斜拉索-磁流變阻尼器非脆弱減振控制器研究

馮志敏 時云飛 張 剛 劉小鋒 段玉賀

(1.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，寧波315211;2.南京萊斯電子設(shè)備有限公司，南京210014)

0 引言

由車輛行駛、風(fēng)雨等未知外力引起的有害振動已成為影響斜拉索橋梁安全性的重要因素。作為橋梁的主要受力構(gòu)件，斜拉索極易在未知載荷作用下產(chǎn)生振動。減小和抑制斜拉索振動對于提高橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和安全性具有重要的工程意義［1］。

磁流變阻尼器是一種新型的智能阻尼器［2］，具有響應(yīng)時間快、阻尼力可調(diào)范圍大等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于農(nóng)用車輛、航空航天等減振控制中。斜拉索減振控制研究也逐漸集中到磁流變阻尼器半主動控制上。OU 等［3］將LQR 控制算法用于斜拉索-磁流變阻尼器控制中，提出一種半主動控制算法，并仿真驗證該方法的有效性;禹見達(dá)等［4］利用位移反饋對Bang-Bang 控制算法進(jìn)行改進(jìn)，證明該算法對斜拉索減振有良好效果;樊曉平等［5］基于奇攝動理論，設(shè)計了抑制斜拉索振動的半主動自適應(yīng)控制方法，并利用數(shù)值案例驗證此算法的合理性;HEO 等［6］將魯棒控制中的Lyapunov 法和截斷最優(yōu)相結(jié)合，對斜拉索振動進(jìn)行控制，具有較高的可靠性。

魯棒控制主要以被控對象和外界未知擾動不確定性為研究目標(biāo)，結(jié)合相應(yīng)性能指標(biāo)，以獲得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器。而非脆弱魯棒控制不僅要考慮被控對象和未知擾動的不確定性，同時還要考慮控制器在工程調(diào)試過程中其增益參數(shù)發(fā)生的攝動狀況。實際上，斜拉索減振控制器的增益參數(shù)不可能準(zhǔn)確實現(xiàn)，并且在外界干擾下也可能發(fā)生改變。因此，極易降低控制器閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性能，表現(xiàn)為控制器的脆弱性［7］。在傳統(tǒng)減振控制器研究中，YEGANEHFALLAH 等［8］考慮到斜拉索系統(tǒng)動態(tài)參數(shù)的不確定性，提出一種解決此問題的魯棒控制器設(shè)計方法;段玉賀等［9］為了降低振幅和振速，分別在斜拉索-磁流變阻尼器減振控制算法中引入?yún)^(qū)域極點(diǎn)和協(xié)方差性能指標(biāo)約束的魯棒控制理論，設(shè)計出減振效果良好的控制器。但上述研究未考慮斜拉索-磁流變阻尼器的外部擾動和減振控制器參數(shù)增益不確定性，目前將魯棒控制中多性能指標(biāo)約束［10］和非脆弱控制［11］相結(jié)合的減振控制研究成果尚不多見。

為減少斜拉索減振控制器參數(shù)攝動和外部擾動對系統(tǒng)性能的影響，本文提出一種多性能指標(biāo)約束的非脆弱減振控制器設(shè)計方法。運(yùn)用非脆弱控制和魯棒控制中的多性能約束方法，以抑制振蕩幅值和時間為目標(biāo)，給出該減振控制器設(shè)計形式及求解方法，并與常規(guī)減振控制器、H∞減振控制器的減振效果進(jìn)行分析對比。

1 系統(tǒng)模型及求解分析

1.1 系統(tǒng)模型建立

斜拉索-磁流變阻尼器動力學(xué)模型如圖1 所示。

圖1 斜拉索-磁流變阻尼器動力學(xué)模型示意圖Fig.1 Schematic of dynamic model of stay cable-magnetorheological damper

