輸入受約束的高速列車魯棒自適應動態面控制

徐傳芳，陳希有，丁麗娜,3，王 英，李衛東

(1.大連理工大學 電氣工程學院，遼寧 大連 116024；2.大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028； 3.大連海洋大學 信息工程學院， 遼寧 大連 116023)

在給定期望速度和位移曲線的前提下，能否實現對目標曲線的高品質追蹤，直接影響列車運行的安全與節能[1]。但是由于高速列車的運行過程是一個環境復雜多變、工況變化頻繁的復雜非線性動力學系統[2]，使得實現高速列車速度和位移的高精度跟蹤極具挑戰性。建立符合實際的高速列車動力學模型，考慮高速列車運行的實際情況，設計合適的跟蹤控制算法，適時調整施加到列車車輪的牽引轉矩與制動轉矩，實現高精度的速度和位移跟蹤控制具有重要的意義。

針對高速列車的速度-位移跟蹤控制問題，諸多學者進行了一系列頗有成效的研究。文獻[3]提出了高速列車的多模型廣義預測控制方法，設計了高速列車的控制力。文獻[4]基于力觀測器，對施加到列車車輪的牽引轉矩和制動轉矩進行了設計，方法簡單可行。文獻[5]提出了高速動車組集成模型的自適應速度跟蹤控制算法，對列車的牽引力和制動力進行了設計。文獻[6]基于浸入與不變理論，設計了高速列車的間接自適應控制器，可以實現列車的跟蹤誤差以指數形式收斂到一個與模型參數變化率有關的有界殘集中。文獻[4-6]均實現了高速列車對目標曲線的精確跟蹤。然而上述文獻在設計控制算法時均未考慮輸入約束問題。輸入約束可能會導致系統性能下降甚至系統不穩定[7-8]。高速列車運行時，牽引轉矩與制動轉矩受到黏著防滑[9]以及執行器飽和[10]等方面的限制，在設計控制器時同樣需要考慮輸入約束問題。為此，文獻[11]考慮飽和約束以及多級牽引/制動帶來的輸入非線性，提出了自適應控制策略，實現了精確的速度與位移跟蹤。文獻[12]考慮執行器飽和非線性，針對高速列車的自動駕駛系統(ATO系統)，提出了一種新的魯棒自適應控制方案，在確保閉環系統穩定的同時，取得了理想的跟蹤性能，速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差均可收斂到一個較小的緊集內。

雖然文獻[11-12]考慮了輸入約束問題，但是文獻[11-12]和文獻[4-6]一樣, 在建立高速列車動力學模型及設計控制算法時，均未考慮牽引轉矩與制動轉矩的產生過程，均將牽引轉矩與制動轉矩(或牽引力與制動力)作為系統的控制輸入。如果考慮牽引轉矩與制動轉矩產生的動態過程，將牽引電機的期望轉矩作為系統的控制輸入，這樣的模型更符合實際情況[13]。文獻[14]考慮牽引/制動動態以及不確定的非線性阻力，在自適應控制中融合反步控制，實現了高速列車速度與位移的精確跟蹤，但是未考慮輸入約束。將牽引電機的期望轉矩作為系統的控制輸入，并考慮其約束問題，更符合實際情況。文獻[14]還存在需要求取虛擬控制量的微分，計算量大的問題，這一問題同樣存在于采用自適應反步控制實現高速列車速度與位移跟蹤控制的文獻[15]中。

針對目前在期望速度和位移跟蹤控制中存在的問題，本文考慮輸入約束，基于考慮牽引轉矩與制動轉矩產生動態過程的高速列車動力學模型，提出一種新的高速列車魯棒自適應動態面控制算法，并進行了嚴格證明。采用在高速列車牽引/制動控制中運用尚不多見的動態面控制[16]，使用跟蹤微分器代替一階濾波器[17]，避免了常規反步控制中需要對虛擬量多次求取微分的困難，而且由于跟蹤微分器為一種快速而精確的信號濾波器，可以獲得良好的閉環性能；采用只需較少對象信息的擴張狀態觀測器[18]，在線估計由系統未知函數和未測量狀態等構成的系統總的不確定性；借鑒文獻[19]中的方法，構造附加系統處理輸入飽和約束問題；利用實際控制信號和虛擬控制信號中的魯棒項補償由擴張狀態觀測器和跟蹤微分器產生的濾波誤差。仿真結果表明，所提算法可以實現高速列車對期望速度和位移的精確跟蹤控制。

