一種計算核子-核子散射可觀測量的方法

王健峰

(四川大學物理學院， 成都 610064)

1 引 言

核子-核子相互作用一直是核物理中大家關心的主題. 對核子相互作用的精確計算，直接影響到其他領域的應用，如可控核聚變，天體物理中的核物理，等等.

核子-核子相互作用的理論，例如一些唯像理論或有效場論，需要計算出可觀測量并擬合實驗數據. 20世紀50年代角動量表象下的核子-核子散射形式理論被提出[1]，在角動量表象下可以方便地計算可觀測量的值.

傳統的核子-核子彈性散射可觀測量計算方法，是對散射矩陣進行參數化，利用散射矩陣的對稱性，使用幾個參數來表示散射矩陣，并用這些參數計算可觀測量. 常用的角動量表象下的M矩陣的參數化方法有Wolfenstein參數化方法[2]，Hoshizaki參數化方法[3]，Saclay參數化方法[4-5]. 使用參數化方法計算可觀測量比較清晰簡潔，在公式推導上也比較方便，是比較常用的方法.

不對M矩陣進行參數化，直接由M矩陣計算可觀測量也是可行的，并且計算更加直接，本文將介紹一種從角動量表象下M矩陣出發，直接由M矩陣元計算核子-核子彈性散射可觀測量的方法.

2 散射矩陣元的計算

2.1 S矩陣元的計算

在核子-核子彈性散射過程中，S矩陣具有幺正性，且體系的總角動量和總自旋守恒. 由于核子具有1/2的自旋，兩個核子的體系可以有總自旋為0和1兩種情況.

當總自旋為0時，體系總角動量等于軌道角動量. 當總自旋為1時，由于自旋軌道耦合，體系的軌道角動量可以等于總角動量，也可以與總角動量相差1. 散射過程軌道角動量不守恒，軌道角動量為總角動量正負一的兩個態的總角動量和總自旋相等，宇稱也相同，這兩個態可以相互混合.

常用的表示S矩陣的方法是Stapp參數化方法[6]，通過反應道的分波相移來表示S矩陣，非混合的反應道的S矩陣為

S=e2iδ

(1)

其中δ為該反應道的分波相移.

對于相互混合的反應道，也就是總自旋相等，總角動量相等，軌道角動量為總角動量正負一的反應道，其S矩陣為

(2)

其中

Sj-1,j-1=e2iδj-1cos2j

Sj+1,j+1=e2iδj+1cos2j

Sj-1,j+1=Sj+1,j-1=isinjei(δj-1+δj+1)

(3)

2.2 M矩陣元的計算

在總自旋與總自旋的z分量表象下，M矩陣為

(4)

向其中插入角動量的完備集，可以得到M矩陣元的表達式

(5)

現在得到的M矩陣元的表象是總自旋和總自旋的z分量表象. 為了更方便計算可觀測量，需要將M矩陣轉換為入射粒子和靶粒子的自旋z分量表象. 利用Clebsch-Gordan系數可以得到兩種表象的關系：

(6)

3 可觀測量的計算

可觀測量與散射角度有關，定義可觀測量通常的做法是先定義三個基矢[7]：

(7)

其中ki,kf分別為質心系中入射粒子散射前和散射后的動量. 可觀測量可以由這些基矢定義.

按照通用的做法，可以用四個下標的符號表示可觀測量[4]：Xpqik,其中p,q,i,k分別表示入射粒子散射后，靶粒子散射后，入射粒子散射前，靶粒子散射前的自旋朝向. 方向可以是l,m,n或0，其中0表示初態無極化或末態不測量其極化方向.

在入射粒子和靶粒子均未極化時，質心系中的微分散射截面可以由M矩陣得到：

(8)

其中ρi,ρf分別表示初態和末態的自旋密度矩陣. 其余和自旋相關的可觀測量可以由下式得到：

(9)

可以把初態的密度矩陣和末態的測量算符表示為兩個泡利矩陣的張量積，以便于公式推導：

(10)

其中σi,σk,σp,σq表示入射粒子散射前，靶粒子散射前，入射粒子散射后，靶粒子散射后自旋方向的泡利矩陣，方向可以是l,m,n或0.

有了可觀測量的定義，并求解出M矩陣，便可以計算可觀測量的值. 泡利矩陣的張量積是線性獨立的，并且具有完備性，因此可以將M矩陣表示為泡利矩陣的張量積的線性疊加.

在核子-核子相互作用中，有宇稱守恒和時間反演不變的對稱性. 在宇稱變換下，l,m的方向由其定義，會變成原來的相反. 在時間反演變換下，泡利矩陣會變為原來的相反數，l,n方向會變為原來的相反. M矩陣需在這兩種變換下應保持不變.

僅有下列6個泡利矩陣的張量積滿足對稱性的要求，M矩陣由它們的線性組合表示：

σl?σl,σm?σm,σn?σn

σ0?σ0,σn?σ0,σ0?σn

并且由于同位旋對稱，交換兩個粒子，散射過程應保持不變，σn?σ0與σ0?σn的線性疊加系數應該相同.

線性疊加系數可以通過以下公式求出：

(11)

有了這些關系，便可以使用總自旋與總自旋z分量下的6個M矩陣元求解可觀測量. 利用泡利矩陣的性質可以方便地推導出可觀測量的公式.

質心系下總共有25個線性獨立的可觀測量，本文采用Bystricky文章中對核子-核子散射可觀測量的定義[4]，并求解出這25個可觀測量的公式，如下表. 任何質心系或下的可觀測量可以由25個質心系下線性獨立的可觀測量線性疊加得到.

表1 質心系下25個可觀測量的公式

(續表1)σCnlm0-14Im[(M11+M00-M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+Mss+M1-1)*(M10+M01)]σCmm0014Re[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)- 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σClmn0-14Im[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)- 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σCll0014Re[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σCmln014Im[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]

4 結 論

有了質心系下的核子-核子散射可觀測量公式，就可以求解可觀測量的理論值. 接下以實驗室參考系能量50 MeV下的質子-中子散射的微分散射截面為例，計算可觀測量的值. 理論相移采用PWA93模型[8]的理論值. 計算結果與BO85[9]，FI90[10]，MO71[11]三組實驗數據對照，由于FI90和MO71并非absolute data，因此對其進行了歸一化[12].

本文推導了從核子-核子彈性散射M矩陣元直接計算可觀測量的公式. 首先從角動量表象下的相移出發，計算出S矩陣元，再從S矩陣元計算出總自旋和總自旋z分量表象下的M矩陣元，利用核子-核子相互作用中的對稱性將其化簡，得到6個線性獨立的M矩陣元. 并利用兩個核子自旋z分量表象下的M矩陣推導出通過這6個線性獨立的M矩陣元計算可觀測量的公式.

圖1 50 MeV質子-種子散射的微分散射截面Fig.1 50 MeV NP differential cross section

與過去的參數化方法不同的是，本文沒有對兩個核子自旋z分量表象下的M矩陣進行參數化，而是直接從6個線性獨立的總自旋與總自旋z分量表象的M矩陣元計算可觀測量，省去了一些冗余的計算. 在擬合實驗數據進行大批量的數值計算時，這種方法可以避免許多不必要的計算和過多的函數調用，加快計算速度.