位錯動力學在極端環境力學中的發展及應用

崔一南，柳占立，胡劍橋，劉鳳仙，莊 茁

（1. 清華大學航天航空學院應用力學實驗室，北京 100086；2. 中國科學院力學研究所非線性力學國家重點實驗室，北京 100190）

隨著現代科技的發展，越來越多的材料和結構需要在極端環境中服役。金屬材料在高應變率、高溫、高壓等極端條件下的力學行為與常態下有著顯著的區別，變形失效機理非常復雜，給材料在極端條件下服役時的性能評價和安全評估帶來了挑戰。在極端環境下，相關實驗研究往往需要巨大的經費投入，并且仍然顯著受限于時空分辨率，難以解耦復雜影響因素。近些年來，多尺度數值計算方法的迅猛發展為理解極端環境下材料與結構的變形失效機理提供了前所未有的機遇。

如圖1 所示，材料變形和破壞的內在多尺度物理過程可以借助不同時空尺度的計算方法加以研究。通常來說，計算的尺度越小，捕捉的物理過程越完備，但是也意味著更顯著的復雜性，其所能研究的時空尺度也就越小。目前廣泛采用的納觀尺度計算方法主要是分子動力學(Molecular dynamics，MD)模擬方法。該方法將原子看作質點，通過求解牛頓運動方程，獲得系統內所有原子的運動軌跡，基于對大量離散原子運動性質的統計平均得到宏觀意義上的物理量。這一方法能夠從最基本的原子尺度刻畫晶格遷移、缺陷演化等信息，通過大規模原子模擬，探尋材料變形的原子級機理[1-3]。該方法對于揭示缺陷形核及基本相互作用機制等提供了很多有價值的信息。例如，Zhu 等[4]通過分子動力學模擬系統地研究了納米單晶材料在不同應變率加載下的變形過程，研究結果表明位錯的表面形核機制對納米材料的屈服起著主導作用，繼而從原子熱激活角度出發提出了在給定溫度和應力狀態下的位錯形核率；Liu 等[5]揭示了單個位錯線與離散的輻照缺陷之間的相互作用機理。但是，由于受計算能力的限制，該方法能夠處理的問題在時間和空間尺度上仍然具有很大局限性。經典的MD 模擬目前能夠處理的問題尚在皮秒(10?12s)量級。此外，為了縮短計算時間，通常需要增加載荷速率，模擬過程中的應變率遠高于實驗值，而高應變下的微結構演化特征可能失真。

圖1 材料變形失效行為研究在不同時空尺度下通常采用的計算方法[6]Fig. 1 Simulation methods at different temporal and spatial scales to investigate material deformation and failure mechanisms[6]

為了拓展研究問題的時空尺度，大量采用連續介質力學有限元計算研究材料的力學響應，針對離散的微觀結構進行統計平均，得到宏觀意義上的物理量，通過在連續介質框架中引入與微結構演化相關的內稟參數來描述微結構演化。對材料微塑性行為研究通?；趦煞N理論框架。一種是基于J2 塑性理論，研究者通過在屈服應力中引入考慮幾何必需位錯的Taylor 硬化模型，建立了應變梯度塑性理論[7-8]。該方法采用各向同性硬化，不包含晶體中滑移系的信息，因而無法反映晶體取向的影響。另一種是晶體塑性理論，研究者以位錯密度為演化量建立每個滑移系的位錯密度演化方程或者直接建立各個滑移系上塑性量的演化方程來描述材料的塑性變形行為[9-12]。該方法較好地預測了單軸壓縮、納米壓痕、變形形態學、動態沖擊等問題，能模擬的時間和空間尺度相比MD 方法有較大的提升，然而模擬過程通常是引入以位錯密度為代表的內變量，對位錯微結構等細節的刻畫具有一定的局限性。

此外，MD 模擬難以為晶體塑性理論所考慮的大量微結構累積行為描述提供直接信息。為解決這一問題，必須借助微介觀尺度的離散位錯動力學(Discrete dislocation dynamics，DDD)方法向下聯系MD，向上聯系晶體塑性理論。DDD 方法以位錯線為研究對象，可以從離散層次處理比原子尺度更大的塑性問題，其特征時間和空間尺度在亞微米、微米和秒量級，與原位投射電鏡（TEM）實驗中位錯運動的時空尺度相一致。因此，離散位錯動力學被認為是一種“計算實驗”[13]，是揭示微尺度塑性形變失效機制非常有效的手段[14-16]。