1 高速列車動力學模型

1.1 考慮轉矩動態過程的高速列車動力學模型

假設每個驅動輪對所傳遞的牽引力(或制動力)相同，根據牛頓力學原理，高速列車車體的動態特性可以描述為

( 1 )

式中：M為列車的質量；v為列車的速度；Fr為列車的運行阻力；nt為驅動輪對個數；Ft為列車運行過程中，一個驅動輪對所產生的列車牽引力(牽引時)或制動力(制動時)，其大小受到諸如輪軌間黏著防滑、執行器輸出飽和等因素的限制，在不發生空轉/滑行的情況下，Ft的大小等于輪軌之間的黏著力Fa。

輪軌黏著力Fa是與列車輪軌接觸面實時狀況有關的復雜函數，其表達式為

Fa=μ(λ)Mg

( 2 )

式中：g為重力加速度；μ(λ)表示黏著系數，是蠕滑率λ的非線性函數，國內外應用較為廣泛的是Burckhardt模型，其表達式為

( 3 )

其中，b1，b2，b3為正數，不同的參數表示不同的輪軌黏著條件。λ為蠕滑率(λ∈[-1,1])，表示輪軌之間微量滑行的程度，其定義為[20]

( 4 )

式中：ω為車輪角速度；r為車輪半徑。

高速列車的運行阻力Fr包括列車運行過程中所受到的空氣阻力和軌道阻力。

Fr=M[a0+a1v+a2v2+o(·)]

( 5 )

式中：a0，a1，a2為正實數，其數值由具體的運行環境決定；o(·)表示由軌道引起的隨機不穩定干擾阻力。假設o(·)有界，其引入的擾動項不會對列車運行造成不可控的影響。

列車車輪的動態方程為

( 6 )

式中：J為車輪的等效轉動慣量；B為車輪的黏滯摩擦系數；Tm為作用到列車車輪的牽引轉矩或制動轉矩。忽略轉矩傳遞過程中的損耗，則有

Tm=TnRg

( 7 )

其中：Tn為牽引電機的輸出轉矩；Rg為齒輪箱傳動比。

上述建立的高速列車動力學模型描述了從作用到列車車輪的牽引轉矩/制動轉矩到列車運行狀態之間的動態關系。然而司機駕駛列車或ATO(列車自動駕駛)控制列車時，并不是直接輸出和調節牽引/制動轉矩(或牽引/制動力)，而是通過調整牽引/制動手柄級位或由ATO發出控制指令，傳遞給列車牽引或制動系統，進而實現對列車的控制。因此，如圖1所示，考慮牽引/制動轉矩產生的動態過程，建立能描述從控制指令輸入到列車運行狀態之間動態關系的高速列車動力學模型，更符合列車的實際運行情況。

圖1 考慮牽引/制動轉矩產生動態的列車動力學模型

當只考慮列車再生制動情況時，施加到列車車輪上的牽引轉矩與制動轉矩產生機理相同，因此，牽引/制動動態過程可以用相同的方程來描述。考慮到電機的電磁時間常數遠小于列車的機械時間常數，因此可忽略轉矩產生的具體細節，近似用一個一階微分方程來描述這個動態過程[13]，即

( 8 )

式中：Tz為牽引電機的期望轉矩，為控制變量；α為一階慣性時間常數；β為增益，均為大于零的常數。

高速列車在運行過程中，列車車輪速度和車體速度并不相同，兩者之差為蠕滑速度vs，即

vs=ωr-v

( 9 )

由式( 1 )、式( 6 )～式( 9 )以及列車位移x與速度v之間的關系， 得到考慮牽引與制動轉矩產生動態過程的高速列車動力學模型方程。

(10)

式中：x為列車的實際位移；L為集總參數項

(11)

1.2 輸入約束

牽引轉矩與制動轉矩受到黏著防滑[9]以及執行器飽和[10]等限制，因此在針對式(10)所示系統進行高速列車運行控制算法設計時，需要考慮牽引轉矩與制動轉矩受限引起控制輸入Tz存在約束的問題?？刂戚斎隩z的約束形式可表示為

(12)

