結果就退化為式(11-12)。

舉一個實例。設L是圓柱螺線

(20)

則r0=exa，切矢量為

e(s)=-exωasinωs+eyωacosωs+ezωb

(21)

代入式(19)，即可寫出B′(r)的形式。但是這個結果不太直觀。如果采用柱坐標，則可將各分量寫成

(22)

這樣物理圖像就非常清晰了。對于B′φ(r)，考慮ρz半平面且z<0，可以看到磁通弦多次穿過該半平面(注意φ和z的取值范圍都是(-∞,0])，每次穿過的磁通量都是g。對于B′z(r)，考慮z給定且z<0的平面，可以看到磁通弦在ρ=a，φ=z/b處穿過該平面，磁通量也是g。

2 規范變換與電荷量子化

(23)

其中n′是S上r′處的法向單位矢量，dσ′是面積元，而

(24)

是S對r點張開的立體角。下面對這個結果作一些討論。

對于式(23)中的第二項，當r在S附近時，我們可以以S上靠近r的某點為原點引入局部直角坐標系，完成切向坐標的積分可得該項結果為gδ(xn)n=[gε(xn)/2]，其中xn是局部直角坐標的法向分量，ε(xn)是符號函數。所以在S附近，我們可以局部地寫出

(25)

當r越過S時，兩項的躍變正好互相抵消了，因此整個規范變換函數Λ(r)本身并沒有躍變。由此可見，上一段的論證確實存在失察之處。當然，這絕不意味著電荷量子化的結論不成立，因為可以有其他論證方法，比如吳大峻-楊振寧磁單極描述方案中的論證方法，后面會加以討論。

(26)

其中e′是與e垂直的任一單位矢量。特別地，如果e=ez，取e′=ex，則得

(27)

(28)

利用積分公式(8)完成對z′的積分，然后對x′的積分也很容易計算，最后得出

-π<φ<π (29)

第二個等號很容易驗證。代入式(23)(忽略第二項)，所得結果與式(27)一致，如所期望。不過，對于更一般的曲線，計算立體角的顯式是相當困難的。

(30)

相應地，波函數滿足

(31)

(32)