本文中首先簡要介紹位錯動力學方法，然后分別介紹近些年該方法在高應變率、高溫及輻照極端環境下的發展和應用。

1 位錯動力學方法簡介

DDD 方法主要是基于位錯的彈性理論發展起來的，通過求解彈性體中位錯線的運動方程來計算塑性應變。如圖2[17]所示，其基本思路為首先將位錯線離散為具有一定長度的位錯段，然后計算位錯段所受到的力，繼而計算在一定的溫度等條件下的位錯運動速度，據此更新位錯的位置。當位錯之間的距離很近時，根據能量法則判斷其是否發生相互反應。此外，對于螺性位錯還需要判斷其是否發生交滑移機制，繼而更新外載條件，并且計算位錯產生的塑性應變。此過程不斷循環，直到加載完成。

早在1968 年，Foreman[18]就基于二維位錯動力學研究了位錯和剛性障礙物的相互作用。20 世紀80 年代以來，隨著計算條件的不斷改善，大量的二維離散位錯動力學模擬(2D-DDD)相繼涌現。它們通常只考慮無限長的直刃位錯組，從垂直位錯線的平面上看，每根位錯線都對應一個帶有滑移系特征的離散的點。Deshpande 等[19-20]發展了有限變形框架下的2D-DDD，模擬了微柱拉伸試驗，結果表明當限制拉伸軸的旋轉時，會引起幾何必需位錯密度的累積，弱化尺寸效應而強化包辛格效應。我國華中科技大學李振環課題組利用2D-DDD 模擬，系統地研究了微柱壓縮[21]和納米壓痕[22]中的尺寸效應。此外，他們在2D-DDD 中引入了位錯攀移和晶界穿透機制，研究了多晶鎳基合金的疲勞裂尖特征等[23]。但是，通常2D-DDD 無法考慮三維位錯連接的形成和破壞，所捕捉到的應變硬化行為多是由GND 的存儲引起的[24]。為解決這一問題，Benzerga[25]發展了2.5D-DDD，引入了一些表征三維位錯反應的法則，捕捉到了微柱壓縮過程中的位錯匱乏硬化現象。但是，此類模型涉及到諸多簡化，難以考慮復雜的位錯反應，也難以重現真實的位錯構型。

圖2 位錯動力學基本流程圖[17]Fig. 2 Flowchart of dislocation dynamics method[17]

三維離散位錯動力學(3D-DDD)則可以更全面的考慮不同類型的位錯反應，并且自然捕捉真實的三維位錯形貌。如圖3 所示，在現有的3D-DDD 中，位錯線有兩種離散方式。一種是依賴于潛在晶格的描述，將位錯線離散為刃型-螺型位錯段或刃型-混合型-螺型位錯段。力的計算在位錯段的中點上進行，即圖3(a)中的空心點。它起源于Kubin 等[26]的模型，便于保證位錯段的運動始終沿著晶體學取向進行，計算效率高。另一種是連續化描述，將位錯段離散為通過節點連接的直線位錯段[27]或曲線位錯段[28]，位錯段的節點位置和取向可以連續變化，力的計算在位錯段的節點上進行，即圖3(b)中的實心點。該方法易于處理復雜形狀的位錯線[29]。

圖3 三維位錯線的不同離散方式：（a）基于晶格的描述，（b）連續化描述Fig. 3 Different discretization of three-dimensional dislocation lines:(a) lattice based description，(b) continuum description

單純的3D-DDD 模擬往往存在一定的局限性：(1)通常采用周期性邊界條件，位錯之間的相互作用基于位錯在無限大體積中的彈性應力場得到，難以有效計算復雜形狀表面或界面的鏡像力；(2) 3DDDD 模型多采用固壁假設，適用于模擬小變形情況，無法考慮變形過程中試樣形貌的變化；(3)位錯核附近的強烈非線性效應難以精確描述；(4)計算成本隨著位錯段數量的增加而急劇增加，模擬所能達到的尺寸范圍和應變范圍仍然比較有限。為了解決上述問題，前人開展了大量工作將DDD 與其他尺度的計算方法(如分子動力學、連續介質力學)結合，實現多尺度模擬。到目前為止，DDD 與有限元方法[12,29-30]或邊界元方法[28,31]的耦合主要有兩種思路：一種是疊加法(Superposition method，SPM)，另一種是離散連續晶體塑性計算方法(Discrete-continuous model，DCM)。

疊加法最初是由Giessen 等[30]提出的。如圖4 所示，有限晶體試樣中的總應力場σ包括兩個部分

式中：σ∞為位錯在無限介質中產生的應力場，通常可借助解析解得到；為附加應力場，用于抵消該面力 的作用并修正真實的位移邊界條件。σ∞會在真實試樣的表面產生面力

式中：ns為表面的法向。

疊加法可以很好地捕捉位錯間的短程相互作用[32]，但是每一根位錯的解析應力場都需要在每個計算步重新計算，占用較長的計算時間。同時，該方法基于兩個彈性場的疊加，難以直接體現塑性應變的概念。

圖4 疊加法示意圖（a）和DCM 方法變量傳遞示意圖（b）[33]Fig. 4 Schematic of superposition method (a) and the variable transfer process in discrete continuous method (b)[33]

