二重積分的計算方法研究

摘要：在二重積分的計算當中，根據積分區域的圖形特點，和所給被積函數，選擇合適的坐標系和積分次序，把重積分轉化為二次積分;本文列舉了直角坐標系和極坐標系下二重積分計算的案例，總結計算步驟和計算過程中需要注意的技巧.

關鍵詞：二重積分;直角坐標系;極坐標系

一、直角坐標系下二重積分的計算

在直角坐標系中，積分區域主要分為型和型，針對一道計算題，畫出積分區域，結合積分區域的圖形特點，合理選擇兩種類型中的一種去計算二重積分，有的積分區域是兩種類型都適用，有的只適用其中一種，所以，在計算二重積分之前，觀察積分區域的特點，給積分區域定型，這是非常關鍵的一個步驟，直接關系到能否快速高效地算出積分結果。

二、極坐標系下二重積分的計算

當積分區域像一塊圓餅或圓餅的某一部分，即積分區域含有的項，或者被積函數含有的項時，用直角坐標不太容易計算出來，這個時候可以考慮利用極坐標來算，引入這兩個變量，用來表達積分區域和被積函數，將直角坐標系下的二重積分改寫為極坐標下，根據積分區域的特點，給出的范圍。直角坐標系下的三個部分，即積分區域、被積函數和面積元素，都要轉變為的表達式，缺一不可.此時，被積函數當中的，面積元素.

三、結語

計算二重積分，可以分為三個步驟，第一步：在直角坐標系中畫出積分區域D;第二步：觀察D的圖形特點，并結合被積函數的特點，給積分區域定型，靈活運用型或型，或者是極坐標;第三步：確定積分次序，寫出詳細的二次積分表達式，即把二重積分寫成兩個定積分的形式，進行計算，先算內層的積分，再算外層的積分。在直角坐標系中，要注意坐標軸的直線的方程表達式，觀察積分區域內，如果平行軸的多條直線的“入口”和“出口”保持不變，直線和積分區域的邊界最多只有兩個交點，可以選擇型;如果平行軸的多條直線的“入口”和“出口”保持不變，直線和積分區域的邊界最多只有兩個交點，可以選擇型.

在計算對的積分時，把看作常數;在計算對的積分時，把看作常數.在極坐標系中，注意這兩個變量的變化范圍，的積分上限或下限可能是關于的函數，極坐標中和直角坐標中的二重積分可以互相轉化運算，根據題目給出的被積函數和積分區域，綜合考慮，靈活運用這兩種計算公式.

參考文獻：

[1]?同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]?邱云蘭.二重積分“以學定教”模式的研究[J].牡丹江教育學院學報，2019（5）.

[3]?徐意，吳潔.二重積分計算三段論[J].高等數學研究，2015（2）.

[4]?馬艷麗，丁健，李海霞.關于二重積分計算法的補充[J].玉溪師范學院學報，2016（4）.

作者簡介：楊姜維（1990-），女，湖北荊州人，碩士，研究方向為數學教育。

基金項目：廣州工商學院2020年院級科研課題《廣義拓撲空間上的性質研究和超空間上的若干性質研究》（項目編號：KA202040）

（作者單位：廣州工商學院）