斜拉索在風(fēng)雨振主發(fā)生面存在極小垂度(考慮材質(zhì)、安裝等因素)。假設(shè)靜平衡狀態(tài)下斜拉索長度為L，與水平面夾角為θ，振動時斜拉索曲線為y(x，t)，靜平衡下索曲線為y0(x)、索力變化量為ΔS;外部激勵載荷f(t)垂直作用于斜拉索，且在二維X、Y 面內(nèi)存在fx、fy;兩側(cè)磁流變阻尼器對稱安裝在距錨固端xd處，軸向阻尼力為fd(t)，與水平面夾角為α 且與斜拉索索長方向垂直。

結(jié)合Hamilton 原理可得斜拉索-磁流變阻尼器系統(tǒng)動力學(xué)方程［12］為

其中

式中 T——系統(tǒng)動能

Vf——彎曲應(yīng)變能

Vs——拉伸應(yīng)變能

δWc——系統(tǒng)阻尼做功

δWd——阻尼器做功

δWf——外力做功

m——斜拉索單位長度質(zhì)量

V——彎曲與拉伸應(yīng)變能總和

δW——系統(tǒng)阻尼、阻尼器及外力做功總和

由于斜拉索抗彎剛度和斜拉索振動時的索力增量較小，可忽略不計，即EI≈0，E 為斜拉索彈性模量，I 為慣性矩，ΔS≈0 得n 組方程［13］為

式中 c0——斜拉索單位長度阻尼系數(shù)

S0——初始索力

qi——廣義位移坐標(biāo)

φi——i 階振型函數(shù)

φid——阻尼力作用下的i 階振型函數(shù)

φj——j 階振型函數(shù)

令u(t)= -fd(t)，得其矩陣形式為

式中 M——質(zhì)量矩陣 K——剛度矩陣

C——阻尼矩陣

φ(xd)——振型函數(shù)向量在坐標(biāo)xd處的向量

u(t)——斜拉索所受阻尼力

1.2 求解及系統(tǒng)分析

1.2.1 切比雪夫級數(shù)的方程求解

M、K、C 中矩陣元素mij、kij、cij的計算十分復(fù)雜，為簡化求解過程，采用切比雪夫級數(shù)計算方法，并以正弦函數(shù)表示該振型函數(shù)。斜拉索-磁流變阻尼器的振型函數(shù)可表示為［9］

其中

式中 fi——i 次切比雪夫級數(shù)系數(shù)

Ti(x)——i 次切比雪夫多項式

斜拉索采用磁流變阻尼器控制，其振動形態(tài)發(fā)生很大變化，也增加了求解過程復(fù)雜性。為提高振動時收斂速度，可用“0”階振型表示磁流變阻尼器作用下靜力變形，即

則斜拉索振動狀態(tài)為

1.2.2 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)

式中 zq(t)——y 向廣義坐標(biāo)狀態(tài)變量

A——系統(tǒng)矩陣

B——控制矩陣

D——擾動矩陣

同時，φi(x)需滿足索的幾何邊界條件φi(0)=φi(1)=0，φd=φ(xd)，φ0=φ(x0)。對此，引入狀態(tài)矩陣與矩陣不確定性項［9］，式(7)改寫為