DCM 基于細觀力學中的特征應變思想，直接根據DDD 計算的塑性應變，在統一的有限元框架下求解邊值問題的解[33-35]。如圖4(b)所示，主要包括4 個變量傳遞過程[33]。(1)利用DDD 計算位錯的滑移量，進而計算塑性應變εp，并將其傳遞給有限元模型(FEM)，以此來代替傳統唯象的本構關系

式中：M是質量矩陣，u為位移場，N是形函數向量，ρ是材料密度，Ω代表體積，Be=grad[N]，fint是內部節點力向量，fext是外加面力T0和初始應力場σ0引起的外部節點力。這里，σ0是由試樣中初始存在的靜態位錯引起的。隨后，將FEM 計算的應力場σ傳遞給DDD，并作為外力驅動位錯運動。由于FEM 無法準確計算位錯核附近的應力場，位錯間的近程相互作用力需要通過解析解加以修正。(3)FEM 計算得到的位移場u傳遞給DDD，以保證位錯動力學模型和有限元模型同步變形。(4)FEM 計算得到的變形梯度場傳遞給DDD，以考慮滑移系的轉動效應。

如何將DDD 中計算得到的離散塑性應變場εp合理分配至連續介質力學框架中的材料點上，是DCM 的核心問題。研究者們對此開展了大量研究，并提出了多種不同的塑性局部化分配方案[12,32,35]，其主要差別在于塑性局部化時所選的特征體積以及向有限元積分點分配塑性應變量的權函數不同。Cui 等[33]通過定量對比各種局部化分配方案的優缺點，整合各方法的優勢，提出了一種新的塑性局部化方案，該方法考慮了局部化參數對滑移系信息的依賴性，表現出良好的計算精度。同時，還提出了有效的應力插值方案，彌補了DCM 相對于SPM 方法在計算鏡像力方面精度不足的缺陷。

2 位錯動力學在高應變率效應研究中的進展與應用

與常態下相比，高速沖擊導致的極端高溫、高壓、高應變率條件使得金屬材料的物理和力學性質均會發生顯著的改變，這給獲得材料在沖擊波加載下的狀態方程、沖擊強度等動力學參數帶來了挑戰。在沖擊波加載下，材料的變形從受力處向材料的內部快速傳播，沖擊波的波形則能夠反映材料的動態響應特征，包括材料物態和強度等的變化。目前材料動態本構模型的建立及參數確定主要依賴于宏觀屈服強度的擬合，相關模型的適用性受到極大的限制。因此，大量研究者試圖深入研究極端條件下材料的塑性變形機理，構建基于微介觀機理的動態本構模型。

隨著計算機數值模擬技術的發展，各種數值模擬方法已經成為獲取材料在沖擊載荷等極端條件下內部微結構演化的重要手段。目前以MD 模擬和DDD 為核心的多尺度計算方法在研究金屬材料沖擊問題中得到了廣泛的應用。本節將主要介紹DDD 方法在高應變率條件下的發展及應用。

DDD 方法在研究高應變率乃至沖擊加載下材料的動力學行為時面臨新的挑戰，主要包括：(1)高應變率下位錯的運動規律發生變化；(2)高應變率下位錯的形核萌生過程起著重要作用；(3)高應變率往往伴隨著高溫和高壓效應，其中沖擊波壓縮會引起高溫。此外，位錯運動導致大量的塑性熱產生，使得材料溫升進而引起熱力耦合過程；(4)超高應變率下，位錯動力學的準靜態應力場解不再適用，亟需發展高速位錯的彈性動力學理論，揭示其相互作用規律由于時間依賴性及歷史依賴性帶來的新機理。對上述問題的研究與認識常常需要借助大量MD 的研究、沖擊實驗以及深入的理論分析，下面將分別展開進行具體介紹。

2.1 高應變率下的位錯運動規律

傳統的DDD 模擬常常研究材料在準靜態加載下的變形過程，位錯的運動通常被認為處于過阻尼狀態，即忽略位錯的慣性效應[37]。Hirth 等[38]從熱力學角度出發推導了位錯在不同速度下的有效質量；Gurrutxaga-Lerma 等[39]進一步總結了各種高速位錯的運動方程，并詳細探討了不同運動方程對材料動力學響應的影響。Wang 等[40]通過DDD 模擬對比了考慮包含位錯慣性效應和不包含位錯慣性效應的運動方程對材料力學行為的影響。研究結果表明，當加載應變率超過103s?1時，位錯慣性效應對材料力學行為的影響開始凸顯，從而不可被忽略；同時Wang 等也詳細探討了質量項的相對論效應(即當位錯速度接近剪切波速時的質量修正)，發現即便當應變率高達106s?1時，大多數位錯的運動速度仍小于50%的聲速，因此可以在一定程度上忽略速度變化對位錯等效質量造成的影響。因此，在考慮高應變率效應時，常采用包含位錯慣性效應的運動方程

