存貸利差及交易費條件下最優投資組合問題的研究

葛乃榮

一、引言

我國金融市場主要以銀行等金融機構為主體，銀行的利率政策對投資者的投資決策至關重要，當投資者的資產不足時可以選擇向銀行貸款從而進行投資，當投資者擁有的財富足夠多時，在投資于風險資產的同時，剩余的資金可以存入銀行或購買無風險債券，本文正是基于這一資產分配方案研究投資者的投資決策問題。另一方面，在我國A股市場中，個人投資者所占比重較大，因此，本文主要研究個人投資者的投資決策問題。早期文獻中，經典的資產分配問題最早由Merton提出，但是沒有考慮銀行的存貸款利率不相等這一條件，他運用隨機動態規劃原理建立個人投資者的效用最大化模型，最后求出最優的顯式表達；莫頓研究了在連續時間模型下投資者整個生命周期內的效用最大化問題；投資者除了將資產用于投資外，還可以消費，王秋媛在考慮存貸利差的條件下，研究投資者的消費效用最大化問題，運用貝爾曼動態規劃原理和伊藤公式，得到了不同條件下的顯式解。

在個人投資者買入或賣出股票時存在一定的交易費，我國股票市場中，交易費一般包括交易傭金、印花稅和過戶費等，其中，滬、深證券交易所收取的A股交易經手費按成交金額的0.0487%雙邊收取，這一因素同樣會對投資決策產生影響。關于交易費的研究，早期文獻主要從比例交易費和固定交易費入手，假設按照一定的比例收取交易費。隨著近年來我國資本市場逐漸成熟，投資者手里有了一定積蓄后會將自己的資產用來投資股票，從這一點來說，本文的研究具有一定的現實意義，本文主要運用動態規劃原理和伊藤公式計算投資者的最優消費和投資策略解，并分情況討論投資者對應的決策選擇。

二、模型和最優化問題

在投資組合優化研究中，一個重要的研究內容就是投資者投資于無風險的銀行賬戶(或債券)和有風險的股票時，怎樣分配其資金來獲得期望效用的最大化。而投資者投資的最終目的是為了消費，所以在分配資金時要充分考慮消費的因素，因此從整個投資和消費的分配過程來看，這是一個動態的演進過程。

本文主要假定投資者的全部資產有兩種投資方式，一種是投資于無風險資產，比如存入銀行(或債券)，另一種投資于風險資產，比如股票。以前的文獻考慮了存貸利率不等這一條件，但都沒考慮交易費用。本文主要在存貸利差的條件基礎上加進交易費，最終使投資者的期望效用最大化，進而實現其資產的最優配置。

考慮交易費用時投資者賬戶資金的變動情況，此時，投資者銀行賬戶上的資金可用隨機微分方程來表示，即存入銀行資產與存款利率的乘積形成投資者獲得的存款利息去除掉消費量和購買一定量的股票并加上賣出股票時獲得的資本。而投資者證券賬戶上資產的隨機微分方程可表示為：購買股票數與預期收益率的乘積即為購買股票獲得的資本利得加上買入股票數并去除賣出的股票數。

因此，在t時刻投資者的凈財富滿足：當投資于股票的資產數大于零，總的財富包括存入銀行的資金與買入股票的資金并扣除買入股票時按一定比例付出的交易費，相反，當投資于股票的資產數小于零時，此時，投資者現金流不足，需要賣掉部分股票以增加現金流，投資者總的財富，即銀行賬戶上的資金數包括存入銀行的資金數與賣出股票時的資本并扣除一定比例的交易費。其中，λ、μ分別表示購買和出售股票的比例交易費，并且購買和出售股票時按一定比例的交易費需滿足在0到1之間，則在t時刻投資于股票的賣出價表示為：此時刻的股價扣除一部分的交易費，買入價可表示為：股價加上一部分的交易費，現在我們定義在t時刻股票交易量為S-(λ＋μ)(t)，即表示投資者因為交易費的增加而減少股票成交數，這里考慮投資者投資于股票獲利的情況(虧損情況一樣分析)，那么在t時刻的現金流為：股票交易量乘以投資者在t時刻賣出和買入股票價格之差，用R(t)表示，那么對R(t)用伊藤公式得財富的隨機微分方程表示為：

其中，π(t)表示投資者投資于股票的數，f(t)表示股票預期收益率，W(t)代表投資者的總財富。分兩種情況分析：當投資者總的財富比買入股票所需資金數大時，投資者無需向銀行貸款，否則，沒有足夠資金時，需要向銀行貸款。本文的目標是通過對投資者持有的資產在消費和投資之間如何分配以達到整個生命周期的效用最大化，即時刻t到T區間求消費的效用函數和殘值函數的最大期望，并且這兩個函數都是嚴格單調遞增，且是凹函數，分別關于C、W是可微的，當買入股票時，根據動態規劃原理可得對應的HJB方程，

而當賣出股票時，對應HJB方程，

Vw、Vww分別表示V關于W的一階導、二階導，從消費的效用函數和殘值函數的性質可得到，值函數關于W的一階導大于零，二階導小于零，也就意味著值函數是一個遞增的凹函數，上式左邊關于消費C求一階導可得最優消費解為：

根據上述第一種情形下的HJB方程可解得此時關于投資有兩個最優解：

(1)如果投資者持有的總財富比兩者較小的最優投資解小時，即沒有足夠資金用來購買股票，此時，最優決策方案是，保持消費不變，投資者應向銀行貸款購買股票。

(2)如果投資者持有的總財富數處于兩個最優解之間，那么此時投資者既不需要向銀行貸款也沒有剩余資金存入銀行，最優的組合方案是，保持消費不變，將持有的所有財富都用來購買股票。

成孔設備采用液壓步履式擠密灌注打樁機，外徑為425 mm、夯錘重5 t，成孔依次逐排由外向內進行，隔排隔行，間隔1～2孔跳打方式。在鉆桿上標注設計樁長位置，打樁完成后，檢查其樁長、樁徑、垂直度等滿足驗收要求后方可進行填料。

(3)如果投資者所擁有的財富比兩者較大的最優解還大，那么說明投資者持有的資金數足夠多，不需要考慮向銀行貸款，除了將一部分資金用來購買股票外，還剩余一部分可以存入銀行獲得存款利息，這樣可以達到資產的最優配置。

當投資者賣出股票，這種情況下同樣可根據上面HJB方程得兩個最優投資解：

三、結論

與傳統Merton在連續時間模型下相比，由于交易費的引入，投資者選擇買入或賣出的股票數會減少一部分，此外，當投資者投資于股票數小于零時，投資者面臨的資產組合方案是保持消費不變，將持有資產存入銀行或賣出股票，原因分析：此時，可能股市行情不好，投資者為了避免財產損失，會選擇不進入股市，這也符合實際，因此，給投資者做出正確的投資決策帶來了現實的指導意義。