其中

式中 ΔA——系統(tǒng)矩陣中未知實矩陣

ΔB——控制矩陣中未知實矩陣

F——不確定矩陣，∈Rij且滿足FFT＜I

E1、E2——系統(tǒng)模型中不確定性結(jié)構(gòu)矩陣

H——有LEBESUGE 可測元的未知矩陣

為解決斜拉索-磁流變阻尼器狀態(tài)空間式(8)中減振控制器參數(shù)攝動問題，選用非脆弱狀態(tài)反饋控制，即

式中 K1——控制增益，∈Rm×n

ΔK1——控制器參數(shù)的增益攝動，∈Rm×n

為構(gòu)造控制器增益攝動，選擇加法攝動方式，其表達(dá)形式為

即斜拉索-磁流變阻尼器系統(tǒng)式(8)在非脆弱狀態(tài)反饋控制式(10)作用下，得到系統(tǒng)狀態(tài)方程

其中

式中 WK(t)——外部激勵載荷f(x)的函數(shù)［14］

基于此，設(shè)計一種多性能指標(biāo)約束下的非脆弱減振控制器式(10)，其閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)能夠配置在以(-q，0)為圓心、半徑為r 的圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)，且滿足0 ＜r ＜q，以保證減振控制快速性與穩(wěn)定性;同時，為解決減振控制系統(tǒng)外界干擾及增益攝動問題，引入非脆弱控制、H∞性能指標(biāo)約束、協(xié)方差性能指標(biāo)約束，用以減少斜拉索的振幅與振速，且使振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有較小上界。若斜拉索-磁流變阻尼器減振控制系統(tǒng)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)協(xié)方差可定義為

式中 X——半正定矩陣

且滿足

結(jié)合引理，用以設(shè)計多性能指標(biāo)約束的非脆弱減振控制器

引理1［15］:給定矩陣A，其所有特征值均在圓盤F(-q，r)中的充要條件是存在適維對稱正定矩陣X ＞0，使得

引理2［16］:給定適維矩陣Q、H、E，對任意滿足FFT≤I 的矩陣F 存在

當(dāng)且僅當(dāng)存在正實數(shù)ε 使得

2 減振控制器設(shè)計

2.1 常規(guī)減振控制器

定理1:對隨機(jī)載荷f(t)激勵下的減振控制系統(tǒng)式(12)，不考慮控制器攝動，能使得控制器u(t)=K1zq(t)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)，且振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有上界的充要條件是以下矩陣不等式組有可行解［18］。

顯然，式(19)為保證閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置到圓盤F(-q，r)區(qū)域內(nèi)，使得減振控制具有快速性與穩(wěn)定性;式(19)保證了振幅與振速方差矩陣有上界，滿足:X ＜Q。式(20)要求矩陣Q 為正定矩陣。

為便于求解式(18)～(20)矩陣不等式方程，利用矩陣變換和引理將其轉(zhuǎn)換為下LMIs 形式。

定理2:減振控制器u(t)=K1zq(t)在隨機(jī)載荷f(t)的激勵下，存在反饋控制增益陣K1，使得減振控制系統(tǒng)極點(diǎn)配置在圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)且振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有上界的充要條件是:存在正實數(shù)變量εi(i=1，2，3)和矩陣變量Q、S，使LMIs有可行解，即

證明:定義控制增益K1=SQ-1，應(yīng)用引理1 ～3，并參照文獻(xiàn)［19］，可知結(jié)論成立。

2.2 H∞減振控制器

定理3:減振控制器u(t)=K1zq(t)在隨機(jī)載荷f(t)激勵下，減振控制器極點(diǎn)能夠配置在圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)，系統(tǒng)抗干擾能力‖H(S)‖∞＜γ，且振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有上界的充要條件是存在可配置正定矩陣Q 和反饋增益K1同時滿足［20］

式(24)～(27)分別表示閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置到圓盤F(-q，r)區(qū)域內(nèi)，以保證減振控制具有快速性與穩(wěn)定性;系統(tǒng)抑制外界干擾指標(biāo)‖H(S)‖∞＜γ;以及斜拉索的振幅與振速穩(wěn)態(tài)狀態(tài)協(xié)方差陣有上界且X ＜Q。

利用矩陣變換和引理將其轉(zhuǎn)換為下LMIs 等價形式。

定理4:減振控制器u(t)=K1zq(t)在隨機(jī)載荷f(t)的激勵下，存在反饋控制增益陣K1，使得減振控制系統(tǒng)極點(diǎn)配置在圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)，系統(tǒng)抑制外界干擾指標(biāo)‖H(S)‖∞＜γ，且振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有上界的充要條件是:存在正實數(shù)變量εi(i=1，2，3，4，5)、γ 和矩陣變量Q、S，使線性LMIs 有可行解，即