式中：me為單位長度位錯段的等效質量；Bz為黏性阻尼系數，f為位錯段的受力。

2.2 高應變率下的位錯形核

隨著加載應變率的增加，主導變形過程的位錯機制會發生變化，合理引入初始的位錯缺陷(包括均勻形核過程和非均勻形核過程)對模擬動態變形行為的準確性十分重要。Shehadeh 等[41]通過基于DDD 的多尺度計算模型研究了沖擊載荷下位錯的均勻形核和增殖過程，結果表明：位錯的均勻形核是沖擊載荷下主導材料動力學行為的位錯機制，而且隨著變形的持續進行，材料最終會達到一種靜水壓的載荷狀態。Gurrutxaga-Lerma 等[42]探討了不同應變率加載下(10～1010s?1)Frank-Read 位錯源的開動過程，結果表明當加載應變率高于5 × 107s?1時，位錯的均勻形核過程將會先于Frank-Read 源開動；Gurrutxaga-Lerma 等[43]通過對兩種形核過程進行進一步統計，發現均勻形核對應的位錯數目高于Frank-Read 位錯源兩個數量級，并詳細探討了幾種典型金屬材料(鋁、鐵、鎳與鉬)在沖擊載荷下的動態響應，建立了位錯微結構演化規律與動態力學響應之間的關聯。McDowell 等[44-45]通過MD 方法系統地研究了單晶銅中的位錯均勻形核過程，并結合參數化的位錯密度演化模型[46-48]對動態沖擊問題展開了大量研究。盡管諸多研究者都認識到在沖擊載荷下位錯形核的重要作用，但是在模擬過程中，常常都是通過人為預設位錯源數目的方式引入位錯均勻形核過程的，這一過程仍有待更加深入的探討。

通過采用考慮慣性效應的位錯運動方程以及在模型中引入基于MD 模擬得到的位錯表面形核判據[4]，Hu 等[49]通過位錯動力學方法系統研究了單晶微柱在不同應變率下的力學響應以及對應的微結構演化規律，并建立了預測單晶微柱中流動應力的解析模型，且結合該模型系統地分析了單晶微柱中位錯源數目的影響，給出了亞微米單晶柱變形的超曲面相圖。

2.3 高應變率伴隨的高溫效應

沖擊波壓縮引起的溫度升高可以從熱力學定律出發加以推導[50]，但是在現有的位錯動力學方法中還鮮有考慮。Shehadeh 等[41]和Hu 等[51]考慮了動態沖擊過程中劇烈塑性變形引起的熱效應。在沖擊載荷作用下，波陣面上的材料先經歷彈性變形后經歷塑性變形過程。在塑性變形過程中，位錯會在極短時間內劇烈運動產生大量塑性功，這些塑性功會轉化成材料的內能，從而導致局部溫度升高。因此，變形過程中的能量轉化

式中：ρ為材料密度，Tw為溫度，c和λt分別為材料比熱容和熱傳導系數，γ代表塑性功轉化為內能的比例因子，σ為應力張量，為由位錯運動產生的塑性應變率。

通過計算材料域內的溫度場可得材料的熱彈性本構關系

式中：E、ν和α分別為材料的楊氏模量、泊松比和線膨脹系數。最后，在統一的連續介質框架下，利用FEM 求解動量方程

式中：M、C、K分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，U為節點位移，F為力矢量。

Hu 等[51]在圖4(b)的計算框架基礎上，利用FEM 求解了溫度場的演化，傳遞給DDD 實現了對動態沖擊過程的有效計算。此外，通過系統的MD 模擬得到了位錯均勻形核的相關參數，并通過粗?；椒▽⑦@一位錯形核過程引入到耦合模型的計算中。通過該耦合模型研究了單晶銅柱在不同沖擊載荷下的動態力學行為，如圖5 所示，模擬結果能夠有效捕捉沖擊載荷下一些典型的位錯微結構，如亞穩態位錯環和位錯增殖形成的剪切帶等。

圖5 沖擊載荷下的典型位錯微結構：（a）DDD-FEM 模擬結果[51]；（b）實驗中觀測到的剪切帶[52]；（c）位錯線缺陷與位錯環結構[53]Fig. 5 Typical dislocation microstructure under shock loading: （a） DDD-FEM simulation results[51]（a）；（b）shear bands observed in experiments[52]；（c）dislocation lines and loops microstructure[53]

