基于狀態空間模型的飛行器裝配誤差敏感度研究

孫崇飛 李 欣 朱一鳴 尚建忠 羅自榮 何立軍

(1.國防科技大學智能科學學院，長沙410073;2.山東理工大學機械工程學院，淄博255049;3.國防科技大學脈沖功率激光技術國家重點實驗室，合肥230037;4.曼徹斯特大學機械、航天與土木工程學院，曼徹斯特M17JR;5.陸軍勤務學院訓練基地，武漢430035)

0 引言

飛行器是人類探索未知領域和利用自然資源的重要工具［1-2］。角偏誤差是飛行器多艙段精密裝配的核心指標，對控制艙體內傳感器電氣軸線安裝精度和確保飛行器正常工作具有重要意義［3-6］。在飛行器制造過程中，不同誤差源對最終裝配的影響程度不同，其對應精度控制的實現難易程度也不同。通過分析每個誤差源的敏感度、重點削減敏感度較大的誤差源，有助于降低飛行器制造成本、提高飛行器性能特性。

飛行器裝配精度主要受裝夾誤差和制造誤差等影響，裝配精度分析的重點是對誤差進行建模和分析。根據配合特征和夾具對裝配的影響，把裝配問題分成Ⅰ型裝配和Ⅱ型裝配兩大類。Ⅰ型裝配中零件位置僅由配合特征決定，不包括夾具定位誤差和工位內部相互作用。文獻［7 -11］研究了Ⅰ型裝配問題。MANTRIPRAGADA 等［12］用運動學關節概念定義運動約束，以運動學原理和變換為主要方法分析零件間的誤差累積。Ⅱ型裝配中零件位置受裝配特征和夾具的共同影響。Ⅱ型裝配在汽車與飛機制造工業中比較常見，其典型研究見文獻［13 -18］。

誤差敏感度表示不同裝配誤差對裝配最終效果的影響程度，是評價裝配精度重要指標。目前，裝配誤差敏感度的相關研究取得了一定進展。LIU等［19］將誤差描述擴展到三維空間，構建了三維誤差傳遞過程狀態空間模型，主要將定位元件誤差作為誤差源。QURESHI 等［20］在公差分析過程中將誤差描述為一個間隙量，便于過度約束的公差分析。ANSELMETTI［3］提出基于“雅可比-矢量對”模型，實現了雅可比矩陣和矢量對方法的綜合。HUANG等［21］提出了基于3-2-1 定位夾具的多工位裝配工藝誤差傳遞模型，形成面向三維空間的誤差裝配模型。LAPERRIèRE 等［22］將三維空間幾何變化用6 個標量方程表示，以此實現公差分析，但未考慮裝配基準在誤差傳遞中的作用。

本文提出一種包含關鍵產品特性(Key product characteristic，KPC)和關鍵控制特性(Key control characteristic，KCC)的裝配誤差敏感度量化分析方法。該方法基于狀態空間模型對飛行器的多艙段裝配過程進行量化追蹤，以控制和補償其裝配精度。

1 裝配誤差敏感度表示

飛行器的性能特性主要取決于實現其產品功能的關鍵設計特征。在裝配領域，KPC 相當于關鍵設計特征，KPC 可以通過提高夾具定位精度和幾何尺寸誤差進行控制。而夾具定位精度和夾具幾何尺寸誤差主要包含于KCC。KPC 和KCC 在誤差傳播模型中以點的形式存在，可記為KPCs 和KCCs。在剛體多工位裝配過程中，KCCs 誤差對KPCs 幾何精度的影響依賴于各工位上夾具幾何尺寸和工位間夾具的改變。

用γ(i)來表示KPC 誤差與KCC 誤差的比值，對應裝配狀態空間模型的系統矩陣由工位之間定位的變化、單獨工位上定位夾具的幾何因素和KPCs的選擇決定。如果把工位標號i 視為動態系統的時間，則狀態空間系統模型可描述為一個線性時變的隨機過程。因此，可以把動態系統靈敏度分析的方法應用到多工位裝配過程中。裝配過程中的靈敏度分析可理解為系統對特定誤差輸入的響應，靈敏度指標即類似于傳統控制理論中的系統增益。

圖1 為N 個工位裝配過程，KPC 誤差可表示為

圖1 N 個工位的裝配過程Fig.1 Assembly process of N positions

誤差向量σ2out，其組成元素為ΣY的對角元素。KCC誤差的輸入可用夾具、工位和系統3 個不同角度來考慮，相應3 個級別的靈敏度指標為:

(1)特征級別靈敏度指標Sip為

式中 κ——加權系數，決定KPC 誤差的重要性

‖·‖2——歐幾里得范數

σ——誤差

i——工位序號

p——定位點序號

Sip指出了第i 個工位上的第p 個定位特征對KPC 誤差的貢獻，相當于一個單輸入多輸出(Singleinput multi-output，SIMO)系統的增益。它決定了對KPC 誤差貢獻最大的關鍵定位特征。

(2)工位級別靈敏度指標Si為

其中，Si指出了在第i 個工位上夾具的所有定位特征是如何共同影響KPC 誤差的，相當于一個多輸入多輸出(Multi-input multi-output，MIMO)系統的增益。它決定了對KPC 誤差貢獻最大的關鍵工位。

(3)系統級別的靈敏度指標So為

上述Sip、Si和So是KPC 誤差與KCC 誤差的比值，相當于單位KCC 誤差輸入的KPC 誤差。3 個單位KCC 誤差有區別:對于單獨的定位特征，單位KCC 誤差是=1;對于單獨工位，單位KCC 誤差是夾具所有定位特征共同的影響，即‖σ2i‖2=1;對于整個系統，單位KCC 誤差是所有工位聯合的影響，即‖‖2=1。一個小于1 的敏感度系數意味著KPC 誤差等級可以比KCC 誤差等級更低。相反，一個大于1 的敏感度系數說明了系統放大了輸入誤差。大多數的多工位系統的敏感度系數都會大于1，然而期望得到敏感度系數較小的誤差系統。因此，需要比較并分析這些敏感度系數，找出敏感工位或敏感夾具來優先滿足其要求，進而減小最終誤差。

其中γ2(i)中的元素是矩陣γ(i)對應元素的平方，即

根據Sip的定義，假設每次在整個過程中只有一個誤差源，則在所有KCC 輸入中只有向量σ2i是非零的，它只包含一個非零元素σ2ip。因此，第i 個工位上的第p 個定位點的敏感度指標Sip可以表示為

根據Si的定義，假設每次只有一個工位有誤差輸入，但是在每個工位中，會同時有多個定位特征對做出貢獻，在所有KCC 輸入中只有向量σ2i是非零的。因此，Si可以表示為

系統級別的敏感度考慮了所有KCC 誤差輸入的可能組合，包括工位內部和工位之間。因此，它代表了整個過程系統對于KCC 輸入的敏感度。So可以表示為

當然，也可認為夾具敏感度系數是特殊的工位敏感度系數及系統敏感度系數，即考慮在相應的工位內和過程中找出最大的夾具敏感度系數分別作為工位敏感度系數和過程敏感度系數。夾具敏感度系數則代表過程對單一誤差輸入的響應，而實際的工位敏感度系數Si和系統敏感度系數So表示多個誤差輸入同時作用系統的響應。這兩種方法在定義上有所不同，需根據實際情況而定。

2 基于飛行器模型的敏感度理論計算

以一個三艙段飛行器的裝配過程為例，對其誤差敏感度進行計算和驗證。裝配過程分為3 個工位，其裝配示意圖及裝配順序如圖2 所示。

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圖2 三艙段飛行器的裝配實例Fig.2 Application example of three-section aircraft assembly

定義裝配過程中的KCC 點P1～P6。其中，零件定位點坐標分別為(240，135，0)、(240，-135，0)、(240，-90.7，-100)、(540，135，0)、(540，135，0)和(540，125.4，50)，測量點M1～M4坐標分別為(0，95，0)、(0，- 95，0)、(840，135，0)和(840，-135，0)，單位均為mm。

夾具的可能定位順序如表1 所示。為簡化分析，取所有KPCs 的加權系數均為1。

裝配過程中，有2 個裝配工位和1 個測量工位，即N=3。測量工位應排除夾具的影響，因此其夾具的輸入誤差遠小于其他工位，認為是零。而其他兩個工位上夾具的輸入誤差U(1)、U(2)不能忽略。定義測量值為艙體1 與艙體3 的X 軸向角偏誤差，以第2 種裝配順序為例，裝配過程的狀態空間模型表達式為

表1 三艙段飛行器的裝配順序Tab.1 Aircraft assembly sequence

其中A、B、C 和U 可以由零件定位點和測量點已知坐標值計算得到，進而可得

因此，γ(1)= CA(2)A(1)B(1)，γ(2)=CA(2)B(2)。

各工位誤差對裝配總誤差貢獻率計算式為

由式(7)、(11)求得該裝配順序下的工位級敏感度指標及其貢獻率，如表2 所示。

表2 工位級敏感度指標及其貢獻率Tab.2 Position-level sensitivity index and its corresponding contribution rate

