關于Bergman 空間上復合算子的復對稱性

宏俊穎， 韓學紅

(天津大學數學學院， 天津 300354)

1 引 言

設L(H)為可分的復Hilbert空間H上所有有界線性算子組成的代數.對任意的x,y∈H，任意復數集C中的元素α，β，若算子C:H→H滿足：

(ii) 〈Cx,Cy〉=〈y,x〉；

(iii)C為對合算子，即C2=I，這里I為恒等算子；

則稱算子C是H上的共軛. 算子T∈L(H)稱為復對稱的是指存在H上的共軛C使得T=CT*C成立. 此時，稱T關于共軛C是復對稱的.

設D為復平面C上的單位圓盤，H(D)和S(D)分別表示單位圓盤上的所有解析函數和所有全純自映射的集合. 由φ∈S(D)所誘導的復合算子Cφ定義為

Cφf(z)=f°φ(z)，f∈H(D)，z∈D.

給定ψ∈H(D)，乘積算子Tψ定義為Tψ(f)(z)=ψ(z)·f(z)，f∈H(D).

2006年，Garcia和Putinar[1]將復對稱矩陣的概念推廣到Hilbert 空間，引入了復對稱算子的概念.此后算子的復對稱性被廣泛研究. 首先是Garcia[2]指出了所有正規算子都是復對稱的.緊接著，Garcia 和Hammond[3]研究了加權Hardy空間上(加權)復合算子的復對稱性.其后，Jung等人[4]在文獻[3]的基礎上進一步研究了加權Hardy空間上(加權)復合算子的復對稱性.其中，作者給出了一些非正規的復對稱算子的例子.Bourdon和Noor[5]指出Hardy空間上復合算子Cφ是復對稱算子的必要條件是φ在D內有Denjoy-Wolff點或φ是橢圓自同構，同時指出階數大于3的橢圓自同構誘導的復合算子不是復對稱的.最近，Gao和Zhou[6]指出Hardy空間上階數等于3的橢圓自同構誘導的復合算子也不是復對稱的，并且他們也完整地刻畫了由分式線性變換誘導的復合算子的復對稱性.此外，Narayan等人在文獻[7]中還給出了Hardy空間上由非自同構的線性分式映射所誘導的復合算子是復對稱而非正規算子的例子.

相比Hardy空間，Bergman空間上復合算子的復對稱的研究結果較少.除了在文獻[3]中有所涉及(因為加權Hardy空間包含Bergman空間的情形)外，只有Eklund等人[8]最近將文獻[5]中的結果推廣到Bergman空間得到類似的結果：Bergman空間上的復合算子Cφ是復對稱算子的必要條件是φ在D內有Denjoy-Wolff點或φ是橢圓自同構，且階數大于5的橢圓自同構誘導的復合算子不是復對稱的.

本文在文獻[8]的基礎上將文獻[7]的結果部分推廣到Bergman空間上，給出了Bergman空間上由非自同構的線性分式映射所誘導的復合算子是復對稱而非正規的例子. 由于 Hardy空間與Bergman空間核函數的不同導致Cowen 自伴公式(本文的引理2.1)也有所差異， 本文的證明思路與文獻[7]基本一致，但是在Bergman空間上對函數ζ,ψ的選取和一些細節的計算卻與Hardy空間不同. 本文主要結論如下:

定理1.1設σ(z)=az+c∈S(D)且非恒等映射，則Cσ在A2(D)上是復對稱的當且僅當σ在D內有Denjoy-Wolff點并且無邊界不動點.

注由文獻[9]中定理8.2知，Cφ是A2(D)上的正規算子當且僅當φ(z)=az且|a|≤1，故由定理1.1知，當c≠0且σ(z)滿足定理1.1的條件時，Cσ是復對稱算子，但不是正規算子.

2 預備知識

線性分式映射

定理中的ω稱為φ的Denjoy-Wolff點. 值得一提的是，Cφ的性質與Denjoy-Wolff點密切相關.

3 復對稱復合算子的例子

本節我們將給出定理1.1的證明. 首先，我們給出共軛算子的一些基本性質.

引理3.1(文獻[7]，命題2.1) 設J1和J2是可交換的等距算子且均為對合，且其中之一為線性而另一個為共軛線性，則J1J2是一個共軛.

(1)

h(z)=(1-bz)2.

這表明TζCτ是自伴的.再由(1)式，TζCτ是酉算子.由b∈R，易知J和TζCτ是可交換的. 因此，由引理3.1，JTζCτ是一個共軛. 證畢.

下面的引理容易由引理2.1直接得到，我們略去證明.

接下來，我們討論當σ(z)=az+c時Cσ的形式.

證明 這一結論可通過簡單的計算得到，本文只給出大概過程.

首先，對任意的f∈A2(D)有

JTζCτTψCφJTζCτf(z)=JTζCτTψCφJTζf(τ(z))=

(2)

(3)

az+b(1-a)=σ(z)

(4)

(5)

(6)

結合(2)～(6)式有

f(σ(z))=f(σ(z))=Cσf(z).

因而Cσf(z)=JTζCτTψCφJTζCτf(z)對任意的f∈A2(D)均成立. 證畢.

由引理3.2知這里的JTζCτ是一個共軛，故Cσ關于共軛JTζCτ是復對稱的. 證畢.

U-θCσ1Uθf(z)=U-θCσ1f(eiθz)=

U-θf(eiθσ1(z))=f(eiθσ1(e-iθz))=

f(σ(z))=Cσf(z)，

這里σ(z)=az+c，c=c1eiθ.這表明Cσ1和Cσ是酉等價的. 因此，由θ∈R的任意性知，對所有滿足條件的σ，Cσ也是復對稱的. 證畢.

定理 1.1的證明 若c=0，且σ不是恒等映射，則σ有唯一不動點為原點且沒有邊界不動點. 另外，根據文獻[9]的定理 8.2得Cσ是A2(D)上的正規算子，Cσ一定是復對稱的. 定理顯然成立.