復雜情境下生長兒童數學融通能力的教學尋繹

李相林

摘? 要：復雜情境是學科素養的“場域”，融通能力則是兒童數學素養在這個場域的“結晶”。本文通過不同結構特質的復雜情境場域的構建，生長兒童數學融通能力。

關鍵詞：融通能力;復雜情境

復雜情境下發展兒童數學融通能力是“在一種真實的、未知的、不可預測的問題探究場下，兒童參與情境構造，發展‘融合知識方法、領悟數學本質、形成認知結構的思維能力”，是對數學教學中“堆砌式”“碎片化”散狀學習的理性匡正，從整體的視角實現融合知識方法、領悟數學本質、形成認知結構的“建筑式”學習，有效解決兒童數學學習中存在的“缺乏判斷、不善分析、無意關聯、難有融通”淺層次學習問題。

復雜情境下生長兒童融通能力是一種真實性學習、深度學習。復雜不是繁雜，深度并非難度，真實不僅是現實。學段的低高、知識的易難，不等于思維品質由低階到高階。在小學階段的數學教學中，我們可以通過不同結構特質的復雜情境場域的構建，生長高階高品的融通能力。

一、立足：慧眼捕捉教材“內涵”生長融通能力

教材中不少良好特質的問題可以直接用作復雜情境構建的內核。我們教師應習慣性地用“融析”的目光捕捉這類問題，組織推動以“好問題”“兒童參與構造”等為要素的復雜情境場域運轉起來。

【案例1】不就是等差數列求和嗎？

四下補充習題：90+91+92+…+99。

多數人見到此題的反應是：不就是等差數列求和嗎？用（90+99）×10÷2即可。我們來看看以此題為內核的復雜情境下兒童真實的融析過程。

首先，孩子們在黑板上給出五種方法。分析得出“分組配對”“湊整+分組”“基數法（把每個數看作90）”與“平均數的規律”（單數，即奇數個連續自然數的平均數是正中間那個數）等。

接著，一個融通能力特別強的孩子的發言讓大家耳目一新：“老師，現在我更明白為什么說‘乘法是高級運算，而加法是低級運算了。你們看，所有的解法里都有乘法，求很多個數相加的和，不管是湊整、分組、假設，最終的目的都一樣，那就是把這么多加數變成幾個相同的數，也就是乘法，再把零頭處理掉！”（對呀，數學的發展和研究不也是一個從低級向高級邁進的過程嗎？）

等差數列求和是小學每種版本奧數教材中的必修內容，重心落在對求和公式的理解、記憶與運用上。而融通能力解法多樣化、關系清晰化、結構系統化、認識高度化，學生更易抽象為算法（含公式）且不會形成思維定式，心理轉向快，具有高度的思維靈活性。

二、改造：匠心整合教學“實質”生長融通能力

問題的多層結構和“知識豐富領域的問題解決”是我們改造優化教材、構建復雜情境時的重要考量。在豐富與多層的復雜探究場中，個體與集體、一維與多維、獨立和共建同時存在，實現由“析”到“融”再到“通”的融通能力過程。

（一）延展式復雜情境

延展式復雜情境是將一個好問題進一步延伸、展開和一般化，成為豐富的數學探索活動的起點，在延展中生長兒童融通能力。

【案例2】有沒有更“斜”的？

四下教材練習十四第2題：在方格紙上畫一個底4厘米、高3厘米的平行四邊形。

學生按要求每人獨立畫出一個平行四邊形后，教師在實物投影上展示兩種不同的畫法，學生觀察比較，發現兩種畫法都符合數據要求，只是傾斜度不同。

教師進行延展：你能畫出一個符合要求且更“斜”的平行四邊形嗎？

學生們立刻興奮起來，一個個更“斜”的平行四邊形展示出來。

在“有沒有更‘斜的？”刺激下，“超級斜”（如圖1）誕生了！

“還有沒有更‘斜的？”教師繼續延展。

學生的思維由直觀操作進入無限世界，借助想象和理性思維，融通了多種畫法的有序傾斜，紛紛提出自己的想法。“我覺得有更斜的平行四邊形，如果把方格紙變得和黑板一樣大。”“一條線，最后變成一條線！”“不是一條線，差一點點才變成一條線……”“但是它還是一個平行四邊形，只不過無限接近于一條線！”學生已經隱約想象出“臨界點”。其實，學生的腦海中已經有了“動態幾何”的軌跡，底、高不變，隨著傾斜角度的變小，平行四邊形無限接近于一條線。在延展式復雜情境中，數學極限思想和等積變形也在學生思維的融析中得到發展。

