求解BBM方程的一個兩層線性化差分格式

蘇明芳， 何 麗， 胡勁松

(西華大學(xué)理學(xué)院， 成都 610039)

1 引 言

為研究非線性波在傳播中的耗散，人們提出了Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程[1]

ut-uxxt+ux-uxx+uux=0，

(x,t)∈(xL,xR)×(0,T]

(1)

文獻(xiàn)[2-3]研究了其解的衰減性.文獻(xiàn)[4-6]研究了其解的存在唯一性及收斂性.另一方面，其數(shù)值解也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[7-13].

本文考慮BBM方程(1)在如下初邊值條件

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(3)

下的數(shù)值解，其中u0(x)是已知光滑的函數(shù).問題(1)～(3)具有如下守恒量[14]：

(4)

其中Q(0)為僅與初始條件有關(guān)的常數(shù).

文獻(xiàn)[14]對問題(1)～(3)提出了在空間層具有四階理論精度的兩層非線性差分格式，但數(shù)值求解時需要非線性迭代.文獻(xiàn)[15]又對問題(1)～(3)提出了在空間層具有四階理論精度的三層線性差分格式，但三層格式一般都不是自啟動的，且在數(shù)值求解時需要儲存前兩層的數(shù)據(jù).本文對方程(1)中的非線性項進(jìn)行線性化離散處理，構(gòu)造了一個具有二階理論精度的兩層線性化差分格式，合理地模擬了守恒量(4).在不能得到差分解的最大模估計的情況下，本文綜合運用數(shù)學(xué)歸納法和離散泛函分析方法[16]證明了該格式的收斂性和穩(wěn)定性，并給出數(shù)值算例.

2 差分格式及其守恒律

對問題(1)～(3)考慮如下有限差分格式：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(5)

(6)

(7)

定理2.1差分格式(5)～(7)關(guān)于以下離散能量是守恒的：

(8)

其中n=1,2,…,N.

證明 將(5)式兩端乘以h后對j從1到J-1求和，由邊界條件(7)式和分部求和公式[16]有

(9)

又

(10)

由Qn的定義，將(10)式代入(9)式后兩端乘以τ，再對n遞推可得(8)式.證畢.

3 差分格式的可解性

定理3.2若時間步長τ充分小，則差分格式(5)～ (7)是唯一可解的.

證明 數(shù)學(xué)歸納法.顯然U0是由初值條件(6)式唯一確定的.假設(shè)Un(n≤N-1)是唯一可解的，可設(shè)

(11)

考慮方程(5)中的Un+1，有

(12)

將(12)式與Un+1作內(nèi)積,由邊界條件(7)式和分部求和公式[16]有

(13)

由(11)式以及引理3.1有

(14)

又由

(15)

將(14)、(15)式代入(13)式整理得

4 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性

差分格式(5)～(7)的截斷誤差定義如下：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(16)

(17)

(18)

由Taylor展開可知，當(dāng)h,τ→0時,

(19)

P1+P2

(20)

(21)

(22)

其中

由引理4.1以及(19)式知，存在與τ和h無關(guān)的常數(shù)Cu和Cr,使得

Cr(τ2+h2),n=1,2,…,N-1

(23)

再由初始條件(6)以及(21)式可得以下估計式：

(24)

現(xiàn)假設(shè)

l=1,2,…,n，n≤N-1

(25)

其中Cl為與τ和h無關(guān)的常數(shù).則由離散Sobolev不等式[16]和Cauchy-Schwarz不等式有

(26)

(27)

(28)

由(23)式及微分中值定理有

(29)

于是由(27)和(29)式以及引理3.1有

(30)

(31)

(32)

將(32)式從1到n遞推求和，整理得

(33)

又

T(Cr)2(τ2+h2)2

(34)

將(25)式代入(33)式，由離散的Gronwall不等式[16]，取時間步長τ充分小以滿足τ<1/12(Cu+1)

就有

(Cn+1)2(τ2+h2)2,n=1,2,…,N-1，

n=1,2,…,N.

最后，由離散的Sobolev不等式[16]有

定理4.3設(shè)u0∈H2.若時間步長τ和空間步長h充分小，則差分格式(5)～(7)的解滿足：

證明 對于充分小的τ和h，由定理4.2有

5 數(shù)值實驗

表1 格式在幾個不同時刻的誤差

表2 格式對守恒量(4)的數(shù)值模擬

表3 對格式的理論精度O(τ2+h2)的數(shù)值模擬

從數(shù)值算例可以看出,本文對初邊值問題(1)～(3)提出的差分格式(5)～(7)是有效的.