在沖擊波加載過程中，沖擊波波陣面上的位錯形核與增殖會使應力水平有所衰減。Gurrutxaga等[54]通過基于位錯動力學的多尺度耦合模型研究了不同應變率加載下沖擊波波陣面上的應力衰減與位錯密度變化過程，如圖6 所示，研究表明彈性前驅的衰減與沖擊波前沿的位錯形核密切相關。模擬結果定量地討論這一相關性并與實驗結果對比良好。值得一提的是，在位錯動力學模擬中，考慮到位錯的高速運動，Gurrutxaga-Lerma 等考慮了位錯的動態應力場。隨后，Gurrutxaga-Lerma 等[55]通過該方法進一步研究了在兩種典型的面心立方(FCC)與體心立方(BCC)材料中，溫度對彈性前驅衰減的影響。需要指出，上述面向高應變率問題的研究過程中，往往只考慮了溫度效應對于位錯滑移過程的影響，在第3 節中將進一步展示高溫下位錯也將借助攀移產生塑性變形。

2.4 高應變率伴隨的高壓效應

金屬材料在高壓下也表現出不同的力學行為，但是目前的研究仍然比較有限。Yang 等[56]從原子尺度出發，建立了研究極端高壓條件下單晶塑性變形的多尺度模型，并通過ParaDis(一套開源DDD 程序)研究了Ta、Mo 等金屬材料在不同壓強、溫度下的流動應力，其中單晶Mo 材料的力學響應如圖7所示。一方面，單晶Mo 的屈服強度隨著溫度的升高而降低；另一方面，靜水壓可提升流動應力和模量。Hu 等[57]通過位錯動力學研究了靜水壓加載下位錯密度的演化和位錯結構特點，結果表明：加載率對位錯密度的演化及最終穩定位錯密度存在一定的影響，且靜水壓下位錯的形態與單軸壓下存在明顯的區別。

圖6 （a）沖擊方向應力衰減，（b）不同加載率下加載時間為75 ps 時的位錯微結構演化，（c）位錯密度隨時間的演化，（d）應變率為1010 s?1 時不可動位錯和湮滅位錯[54]Fig. 6 (a) stress attenuation in the direction of shock loading, (b) evolution of dislocation microstructure at 75 ps under different loading rates , (c) evolution of dislocation density, (d) immobile and annihilated dislocations under strain rate of 1010 s?1[54]

圖7 單晶Mo 在不同溫度、壓強下的應力-應變曲線[56]Fig. 7 Stress-strain curves of single crystal Mo under different temperatures and pressures[56]

2.5 超高應變率下位錯的彈性動力學效應

在極高應變率加載下，位錯速度接近聲速(亞聲速位錯)，與位錯自身應力場的傳播速度相當。因此，基于位錯的準靜態彈性解來描述位錯的長程和短程相互作用已經不再適用[58-61]。單純引入慣性項已經無法描述超高應變率下的亞聲速位錯行為。就像接近光速的粒子會呈現相對論效應，亞聲速位錯也會產生類似的相對論效應，與低速位錯的物理機制截然不同。此時，必須考慮位錯的彈性動力學應力場。最近的研究表明：彈性波和位錯的彈性動力場之間的相互作用可以解釋彈性波波前的衰變[54]，入射平面波激活的位錯解的疊加可用于確定波振幅的衰減[62]。

針對位錯的彈性動力學場的研究早在1949 年就已經展開，但是增加時間維度帶來了顯著的理論和計算復雜性，因此現有研究多局限于二維問題[56,58]。Xiong 等[60]通過粗粒化二維的MD 模擬結果，建立了原子-連續介質方法來研究彈性動力學效應的影響。Gurrutxaga-Lerma 等[61]建立了考慮彈性動力學框架的二維位錯動力學方法，揭示了一對純刃型位錯的相互作用機理。然而，二維計算方法無法揭示真實的三維位錯結構的演化規律，及其長程和短程相互作用機理。

時至今日，真實的彈性動力學場下的三維缺陷相互作用機制這一基本科學問題尚無答案。為解決這一問題，Cui 等[63]基于遲滯位錯思想來處理耦合的時空積分，推導了任意三維位錯環在彈性動力學場下的位移、應變、應力等的理論解，繼而首次建立了三維位錯彈性動力學方法。如圖8 所示，該方法有效捕捉了三維位錯環的彈性動力學應力場分布的歷史依賴性。在彈性動力學場下，經典的位錯理論已經不再適用。比如，兩個異號的位錯環并不一定永遠互相吸引，其相互作用力的大小和符號都呈現顯著的歷史依賴性[63]。三維位錯彈性動力學理論的進一步發展有望帶來顛覆傳統認知的新的位錯理論和動態變形理論。

圖8 亞音速位錯環應力場σ11 的等值面（V 為位錯環的擴張速度，cT 為橫向聲速[63]）Fig. 8 Isosurface of stress component σ11 of subsonic dislocation(V is dislocation velocity, cT is transverse wave speed[63])