式中：Tc為所設計的期望控制輸入；Tmax和Tmin分別為控制輸入約束的上、下限幅值。

2 魯棒自適應動態面控制器設計

(13)

式中：q為任意選擇的正實數。對式(13)求導得

LTn+Ftd

(14)

式中：Ftd為由未知函數、未完全測量狀態以及不確定性參數等構成的系統總的不確定項。

(15)

控制器的控制目標是針對式(10)構成的系統，考慮輸入飽和約束及Ftd的不確定性，設計合適的控制輸入，保證高速列車的實際速度和位移能夠跟蹤期望速度和位移，同時閉環系統穩定，所有信號都有界。

Step1令es=s，則有

(16)

引入擴張狀態觀測器估計不確定項Ftd。定義觀測誤差η11=ζ1-es，設計擴張狀態觀測器的形式為

(17)

其中，ζ1，ζ2為觀測器狀態，其中ζ2用來在線估計系統總的未知不確定項Ftd；ρ11，ρ12為擴張狀態觀測器的反饋增益。fal(·)函數的具體表達式為

(18)

式中：π，δ為設計參數；η為觀測器誤差。

定義式(17)所示觀測器的估計誤差為ε11=ζ2-Ftd，根據參考文獻[21-22]，存在有限時間T,當t>T時，η11,ε11滿足|η11|≤ι11，|ε11|≤ι12，其中，ι11，ι12均為大于零的常數。

選擇Tn作為式(16)所示子系統的虛擬控制，定義Tn與虛擬控制量Tnd之間的誤差為eT，即

eT=Tn-Tnd

(19)

設計虛擬控制量Tnd為

(20)

(21)

其中，γ1和σ1均為正的常數。

構造Lyapunov函數為

(22)

式中：

對式(22)求導可得

(23)

根據Young不等式[23]，如下關系式成立

(24)

(25)

根據反正切函數性質，有

(26)

由式(23)～式(26)可得

(27)

Step2對式(19)求導可得

(28)

(29)

考慮式(12)所示的輸入約束條件，當控制器的輸出和被控對象的實際輸入出現不一致的情況時，為避免控制系統失穩，構造附加系統對控制指令進行補償[19]，即

(30)

式中：σT為附加系統的狀態；kσT>0，為待設計參數；ψT為一很小的正數，其值可根據系統跟蹤性能要求適當選取；ΔT=Tz-Tc，Tz為實際控制輸入，Tc為所設計的控制輸入。

設計如下形式的控制輸入

(31)

(32)

其中，γ2和σ2均為正的常數。

(33)

(34)

式中：kξT>0，為待設計參數；φT>0，為根據跟蹤性能要求而選取的恰當值。

選取Lyapunov函數

(35)

(36)

由Young不等式有

(37)

又由于eTΔT-|eTΔT|≤0，再結合反正切函數性質，可得

(38)

3 穩定性分析

證明：選取如下的Lyapunov函數

V=V1+V2

(39)

對式(39)求導，并結合式(27)和式(38)有

(40)

(41)

(42)

進一步可得到

(43)

可知，V(t)最終有界，系統的所有信號均半全局一致最終有界。同時因為

(44)

因此，當t→∞時，es的收斂域滿足如下緊集

(45)

即

(46)

由此可得到

(47)

式中：e0為e1的初始值。由式(47)可知，e1的收斂域滿足如下緊集

(48)

進一步可得到

(49)

(50)

以上證明過程針對的是|σT|≥ψT時的情況，即存在輸入飽和約束時的情況。當|σT|<ψT時，不存在輸入飽和，此時ΔT=0，即Tz=Tc。

若在控制器設計時不考慮輸入約束，則控制器為

(51)

需要注意的一點是，從控制算法的推導過程來看，增大α0可以減小列車的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差，但是α0也不能太大，否則系統的控制增益增大，會導致高增益的控制策略，從而激發系統的未建模動態，降低系統的暫態性能。因此在設計控制器參數的時候要在確保系統穩態跟蹤誤差的基礎上合理選擇。

