數形結合探討兩等量電荷的電場分布

曹盼 王冬生 鞏傅維

摘? 要 利用易化物理軟件繪制兩個等量電荷電場的函數圖像和矢量圖像，采用數據探究法直觀搜尋極值條件，引入三項均值不等式定量分析極值，啟發學生思維，獲得兩個電荷電場分布的重要特征。

關鍵詞 電場分布;三項均值不等式;易化物理

中圖分類號：G633.7? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）01-0027-03

1 前言

兩個等量點電荷的電場分布是高考考查的熱點，巧妙結合了“數”的嚴謹和“形”的直觀兩種重要的分析方法。其中極值的確定是電場分布的一個難點，通過電場線能夠直觀判斷電場的分布[1]，但想精確確定還得靠數學分析。利用導數法（微積分）求極值是一種常見的徹底解決問題的通用方法，現在的高二學生已經學過導數基礎。和高等數學方法帶來的快捷相比，初等數學方法的巧妙應用常能使人眼前一亮，對思維產生很大的沖擊。

在讀鄒兆貴的《小球重力瞬時功率取極值時相應位置的探討》[2]一文時，對應用均值不等式的方法很是欣賞，其表達形式和同種電荷中垂線上的電場形式非常相似。按照參考文獻“順藤摸瓜”閱讀相關文章，發現文章都把三項均值不等式當成自然的結論。或許是因為對兩個數的均值不等式太熟悉了，以至于自然接受了三項均值不等式，用直覺代替了嚴謹。

在讀殷正徐的《應用GeoGebra軟件深入研究一道高考物理題——等量同種點電荷連線中垂線上的場強研究》[3]時，體會到將函數曲線和矢量圖結合起來的圖解表征是一個很有創意的思路，能夠有效促進復雜規律的認知。

本文在直觀的圖像基礎上，試圖應用數據探究法和均值不等式系統探討兩個等量同種電荷、異種電荷在連線和中垂線兩個方向上的電場分布規律，兼顧效率與嚴謹，啟發思維。

2 數學基礎：三項均值不等式的證明

啟發式，從兩項到三項? 兩項均值不等式，

a>0，b>0容易證明。如何從兩項到三項？可先應用兩次到四項：

當a=b=c=d時取等號。然后把第四項d做一個替換，注意：等式的替換需要等量替換，不等式的替換只需符合條件（這里是非負數）。取，（1）式變為，化簡得，當時取等號。

硬算法，利用因式分解? 利用兩項均值不等式不難證明：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca? ? ? ? ? ?（2）

當a=b=c時取等號。采用作差法：

（a+b+c）3-33abc=（a+b+c）[（a+b）2+2（a+b）c+c2]-27abc

=（a+b+c）[a2+b2+c2-（ab+bc+ca）]+3（a+b+

c）（ab+bc+ca）-27abc

由（2）式可得：

（a+b+c）3-33abc≥3（a+b+c）（ab+bc+ca）-27abc

=3[a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）]-18abc

≥3（2abc+2bac+2cab）-18abc

=0

則，且當a=b=c時取等號。

3 兩等量異種電荷連線和中垂線上的電場

等量異種電荷連線上的電場分布? 設兩個點電荷距離為l=2d，取中點為坐標原點，左側是正電荷，向右為正方向。則，。

合場強要分段計算，，其中x≠±d。

利用易化物理繪圖，輸入腳本[4]：

拖動兩個滑竿k和m，使q1和q2相等，如圖1所示。

可見，等量異種電荷連線上的電場呈左右對稱分布，電荷兩側電場方向相同且越向外越小，越靠近場源電場越大，電荷連線之內電場方向相同且有極小值。極小值可利用兩項均值不等式探究，合場強：