3 位錯動力學在高溫位錯攀移問題上的研究進展

研究金屬材料的高溫力學行為對材料的設計與加工、航天航空裝備、軍事工程設計以及安全防護等諸多領域均具有重要意義。強動載荷下，由于存在大量的塑性熱，材料局域也會進入高溫高壓狀態。高溫熱激活作用使得金屬的物理和力學性能相比常溫情況下發生顯著改變，這給獲得材料在高溫下的微結構演化規律帶來了極大挑戰。研究早期，高溫下晶體塑性形變理論模型的建立主要依賴于唯象的方法[64]，相關模型并不能體現熱激活條件下微結構演化速率的溫度和時間依賴性。對此，Amodeo 等[65]在唯象假設基礎上建立了熱激活的攀移運動與外加應力和溫度的函數關系，研究了位錯運動的動態響應。

DDD 方法為理解高溫變形機理提供了新的機遇。在熱激活作用下，由于晶格中點缺陷的形成能和遷移能大大降低，點缺陷濃度和擴散速率顯著提高。位錯線可以通過吸收或釋放這些點缺陷來實現垂直于晶體滑移面方向的非保守運動——位錯攀移[66]，如圖9 所示。這種垂直滑移面方向的攀移運動對高溫[67-68]甚至常溫[69-71]下的晶體塑性行為有非常重要的影響。在過去的幾十年間，位錯的攀移過程引起了研究者們的廣泛關注[66,72]。

作為一種熱激活運動，位錯攀移明顯區別于位錯滑移。首先，位錯攀移發生在垂直于滑移面方向，相比于滑移需要更高的激活能；其次，由于攀移過程伴隨著物質的遷移，是點缺陷與線缺陷耦合作用的結果，因此攀移過程受點缺陷擴散速率主導[73]；此外，由于擴散過程通常比較緩慢，并且受限于溫度、點缺陷濃度等因素，而位錯滑移速率接近于材料的剪切波速，導致攀移與滑移在運動速率上存在高達105～1010的巨大差異[74]。因此，位錯攀移的出現，使得高溫熱激活下晶體材料的力學行為具有明顯的多物理場、多時間尺度特性：在空間上，涉及點缺陷擴散場與應力場的相互作用；在時間上，同時跨越多個時間尺度。這種由攀移帶來的多物理場、多時間尺度特性也給熱激活下晶體塑性形變規律的研究帶來了極大的挑戰。在DDD 中引入位錯攀移機制主要需要解決兩個問題：(1)如何解決位錯滑移、攀移兩種運動形式在時間尺度上數量級差異的難題，在統一框架下進行計算；(2)如何建立準確的基于物理機制的攀移模型，將點缺陷擴散與位錯攀移運動耦合起來[74-76]。

圖9 多余半原子面發生攀移運動的示意圖[78]Fig. 9 Schematic showing the climb of edge dislocation[78]

對于位錯攀移和滑移速率在時間尺度上的巨大差異問題，研究者主要提出以下幾種解決方案：在最早的唯象法中，研究者們將攀移的黏滯力系數作為參數，討論攀移速率大小對塑性行為的影響，但是這種方法并不物理，不能真正描述攀移的影響[77]。此后，采用順序耦合的方式來計算，即攀移一個時間增量步然后滑移一個時間增量步，其中攀移時間增量步較大，滑移較小[73]?；蛘邽榱朔奖阌嬎?，直接將攀移速率放大至與滑移速率相當[79]，然后二者疊加來進行計算。這兩種方法都一定程度上放大了攀移的作用，難以準確描述攀移的實際影響。此外，有學者提出自適應時間增量步的方法[74,76,80-81]：讓位錯線先進行滑移，此時采用較小的時間增量；當滑移受到塞積，位錯開始攀移，此時采用較大的時間增量；當位錯攀移到新的滑移面，再開始滑移，如此循環。該方法對于處理局部區域的塞積等問題，計算效率較高，但是在較大規模計算中，位錯線并不一定同時發生塞積，需要較長的等待時間，因此一定程度上弱化了攀移作用。

對于在DDD 中引入位錯攀移機制的問題，Mordehai 等[79,82]首次將空位擴散機制引入DDD 中，將位錯線看作空位的源或匯，通過求解無限長直位錯線周圍空位的柱狀擴散方程獲得位錯攀移速率，然后基于DDD 建立了離散位錯攀移模型。Bakó等[75]通過計算攀移對模型中平均空位濃度的影響，對上述模型進行了修正。Gao 等[83-84]又進一步將這種方法擴展到空位管擴散主導的位錯攀移過程，并在后續工作中建立了可同時考慮管擴散和體擴散的攀移模型。Clouet[85]通過對比上述攀移模型與原子模擬得到的攀移速率，證明在一定位錯密度下，上述攀移模型在一定范圍內能夠準確高效地模擬位錯的攀移運動。