4 仿真結果與分析

為了驗證本文所提出建模與控制方法的有效性，利用一個具有兩節動力車廂的列車模型進行仿真驗證。列車模型主要采用CRH2型高速列車的基本參數，具體參數為：驅動輪對數nt=8，每節車廂的平均質量為55 t，平均軸重N=134.75 kN，車輪的轉動慣量J=80 kg·m2，車輪半徑r=0.43 m，齒輪箱傳動比Rg=85/28。取黏滯摩擦系數B=0.1。由于軌道阻力會受到落葉、軌道不平等因素的影響，而這些因素引起的干擾具有隨機性，因此本文在仿真中引入一時變的正弦函數0.009 4sin(0.02t)來表示由軌道引起的隨機不穩定干擾阻力，從而列車的運行阻力表示為

Fr=110(0.052+0.003 8v+0.000 112v2+

0.009 4sin(0.02t)

(52)

擴張狀態觀測器和跟蹤微分濾波器的參數設置為ρ11=5，ρ12=20，π11=0.5，δ11=0.025 ；ρ21=30，ρ22=40，π21=0.4，δ21=0.027 ；黏著系數以及自適應律和附加系統的參數見表1、表2。

表1 黏著系數的具體參數

表2 控制器、自適應律及附加系統的參數

為了驗證所設計的控制方法在高速列車處于不同運行工況下的跟蹤性能，仿真模擬高速列車在1 000 s內的運行過程，運行距離為47.5 km，整個過程包含兩個加速階段、四個巡航階段、一個減速階段和一個制動階段。分別對考慮輸入約束和不考慮輸入約束兩種情況進行仿真，兩種情況下的仿真參數完全一致。仿真過程同時考慮了軌面狀態發生突變的情況，具體軌面狀態變化發生在150 s(由干燥軌面到潮濕軌面)和250 s(由潮濕軌面到干燥軌面)。

仿真結果如圖2～圖5所示。圖2(a)和圖2(b)為列車的速度和位移跟蹤軌跡曲線，圖3(a)和圖3(b)為列車的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差軌跡曲線?？梢钥闯?，高速列車工況發生變化以及遭遇軌面狀態突變時，考慮輸入約束和不考慮輸入約束兩種情況下的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差均較小，它們的最大絕對值分別為0.035 m/s、0.006 7 m和0.03 m/s、0.005 7 m，兩種情況均實現了對目標速度和位移的精確跟蹤。圖4為牽引電機的實際控制輸入轉矩軌跡曲線，可以看出考慮輸入約束時，牽引電機的實際控制輸入轉矩除了暫態階段出現輸入飽和，一直在約束范圍內。結合圖3和圖4可以看出，在飽和階段，考慮輸入約束時，系統的跟蹤性能受到一定影響，但影響有限且時間短暫，當控制輸入退出飽和后，速度和位移跟蹤性能又恢復到了飽和前的跟蹤效果。如果不考慮輸入飽和，當遭遇黏著系數較小的路況時，不受限制的控制輸入有可能使得高速列車的牽引力(或制動力)大于輪軌間的最大黏著力，可能導致車輪發生空轉(或滑行)，系統趨于不穩定。圖5為基于擴張狀態觀測器的系統總的不確定量Ftd的估計，可以看出所設計的擴張狀態觀測器實現了對被觀測量Ftd的精確觀測，它使得控制器可以很好的補償系統中的未知不確定項，從而保證了精確的速度和位移跟蹤性能。

圖2 速度和位移跟蹤軌跡曲線

圖3 速度和位移跟蹤誤差軌跡曲線

圖4 牽引電機的實際控制輸入轉矩軌跡曲線

圖5 基于擴張狀態觀測器的Ftd估計

5 結束語

本文考慮牽引/制動動態，建立高速列車的運行模型，該模型描述了從牽引/制動系統控制輸入到列車運行狀態之間的關系，能更好地反映列車的動力學特性。基于所建立的模型，考慮輸入飽和約束，提出高速列車的魯棒自適應動態面控制算法。仿真結果表明，本文算法可精確估計系統總的不確定項，有效處理輸入飽和約束，并可補償擴張狀態觀測器和跟蹤微分器產生的濾波誤差，實現高速列車對期望速度和位移的精確跟蹤，為高速列車的跟蹤運行控制研究提供了參考。輪軌黏著防滑引起的約束實際是一動態輸入約束，如果在控制策略中融入實時黏著防滑約束，則可構建一套高速列車主動安全跟蹤控制系統，能主動避免列車的空轉/打滑等危險運行狀態，提高列車的行車安全，這是作者下一步擬研究的內容。