由可得：

當r1=r2=d時，即兩點電荷連線的中點合場強最小。

等量異種電荷中垂線上的電場分布? 為了有效地結合函數圖像和矢量圖像，將兩點電荷豎直放置。由對稱性可得合場強，其中。可見越遠離場源，每個場源產生的電場越小;同時，θ越大，其余弦值越小，每個場源的豎直分電場貢獻越小。綜合兩個因子，中垂線上離中心越遠，合場強越小。如圖2所示，拖動滑竿m（表示θ）可以看到離中心越遠，輔助圓的半徑越小，函數值越小，電場越小。

4 兩等量同種電荷連線和中垂線上的電場

等量同種電荷連線上的電場分布? 設兩電荷都帶正電，取向右為正方向。則合場強，其中x≠±d，作出E-x圖像，如圖3所示。

可見，等量同種電荷連線上的電場呈中心對稱分布，電荷兩側電場方向相反且越向外越小，越靠近場源電場越大。電荷連線之內以中點為界，電場方向相反，且中點合場強為零（此時兩電場大小相等方向相反）。

兩等量電荷連線上的電場，無論同種還是異種，都是越靠近場源電場越大，越遠離場源電場越小;在電荷連線之內的區域中點，電場最小。

等量同種電荷中垂線上的電場分布? 由對稱性可得合場強，將代入有：

在兩電荷中點處，sinθ=sin0=0，E=0;沿著中垂線到無窮遠，cosθ=cosπ/2=0，依然有E=0。隨著θ的增大，正弦增大，余弦減小，合場強不會一直增大，而是先增大后減小，如圖4所示。拖動滑竿m（表示θ），可以看到離中心越遠，輔助圓的半徑先增大后減小，函數值先增大后減小，電場先增大后減小。

設置m，使最小增量為0.001 rad，先將滑竿快速定位在極大值附近，然后用方向鍵微調，尋找合場強E的大小，極值附近的數據見表1。由表1數據分析可知，極大值位置在θ=0.615和0.616之間。

精確分析極大值位置，采用導數法操作性很強，有很多資料可以參考，這里就不重復了。采用初等方法探究，設f（θ）=sinθcos2θ。

1）函數法。f（θ）=sinθ（1-sin2θ）=-sinθ（sinθ+1）（sinθ-1），

這是關于sinθ的三次函數，有三個零點，即-1、0和+1，如圖5所示。為了解函數的大致形狀，可以采用“穿針引線”的方法，注意開始的負號，從右下方開始“穿針”。

由于θ∈[0，π/2），即sinθ∈[0，1），且從0增到1，因此，f（θ）是先從0開始增大，然后減小到0（無窮遠），之間只有一個極大值。

2）基本不等式法。經驗表明，乘積要有最大值，需要和為常數。三角函數的恒等式sin2θ+cos2θ=1提供了一個思考的方向。需要先給f（θ）=sinθcos2θ平方，才能出現sin2θ，

此時f（θ）2=sin2θcos4θ;余弦成了四次方，改寫成兩個平方的乘積，即f（θ）2=sin2θcos2θcos2θ。現在不是兩項的乘積，而是三項的乘積，利用“配常數”的方法有：

當2sin2θ=cos2θ，即時，f（θ）取最大值，E也取最大值。此時，，代入（4）式得。

5 結語

在定量分析兩個等量點電荷產生的電場分布時，選擇連線上和中垂線上兩個典型的方向，先利用易化物理軟件繪制合場強的函數圖像和矢量圖像，獲得一種直觀的整體的認識，然后通過數據探究極值條件，最后利用均值不等式進行探討，獲得兩個點電荷電場分布的重要特征。

參考文獻

[1]曹盼.利用運動模擬繪制點電荷的電場線和等勢線[J].物理通報，2014（11）：93-95.

[2]鄒兆貴.小球重力瞬時功率取極值時相應位置的探討[J].物理教師，2018，39（12）：72-75.

[3]殷正徐.應用GeoGebra軟件深入研究一道高考物理題：等量同種點電荷連線中垂線上的場強研究[J].物理之友，

2017，33（8）：47-49.

[4]曹盼.高中物理虛擬學習平臺易化物理開發與應用研究[D].陜西：延安大學，2019.