近年來，該方法被廣泛應用于定性解釋一系列攀移相關的力學行為。Huang 等[86-87]利用此方法研究了高溫下位錯攀移對蠕變速率以及多晶體晶粒尺寸效應的影響；Davoudi 等[77]則利用此方法研究了高溫下位錯攀移對Au 薄膜中流動應力的影響。然而，上述模型均利用了位錯線周圍點缺陷柱狀擴散的解析解，而在得到這一解析解的過程，通常需要假設：(1)單根直位錯線，(2)位錯線無限長，(3)位錯線周圍點缺陷滿足穩態柱狀擴散。因此，此類模型對于任意形狀位錯線并不適用，而且模型中僅考慮擴散的短程作用，對于位錯線周圍空位擴散對鄰近位錯線運動的影響并未考慮，是一種僅適用于位錯密度較低情況的“局部”模型。對此，Gu 等[81]考慮了擴散的長程作用，建立了基于格林函數公式的位錯攀移的全局模型，適用于任意密度、任意形狀的位錯線，并證明了局部模型在位錯密度較高情況下的局限性。Keralavarma 等[74]建立了2D-DDD 與FEM 結合的模型，利用FEM 求解空位擴散方程，2D-DDD 求解位錯微結構的演化，同時考慮位錯攀移與滑移，是在以上計算模型上的一大突破，但是在求解擴散方程時采用空位源均勻分布假設，不足以反映位錯運動對空位擴散的影響，而且二維模型對于真實情況的模擬有很大局限性。此外，上述基于位錯動力學的離散位錯塑性描述需要精確到每一條位錯線的演化，計算量巨大且難以進行定量表征。對此，Geers 等[73]擴展了傳統的晶體塑性理論，在位錯運動方程中加入垂直滑移面方向的攀移，在本構方程中加入攀移引起的塑性應變率，同時考慮位錯攀移和滑移對塑性形變的貢獻。此外，采用局部-全局模型來描述位錯運動后晶體中空位濃度的重分配，一定程度上闡述了亞微米尺度晶體塑性變形理論，但是該模型仍僅適用于二維情況，對于三維實際情況的模擬具有很大局限性。Ghoniem 等[88]通過開發三維參數化位錯動力學(PDD)，在Gibbs 自由能中引入能夠反映點缺陷吸收與擴散的化學勢，來處理熱激活下的位錯構型演化。

圖10 離散-連續位錯攀移模型中參數傳遞示意圖[89]Fig. 10 Schematically showing the variable transferring in discrete-continuous climb model[89]

Liu 等[78,89]建立了攀移-滑移全耦合的三維離散-連續位錯理論模型和數值方法。在圖4(b)所示模型的基礎上，增加了兩個變量傳遞過程，如圖10所示：(1)利用DDD 求解位錯段的受力，進而求解其對應的平衡空位濃度。然后將位錯段周圍平衡空位濃度局部化分配至FEM 中單元節點上，作為空位擴散的初始值與邊界條件；(2)根據相應內部與外部邊界條件，在連續介質力學框架中，利用FEM 求解空位擴散方程，得到位錯核心周圍的空位體積通量Ji，并將其傳遞至DDD 中位錯段上，用以求解位錯攀移速率，進而在DDD 中模擬位錯攀移過程。Liu 等利用該方法詮釋了Au 單晶柱應變軟化和高溫退火硬化的反常規力學機制，揭示了位錯攀移對高溫退火硬化的主導作用。

4 位錯動力學在強輻照環境下的進展與應用

強輻照環境在核電站、核聚變能、空間推進技術等先進能源與動力裝置中廣泛存在。當材料或結構受到高能中子或離子等的強輻照作用后，其內部產生大量的輻照缺陷。如圖11 所示，在面心立方(FCC)晶體中，典型的輻照缺陷是層錯四邊形(SFT)和間隙環；在體心立方(BCC)晶體中，主要是間隙環和納米孔洞。這些輻照缺陷的存在帶來了服役構件的輻照損傷、脆化、蠕變、腫脹、表面失穩等失效模式，極大限制了裝備的服役壽命。MD 只能研究非常少的輻照缺陷和材料中其他微結構的相互作用，而連續介質力學往往只能在已有認知的基礎上建立連續化描述，難以揭示新的微觀機理，位錯動力學方法的發展對理解強輻照環境下累積微結構相互作用主導的材料變形失效行為提供了有效的手段[17,90]。

圖11 位錯與輻照缺陷相互作用示例：（a） 在受輻照的FCC 晶體中位錯被層錯四邊形（SFT）截獲，（b） 在受輻照的BCC 晶體中位錯與間隙位錯環反應生成位錯鎖（不同顏色代表不同的柏氏矢量）[16, 91]Fig. 11 Interaction between dislocation and irradiation defects： (a) trappiest of dislocation by SFT in irradiated FCC crystal ,(b) formation of dislocation lock due to the reaction between dislocation and interstitial loop in irradiated BCC crystal (Different colors represent different burgers vector)[16, 91]