（二）遞進式復雜情境

遞進式是結構較復雜、思維次序關聯性很強的問題情境，融析過程中環環相扣、層層遞進，方能抵達思維核心，如同一層一層剝去玉米苞衣，因此又稱“剝玉米苞”式情境。

【案例3】“三階幻方”如此美妙！

四下教材練習七第6題：用方格中的數（如圖2），按定序寫算式。觀察算式特點，算和，找發現。

49+35+81? ? ? 18+53+94

42+37+86? ? ? 68+73+24

38+51+76? ? ? 67+15+83

492+357+816? ?618+753+294

教學中，我們以此問題為內核，進行遞進式改造，構建復雜情境。學生由外而內，經歷了四個層次的思維分析、關聯、融通的過程。

表層發現：規律是什么？通過觀察、比較和計算，學生發現數序相反的四組算式中，三個兩位數的和都是165，三個三位數的和都是1665。

深層思考：為什么三個兩位數的和是165？經過多角度分析，有學生用連線法（如圖3）得出：十位數字之和是15，個位數字之和是15，即15個十加15個一得165，這在其他算式中也得到驗證。此題中，為什么三個三位數的和是1665，也自然關聯得出緣由。

核心層融通：為什么相同數位上數字之和是15？學生的思維融析并未停步，而是抽絲剝繭，繼續深入。結合表格數據特征，最終發現此題最核心的原因在于利用了三階幻方“幻和一定”的性質。

數學文化層融入：經歷了觀察、比較、關聯和層層深入、不斷融通后，學生對三階幻方趣味盎然。“洛河神書”“九宮格”“楊輝法”等在課后資料查閱中紛紛映入學生腦海，交匯出一幅三階幻方數學文化圖。

在這個遞進式探究場中，兩次“為什么”的融析讓數學思維的有序性得以體現，而數學文化的融入也讓學生強烈感受到數學如此美妙！

（三）嵌入式復雜情境

嵌入式復雜情境是把指向同一實質的兩個（以上）關聯問題進行嵌入構造，學生從不同維度融析，對事物的本質和規律認識更全面、更深刻，思維周密性很強。算法數學和思辨數學兩種形態的相得益彰在嵌入式情境融析中體現較多。

【案例4】兩種數學形態的解釋！

針對四下“三位數乘兩位數的積是幾位數”的實質，我們將教材中“132×28……”與“最大的三位數乘最大的兩位數，積是（? ? ）”兩個問題進行了修改和嵌入。

學生通過算法（計算）發現：當兩個乘數最高位的乘積滿十時，則三位數乘兩位數的積是五位數;當兩個乘數最高位的乘積不滿十時，則積是四位數。而90×150這一特例又讓學生反思糾正：三位數乘兩位數時，最高位向前進位則積為五位數，不進位則積為四位數。

后題計算后，學生給出了具有一定邏輯的解釋：三位數乘兩位數，乘積范圍在1000～98901間，因此積可能是四位數，也可能是五位數。

學生從算法數學和思辨數學兩個維度得出“三位數乘兩位數的積可能是四位數，也可能是五位數”的結論，融通了“算法數學的具體與可見”和“思辨數學的邏輯與概括”的互生互補。

在五下探討“一個數的因數的個數”時，學生給出了更為嚴密的解釋：一個數的最小因數是1，最大因數是它本身，因數個數在“1～它本身”之間，所以個數有限。學生在思維融析后表現出很強的“合理性選擇”傾向。

三、創新：巧意借力兒童“生成”生長融通能力

兒童在數學學習的過程中產生的很多基于自身體驗的疑問和發現等，具有真實性與獨特性。以這些價值點為內核，創新情境構造，在不斷生成中生長兒童的融通能力。

【案例5】有0°角嗎？

“鐘面上的分針和時針重合時組成的是什么角？”是四上單元知識結構交流時一個孩子提出的問題，他有著自己的思考。概念教學，基本上是規定、說明和強調，可不可以有些原理的領悟、關系的融通、結構的建構呢？教學時，我們以這個“節外生枝”的想法為內核，構建情境，展開融通能力。

由鐘面角生成“有沒有0°角”的問題，生成“0°角有必要存在”的成果，又由這一成果生成“0°角是不是銳角”的問題。

“問題球”在孩子間不斷傳遞、碰撞開來，最終大家融析生成這樣一個思維圖式（如圖4）。

源于兒童自身的創新情境更具親切感和探究性，融通能力的批判性凸顯得更為豐盈。兒童不會不經思考就附和他人意見，他們發現自身錯誤時更愿意糾正并接受其中的教訓，變“理解性”的學會為“批判性”的會學。

從應用性和客觀標準性很強的SOLO水平分類來看，復雜情境下的融通能力主要處于高階的“多元結構”向“關聯結構”跨越階段，時而達到“擴展抽象”層次（最高層次）。在兒童與數學的深度遇見中，激活兒童心智，喚醒兒童生命，找到了人（兒童），發展了人（學科素養）。