證明:略。

2.3 非脆弱減振控制器

定理5:減振控制閉環(huán)系統(tǒng)式(12)在隨機(jī)載荷f(t)的激勵下，控制器參數(shù)具有一定的攝動范圍，閉環(huán)極點(diǎn)配置在圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)，且振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有上界，同時，能夠抑制系統(tǒng)外界干擾指標(biāo)‖H(S)‖∞＜γ 的條件為存在可配置正定矩陣Q 和非脆弱減振控制增益，同時滿足［21］

式(32)～(35)分別表示必存在正定矩陣Q 和非脆弱減振控制器反饋增益=K1+ΔK1，使減振控制系統(tǒng)中的實常數(shù)方陣A 的所有特征值均具有負(fù)實部，且可配置到圓盤區(qū)域F(-q，r)內(nèi)，以保證減振控制具有一定的快速性與穩(wěn)定性;同時，為抑制外界干擾和斜拉索的振幅、振速，其對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)滿足‖H(S)‖∞＜γ，振幅、振速穩(wěn)態(tài)狀態(tài)協(xié)方差矩陣X和正定矩陣Q 之間的關(guān)系也必滿足X ＜Q。

為便于求解，利用矩陣變換和引理將上述矩陣不等式轉(zhuǎn)換為下LMIs 等價形式。

定理6:若斜拉索-磁流變阻尼器減振控制器式(10)中含有加性不確定性式(11)，則閉環(huán)系統(tǒng)式(12)極點(diǎn)配置于圓盤區(qū)域F(q，r)內(nèi)且滿足振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣X 有上界，同時，能夠抑制系統(tǒng)外界干擾指標(biāo)‖H(S)‖∞＜γ 的充要條件為:存在正實數(shù)變量εi(i =1，2，…，7)、γ 和矩陣變量Q、S，使得LMIs 有可行解，即

式中，S=K1Q，則在含有加性不確定攝動系統(tǒng)式(11)中，其名義控制增益為K1=SQ-1。

證明:根據(jù)引理1、引理2，表征快速性與穩(wěn)定性圓盤極點(diǎn)約束性能指標(biāo)式(32)等價為

由引理(2)可得

令S=K1Q，根據(jù)引理3 可證得與不等式(32)等價條件式(36)。此外，為抑制外界對減振控制系統(tǒng)干擾，引入H∞性能指標(biāo)約束式(33)，并結(jié)合引理1 ～3，可證得等價條件式(37)。同理可證斜拉索振幅、振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差約束式(34)等價于式(38)。

若要進(jìn)一步優(yōu)化減振控制器增益及抑制擾動的H∞性能指標(biāo)γ，需結(jié)合凸優(yōu)化方法，以解決系統(tǒng)H∞性能指標(biāo)γ、圓盤極點(diǎn)可配置、振幅和振速穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)約束下的極小值問題。

2.4 凸優(yōu)化問題求解

假設(shè)在非脆弱控制下能同時滿足H∞性能指標(biāo)約束、圓盤極點(diǎn)性能指標(biāo)約束和方差性能指標(biāo)約束，由定理6 可知，式(36)～(39)必有可行解，其不僅使H∞性能指標(biāo)γ 較小，且其穩(wěn)態(tài)狀態(tài)方差性能指標(biāo)的上界與極點(diǎn)性能指標(biāo)有相容的較小上界［22］，即

令(QL，SL，ε1L，ε2L，…，ε7L，γ2L)為上述極值問題的相應(yīng)極小值，若給定方差上界σ2＞diag(QL)，則式(36)～(39)必有可行解。于是，在給定H∞性能指標(biāo)γ、極點(diǎn)配置性能指標(biāo)和方差上界性能指標(biāo)σ2＞diag(QL)時，則定理7 成立。

