一類二階離散左定Sturm-Liouville問題的譜

2020-07-08 05:41:56王雅麗高承華

四川大學學報(自然科學版) 2020年4期

王雅麗，高承華

(西北師范大學數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言

近年來, 在許多物理問題中出現了邊界條件依賴特征參數的S-L問題, 引起了諸多學者的廣泛關注并獲得了許多深刻結果[1-4]. 如文獻[2]利用Prüfer變換研究了邊界條件依賴特征參數的特征值問題的S-L理論, 得到了特征值的存在性, 交錯性以及特征值對應特征函數的振蕩性. 文獻[4]得到了連續情形下問題的漸近公式及特征值的交錯性, 對應特征函數的振蕩性等性質.

對邊界條件依賴于特征參數的離散右定S-L問題的譜的研究也已經取得了豐富的結果[5-9]. 如2016年, 文獻[7]研究了如下邊界條件依賴線性特征參數的離散右定S-L問題：

的譜，其中m(t)>0,t∈[1,T]Z, 即m(t)在[1,T]Z上不變號.對于邊界條件依賴特征參數的離散左定S-L問題的譜研究相對少見. 2017年, 文獻[10]研究了邊界條件依賴線性特征參數的離散左定S-L問題

的譜. 其中,r(t)在[1,T]Z上變號.受以上文獻的啟發, 本文研究如下二階離散左定S-L問題

的譜, 這里Δ是前差分算子, 滿足Δu(t)=u(t+1)-u(t),是后差分算子, 滿足u(t)=u(t)-u(t-1),λ是譜參數,p:[0,T]Z→(0,+),q:[1,T]Z→(0,+),r(t)≠0且在[1,T]Z上變號. 進一步推廣了文獻[10]的結果.

2 預備知識

本文總假定:

(A1) 對所有的t∈[0,T]Z有p(t)>0, 對所有的t∈[1,T]Z有q(t)≥0;

(A2)r(t)在t∈[1,T]Z上變號, 即在[1,T]Z上有m個點使得r(t)>0, 另外T-m個點使得r(t)<0；

(A3)δM正定，其中δ=ad-bc,

由(A3)可知,δab>0,δcd>0且detM=δbc>0, 于是ac>0,bd>0.

設y(t,λ)是方程(1)滿足初始條件

y(0,λ)=p(0)(cλ+d),Δy(0,λ)=aλ+b

(3)

的解, 則y(t,λ)為如下廣義Sturm序列:

y(0,λ)=p(0)(cλ+d);

y(1,λ)=(a+p(0)c)λ+(b+p(0)d);

(a+p(0)c)λi+Pi-1(λ),i=2,…,T

(4)

這里Pi-1(λ)是關于λ的i-1次多項式. 特別地,

(a+p(0)c)λT+1+PT(λ).

定義H:=Y⊕C. 則H在內積

之下構成Hilbert空間.

定義A:D(A)→H，

A(y,α)=(-(p(t)Δy(t))+q(t)y(t),

-ε(by(0)-dp(0)Δy(0))),

其中D(A)={(y,α)y∈Y, -ay(0)+cp(0)Δy(0)=α},ε=sgnδ. 于是問題(1)-(2)等價于AY=λSY，這里S=(y,α)=(ry,α).

引理2.1算子A在D(A)上是正定的.

證明由Hilbert空間中內積的定義可得

這里f=(y(0),p(0)Δy(0))T, 于是由(A1)及(A3)可知算子A正定.

3 主要結果

引理3.1多項式y(t-1,λ)與y(t,λ),t=1,…,T+1無相同零點.

證明反設λ=λ0是y(t-1,λ)與y(t,λ)的零點. 則由(4)式可得y(t-2,λ0)=0. 進一步可得y(t-3,λ0)=…=y(1,λ0)=y(0,λ0)=0. 這與y(1,λ0)≠y(0,λ0)=0矛盾.

引理3.2設λ=λ0是y(t,λ)=0的零點, 則y(t-1,λ0)y(t+1,λ0)<0.

證明由于y(t,λ0)=0, 由引理3.1可知y(t-1,λ0)≠0. 于是由(4)式可知

因此

y(t-1,λ0)y(t+1,λ0)=

由(7)式可知,y(T+1,λ)的最高次項為

(a+p(0)c)λT+1.

因此當λ足夠大時,y(t,λ)的符號取決于a+p(0)c的符號. 若a+p(0)c>0, 則

sgny(T+1,λ)=(-1)T-m+1,λ→-;

若a+p(0)c<0, 則

sgny(T+1,λ)=(-1)T-m,λ→-.

t∈[1,i-1]Z

和方程(1)以及y(i)=0組成問題的特征值. 特別地

則

所以不失一般性接下來我們總假定

(A4)δ<0,c<0.

引理3.3多項式y(i,λ)=0與y(i+1,λ)=0,i=1,…,T的根滿足如下交錯性質：

(ii)y(i,λ)=0與y(i+1,λ)=0,i=1,…,T的正(負)根互相分離.

所以當r(1)>0時, 若λ→-則y(2,λ)→+; 若λ→+則y(2,λ)→+.于是y(2,λ)=0有兩個正根且滿足當r(1)<0時, 若λ→-則y(2,λ)→-; 若λ→+則y(2,λ)→-. 于是y(2,λ)=0有一個負根一個正根且滿足因此,y(1,λ)=0與y(2,λ)=0分別有1個, 2個單根且正(負)根互相分離.

不妨假設i=k-1時結論成立, 即y(k-1,λ)=0與y(k,λ)=0分別有k-1個、k個單根且正(負)根也有交錯性. 為簡單起見令

接下來考慮y(k,λ)=0與y(k+1,λ)=0的根的交錯性. 不妨設r(k)>0, 則r(t)在[1,k]Z上有mk-2+2個為正以及k-2-mk-2個為負. 由(4)式可知sgny(k+1,-)=-sgny(k,-),sgny(k+1,+)=-sgny(k,+),以及y(k+1,0)>y(k,0)>0, 且由引理3.2可知

u=1,2,…,mk-2+2,

v=1,2,…,k-2-mk-2.

內各有y(k+1,λ)=0的一個根. 另一方面,y(k+1,λ)=0至多有k+1個根. 于是在這k+1個區間內y(k+1,λ)=0只有一個根. 因此y(k,λ)=0與y(k+1,λ)=0的正(負)根互相分離.綜上可知,y(i,λ)=0與y(i+1,λ)=0,i=1,…,T的正(負)根互相分離.證畢.

推論3.4由引理3.3可知, 問題(1),(3)恰有T+1個特征值且滿足