由式(6)可求得特征級敏感度指標。每一個工位上都有2 個獨立的配合特征。工位1 上艙體1 后端面和艙體2 前端面的特征級敏感度指標均為15.97%，工位2 上艙體2 后端面和艙體3 前端面的特征級敏感度指標均為34.03%。

3 基于蒙特卡洛方法的裝配誤差敏感度分析

當前基于數值仿真的剛性體裝配誤差分析已開始用于3DCS 等商業軟件，其在前向設計仿真和容差分析等方面具有明顯優勢。蒙特卡羅(Monte Carlo)方法又稱為隨機模擬(Random simulation)方法，以概率統計論為理論基礎，通過隨機變量抽樣對數學問題或工程技術問題進行分析。其計算方法及程序結構相對簡單，適應性強，可直接模擬求解，能替代設計過程中的部分真實試驗。本文采用蒙特卡羅方法對多艙段飛行器裝配誤差敏感度進行分析和驗證。

建立蒙特卡洛仿真所需的飛行器模型，如圖2所示。該模型的裝配采用基于虛擬夾具的3-2-1 定位法定位，每個配合面上定義包括兩定位銷孔在內的6 個定位點，如圖3 所示。

圖3 艙體一面兩孔的定位方式Fig.3 Positioning method of two-hole-one-side of section

設定模型的形位公差、各連接安裝面的平面度誤差和垂直度誤差均為0.01 mm，平面度誤差和垂直度誤差都是線性公差。平面度公差如圖4 所示。把連接面看作多個離散點的組合，連接安裝面的形位公差等價為離散點在某個方向上相對于名義位置的偏移量。

圖4 平面度公差Fig.4 Flatness tolerance

選取每個連接安裝面上兩個定位銷孔和螺栓連接孔之一為裝配特征，選取其中心點為描述連接安裝面形位公差的離散點。設定每個點沿連接安裝面法向量方向的偏移量服從正態分布N(0，0.01)。

位置度公差如圖5 所示。設定各連接安裝面上兩定位銷孔的位置度公差為0.01 mm，位置度公差為圓域公差。偏離范圍為一個以點的名義位置為圓心、公差為半徑的圓域。

圖5 位置度公差Fig.5 Position tolerance

設定兩定位銷孔的位置偏移量服從正態分布N(0，0.01)。定義圖2 中艙體1 與艙體2 的X 軸向與Y 軸向角偏誤差為測量值，進行2 000 次仿真，結果如圖6 所示。考慮到裝配順序會對裝配結果造成影響，在仿真中定義裝配順序為首先裝配艙體1 和艙體2，再將其作為子裝配體與艙體3 裝配。

圖6 艙體1 與艙體3 的角偏誤差仿真值分布Fig.6 Angular deviation error distribution of section 1 and section 3

以艙體1 與艙體3 的X 軸向角偏誤差為測量值時，艙體2 前端面對其影響最小，特征級敏感度指標為16.09%;其次為艙體1 后端面對結果的影響，敏感度指標為17.03%;艙體2 后端面的平面度與垂直度對結果的影響可達33.16%;對裝配結果影響最大的是艙體3 前端面的平面度與垂直度，其特征級敏感度指標略大于艙體2 后端面，為33.72%。

對理論分析和蒙特卡洛仿真的計算結果對比可得，理論分析得出的4 個配合特征面敏感度指標與蒙特卡洛仿真得出的4 個配合特征面敏感度指標的誤差最大為6.05%。對理論表達式與蒙特卡洛仿真計算得到的特征級敏感度進行對比驗證，驗證了理論方法計算飛行器多艙段裝配誤差敏感度的正確性。此外，當以艙體1 與艙體3 的Y 軸方向的角偏誤差為測量值時，艙體3 前端面和艙體2 后端面兩個定位銷孔的位置度對其影響最大，影響率為37.48%;其次是艙體1 后端面和艙體2 前端面兩個定位銷孔位置度的影響，其值為12.52%;分析還得出，所有連接安裝面的平面度與垂直度誤差對艙體1 與艙體3 的Y 軸方向的角偏誤差影響為0。

4 結束語

提出了一種包含關鍵產品特性和關鍵控制特性基于狀態空間模型的裝配誤差敏感度量化分析理論方法，對飛行器多艙段精密裝配過程中的誤差敏感度分為特征級、工位級和系統級，并進行了闡述和定義。通過聯立誤差狀態空間模型和輸出方程，求出狀態轉換矩陣，得到了誤差敏感度的理論表達式。通過蒙特卡洛仿真的方法對上述敏感度的理論表達式進行了對比驗證。研究表明，將動態系統靈敏度分析方法應用到多工位裝配過程可行，基于狀態空間模型的飛行器裝配誤差敏感度分析方法合理。