定理7:若減振控制器閉環(huán)系統(tǒng)式(12)極點(diǎn)可配置，取H∞性能指標(biāo)γ、圓盤極點(diǎn)性能指標(biāo)以及振速、振幅穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)，則滿足σ2＞diag(QL)的方差上界指標(biāo)σ2與區(qū)域極點(diǎn)指標(biāo)F(- q，r)相容，即

3 仿真實例

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程矩陣參數(shù)

以浙江省某跨海大橋C22(長索)和C13(短索)斜拉索為實例驗證。磁流變阻尼器安裝方式如圖1所示。斜拉索與MR-60 型磁流變阻尼器相互垂直于連接處，且對稱安裝在距離橋面高1.8 m 位置。

MR-60 型磁流變阻尼器最大工作電流為2 A，最大阻尼力為8 kN，部分工況參數(shù)［23］如表1 所示。

表1 MR-60 型磁流變阻尼器工況參數(shù)Tab.1 Working parameters of MR-60 magnetorheological damper

斜拉索材料選用鍍鋅鋼絲，其彈性模量為200 GPa，C22 和C13 斜拉索基本參數(shù)如表2、3 所示。

表2 C22 斜拉索基本參數(shù)Tab.2 Basic parameters of C22 stay cable

表3 C13 斜拉索基本參數(shù)Tab.3 Basic parameters of C13 stay cable

結(jié)合式(8)，取形函數(shù)數(shù)目n =2［9］，可計算得C22 和C13 號斜拉索參數(shù)矩陣M、K、C 和A、B、D及WK為

3.2 系統(tǒng)不確定參數(shù)及控制器增益攝動不確定性參數(shù)

考慮到實際的工程環(huán)境、斜拉索模型的非線性和增益攝動范圍等因素，引入5%不確定性誤差作為模型輸入矩陣和控制器參數(shù)攝動誤差，則

由于非脆弱減振控制器增益K*1在實際執(zhí)行時為［24-25］

其中

則可定義矩陣

同時，考慮到5%輸入誤差，則取

利用Matlab 并結(jié)合定理2、定理4、定理6、定理7可得C22、C13 號斜拉索相應(yīng)控制器增益及抗擾指標(biāo)γ。

常 規(guī) 減 振 控 制 器 增 益 為:K1C22=［-0.431 6 0.026 5 -0.500 9 -0.068 0］;K1C13=［-0.328 9 0.011 4 -0.360 5 -0.040 7］。

H∞減振控制器增益及抗擾指標(biāo)γ 為:K2C22=［-0.417 5 0.007 8 -0.495 2 -0.051 4］;K2C13=［-0.348 1 0.001 4 -0.366 7 -0.033 0］;γC22min=2.121 4、γC13min=2.143 1，取H∞性能指標(biāo)γC22=γC13=3。

非脆弱減振控制器增益及抗擾指標(biāo)為:K3C22=［-0.512 5 -0.905 9 -0.566 4 1.151 1］;K3C13=［-0.387 3 -0.560 3 -0.410 4 0.673 9］;γC22min=1.251 9;γC13min=1.716 9，取H∞性能指標(biāo)γC22=γC13=2。

非脆弱減振控制器控制下的極點(diǎn)與常規(guī)減振控制器、H∞減振控制器控制下的極點(diǎn)能夠配置在同一圓盤F(-2，1)內(nèi)，得到極點(diǎn)分布圖如圖2、3 所示。

圖2 C22 號斜拉索3 種不同減振控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布圖Fig.2 Closed-loop pole distribution of three different vibration damping control systems for C22 stay cable

圖3 C13 號斜拉索3 種不同減振控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布圖Fig.3 Closed-loop pole distribution of three different vibration damping control systems for C13 stay cable

