問題引導(dǎo)，變式探究

師斌

摘? 要：提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的策略：

①深挖例題;②問題引導(dǎo);③變式探究。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué);問題引導(dǎo);變式探究;案例分析

著名教育學(xué)家波利亞說：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘題目的各個(gè)方面，通過這道題目，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。”在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，尤其是習(xí)題課和復(fù)習(xí)課的教學(xué)，教與學(xué)都很容易陷入汪洋題海，不能自拔，效率低下。對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行變式探究，是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、拓展思維空間、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高學(xué)習(xí)效率的一條十分有效的途徑。

教學(xué)案例1：圓錐曲線中直線斜率乘積為定值問題

問題的提出：（人教A版高中課本選修2-1第80頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第10題）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是（-5，0），（5，0），且AC、BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點(diǎn)C的軌跡。

解析：（Ⅰ）設(shè)C（x，y），則由題知，

化簡(jiǎn)得即為點(diǎn)C的軌跡方程.

當(dāng)m>0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（不含A、B兩點(diǎn)）;

當(dāng)m<-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（不含A、B兩點(diǎn)）;

當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為圓心為（0，0），半徑為5的圓;

當(dāng)-1

思維拓展：此題揭示了有心曲線家族成員的圓、橢圓、雙曲線的統(tǒng)一性和內(nèi)在的聯(lián)系，那么它們有沒有一些共同性質(zhì)呢？

探究問題1：大膽類比、提出猜想

猜想1、

猜想2：

猜想3：

探究問題2：論證猜想，得出結(jié)論

橢圓性質(zhì)1：不平行于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P為弦AB中點(diǎn)，則。

橢圓性質(zhì)2：不平行于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓相切與點(diǎn)P，連接OP，則。

橢圓性質(zhì)3：過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓上的任一點(diǎn)，連接AP、BP，則。

探究問題3：雙曲線有沒有類似結(jié)論呢？類比猜想并論證。

雙曲線性質(zhì)1：

不平行于坐標(biāo)軸的直線l與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，P為弦AB中點(diǎn)，則。

雙曲線性質(zhì)2：不平行于坐標(biāo)軸的直線l與雙曲線相切與點(diǎn)P，連接OP，則。。

雙曲線性質(zhì)3：過原點(diǎn)的直線l與橢圓 相交于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓上的任一點(diǎn)，連接AP、BP，：則。

探究問題4：定理應(yīng)用

高考真題1：（2015年高考全國(guó)二卷20題第1問）已知橢圓C：，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（I）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;

（II）若l過點(diǎn)（，m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，

四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由。

高考真題2：（2013年高考山東卷22題第3問）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接。設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.

波利亞曾形象地指出：“好的問題同某些蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)。”高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的變式教學(xué)就是這樣一個(gè)“采蘑菇”的過程，由一個(gè)基本問題出發(fā)，運(yùn)用特殊化、一般化、分解、重組、增加背景、改變要素以及類比、聯(lián)想等思維方法，引出一連串的問題，而通過問題探究式學(xué)習(xí)，會(huì)使我們更好的理解問題的本質(zhì)，提高思維水平，感受數(shù)學(xué)的美，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率，深度學(xué)習(xí)的有效策略。

按照課程標(biāo)準(zhǔn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，使學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）;提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”），在數(shù)學(xué)教師每天的課堂教學(xué)中，堅(jiān)持“深挖教材和例題，問題引導(dǎo)，變式探究”的教學(xué)策略，既抓住“問題是數(shù)學(xué)的心臟”這一學(xué)科特點(diǎn)，也是落實(shí)核心素養(yǎng)切實(shí)有效的途徑。

參考文獻(xiàn)

[1]? G·波利亞.《怎樣解題》——數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]? 范永明.復(fù)習(xí)教學(xué)中練習(xí)講評(píng)的有效性探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志社》，2017-3-上（高中版）.