在位錯動力學框架下考慮輻照缺陷主要有3 種思路[17]。(1)直接對輻照缺陷進行建模，考慮離散的輻照缺陷與位錯線之間的相互作用。這是DDD 中引入輻照缺陷效應的最直接也最常用的處理方法，為理解位錯與輻照缺陷的相互作用提供了很多有價值的信息[92-94]。研究發現，當一個SFT 被滑動位錯掃過時，SFT 可能被剪切，被部分吸收形成位錯鎖或完全回復[91,95]。當一個間隙位錯環被滑動位錯掃過時，如果它的柏氏矢量與掃過位錯的柏氏矢量共面，這個間隙位錯環會被拖拽[91]。否則，這個間隙位錯環可能與位錯線發生反應，繼而形成位錯鎖，此時間隙位錯環可能被位錯線完全吸收，或留下一個具有不同柏氏矢量的位錯環[96]。該方法已經可以捕捉近原子級的位錯-輻照缺陷相互作用機制[91]。(2)通過考慮單個輻照缺陷的應力場，考慮其與位錯的相互作用。比如基于無限小環近似，Ghoniem 等給出了棱柱形位錯環的應力場公式，基于此可推得間隙位錯環產生的力和力矩[17]。該方法相對第一種方法的計算效率更高，但是捕捉微觀機理的能力也有所下降。(3)前兩種方法在計算高劑量輻照材料時都需要非常大的計算成本，因為此時輻照缺陷的數量密度達到1021～1022m?3。為解決這一問題，Cui 等[97]提出了用連續化輻照缺陷場來描述輻照缺陷效應，通過FEM 求解輻照缺陷場的演化(式(13))，然后傳遞給DDD，考慮其對位錯運動和變形行為的影響(式(12))。為此，他們發展了兩個模型來耦合離散位錯和連續輻照缺陷場：第1 個模型是輻照硬化模型

式中：τ是輻照缺陷引起的滑移阻力；μ是剪切模量；b是柏氏矢量；N是輻照缺陷數量密度；a是輻照缺陷尺寸；k是無量綱系數，依賴于缺陷強度和分布，借助大量離散位錯和離散輻照缺陷計算結果的統計分析得到[97-99]。第2 個是輻照缺陷密度和尺寸演化的動力學模型。該模型可以考慮位錯與輻照缺陷的相互作用。研究表明，當輻照缺陷與滑動位錯的距離小于y/2 時，可能會被吸收或拖拽[100-102]。因此，滑動位錯引起的輻照缺陷破壞率可以表示為[97]

式中：ΔN是輻照缺陷數量變化值，ΔNs是輻照缺陷產生率，ΔA是位錯滑移面積增量，V是特征體積，λ是輻照缺陷破壞系數。λy的值可以通過擬合應力-應變曲線得到[103]，也可以通過DDD 與離散輻照缺陷耦合的計算得到[97]。

這一雜交化方法為研究高劑量輻照材料的塑性失穩問題提供了新的機遇。比如，輻照脆化問題中非常經典的“位錯通道”形成(如圖12 所示，有時也稱為“無輻照缺陷通道”)問題得以系統化的研究?；诖?，Cui 等[104]提出了定量表征任意復雜三維變形的局部化程度及其空間關聯性的方法，建立了預測輻照材料中典型的位錯通道形成及其寬化的理論模型，有效預測了輻照條件及關鍵微結構參數影響下的塑性失穩相圖[105]。相關研究對于設計抗輻照材料及核安全應用具有指導意義。

圖12 位錯動力學與輻照缺陷場耦合計算高劑量輻照材料中的位錯通道形成[97]Fig. 12 Formation of dislocation channel in high-dose irradiated material calculated by DDD coupled with irradiation defect fields[97]

5 結 論

極端環境下材料與結構的變形破壞問題是一個涉及多時空尺度耦合、多物理場耦合的復雜問題。迄今為止，研究者在納觀尺度和宏觀尺度開展的計算研究較多，可以基于較為成熟的商業軟件開展研究。然而，在微介觀尺度，尚無成熟的商業軟件，研究成熟度也最低。位錯動力學方法作為聯系納觀尺度和宏觀尺度的橋梁，是揭示位錯主導的材料塑性變形及失效行為的強有力手段。通過與連續介質有限元方法的耦合，位錯動力學方法的應用領域不斷拓展，從單純的力學行為研究，發展到多物理場耦合行為的研究。

本文分別針對高應變率、高溫、強輻照幾種極端環境，系統介紹了位錯動力學方法的發展思路、研究進展及其對理解微觀機理、發展理論模型上的貢獻。極端環境下材料與結構的變形失效問題仍有諸多尚未解決的難題，迫切需要進一步發展DDD 及其與其他方法的耦合算法，為理解極端環境下的變形破壞機理建立連續化理論預測模型提供強有力的工具。