以不同均值高斯白噪聲(WK=0.100 2、2WK=0.200 4)分別表示不同隨機(jī)載荷擾動，通過Simulink仿真計算，獲得3 種不同減振控制器在不同隨機(jī)擾動、不同振動狀態(tài)下的零輸入響應(yīng)曲線，如圖4、5所示。

圖4 隨機(jī)擾動為0.100 2 時C22 號與C13 號斜拉索不同狀態(tài)零響應(yīng)輸入曲線Fig.4 Zero response input curves of C22 and C13 stay cables with random disturbances at 0.100 2

由圖4、5 可知，常規(guī)減振控制器指僅含極點(diǎn)配置性能指標(biāo)約束、穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)約束的閉環(huán)控制系統(tǒng);H∞減振控制器指同時擁有H∞性能指標(biāo)約束、極點(diǎn)配置性能指標(biāo)約束、穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)約束的閉環(huán)控制系統(tǒng);非脆弱減振控制器指閉環(huán)系統(tǒng)不僅滿足H∞性能指標(biāo)約束、極點(diǎn)配置性能指標(biāo)約束、穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)約束，且求取的反饋控制矩陣K1在一定的攝動范圍內(nèi)仍能使減振控制器閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定。此外，Z1、Z2 表示系統(tǒng)在減振控制器作用下振動幅值的響應(yīng)狀態(tài);Z3、Z4 表示系統(tǒng)在減振控制器作用下振動速度的響應(yīng)狀態(tài)。

3.3 仿真分析比較

通過對比H∞減振控制器及非脆弱減振控制器抗擾性能指標(biāo)值γ 可知，非脆弱減振控制器閉環(huán)系統(tǒng)擁有較小的抗擾指標(biāo)值。同時，由圖2、3 分析可知，在非脆弱控制及多性能指標(biāo)約束作用下(H∞性能指標(biāo)約束、圓盤極點(diǎn)約束、穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)約束)，非脆弱減振控制器閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與常規(guī)減振控制器閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、H∞減振控制器閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)能配置在同一圓盤F(-2，1)內(nèi)，使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性得以保證。

此外，由圖4、5 知，在WK及2WK2 種強(qiáng)度的隨機(jī)載荷擾動下，C22 號與C13 號斜拉索在H∞減振控制器控制下的不同振動狀態(tài)比常規(guī)減振控制器控制下的振動幅值和振動速度的收斂時間有所降低，但減少量不太明顯，且收斂時間均在150 s 后;而在非脆弱減振控制器控制下的不同振動狀態(tài)的振動幅值和振動速度在70 ～80 s 內(nèi)已收斂。同時，在WK=0.100 2 和2WK=0.200 4 隨載荷擾動下，C22 號索振幅降低57.805%，收斂時間縮短56.705%;C13號索振幅降低74.395%，收斂時間縮短77.845%。

圖5 隨機(jī)擾動為0.200 4 時C22 號與C13 號斜拉索不同狀態(tài)零響應(yīng)輸入曲線Fig.5 Zero response input curves of C22 and C13 stay cables with random disturbances at 0.200 4

4 結(jié)論

(1)將非脆弱控制和H∞性能指標(biāo)約束、圓盤極點(diǎn)性能指標(biāo)約束及穩(wěn)態(tài)協(xié)方差性能指標(biāo)約束相結(jié)合，應(yīng)用到斜拉索減振控制器的設(shè)計方法中，既能保證減振控制系統(tǒng)的快速性與穩(wěn)定性，改善減振控制器參數(shù)易發(fā)生攝動的狀況，也抑制了外界擾動對減振控制系統(tǒng)的影響，具有較好的抗擾性能。

(2)在不同隨機(jī)載荷擾動下，多性能指標(biāo)約束下的非脆弱減振控制器能有效抑制外界干擾，使斜拉索減振控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定。實例仿真表明，C22號索振幅降低57.805%，收斂時間縮短56.705%;C13 號索振幅降低74.395%，收斂時間縮短77.845%，具有良好的工程應(yīng)用價值。