淺談矩陣的特征值及其求法

摘? 要：矩陣特征值理論在許多實(shí)際問題的解決中起著重要作用.本文主要研討了矩陣的特征值及其性質(zhì)以及矩陣的特征值的求法，為讀者能夠更加全面深入，清晰的理解和掌握矩陣的特征值及其性質(zhì)和如何求矩陣的特征值，提供一些基本思路，常見的方法和參考。如有不妥之處，請(qǐng)讀者給予批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：特征值;矩陣;行列式;逆矩陣

在18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾在對(duì)常系數(shù)線性微分方程組解的研究中，最早對(duì)矩陣的特征值的進(jìn)行了探討，同時(shí)，柯西通過(guò)對(duì)二次曲面及二次型的探討，證明了實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù)，隨著現(xiàn)在科學(xué)的發(fā)展，經(jīng)常在的特征值理論現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。

一. 特征值的定義

定義：設(shè) 為 階方陣，如果 ，則稱 為 的特征值。

二.特征值的性質(zhì)

性質(zhì)1：設(shè) 為 階方陣，則 必有 個(gè)特征值 。

性質(zhì)2：設(shè) 為 階方陣 的特征值，則有

（1） ;（2）

性質(zhì)3：設(shè) 為方陣 的特征值，則有

（1） 為 的特征值;（2） 的特征值;（3）如果 為非奇

異矩陣，則 分別為 的特征值;（4）如果 為 的多項(xiàng)式，則 為 的特征值。

性質(zhì)4：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值，都是實(shí)數(shù)。

性質(zhì)5：實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交。

性質(zhì)6：實(shí)對(duì)稱矩陣的 重特征值，恰好有 個(gè)對(duì)應(yīng)于此特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量

三.求矩陣特征值的常用方法

1. 為具體的矩陣（即 的各個(gè)元素具體給出），則求 的特征值的方法，就是求特征方程? 的全部根 ，即為 的全部特征值。

解：（1）由 ，可得 的特征值為 。

（2）方法1：首先求 ，然后再求特征方程 的根，即可求得 的特征值。（略）

方法2：設(shè) ，如果 為 的特征值，則 為 的特征值。由于 有特征值為 ，所以 的特征值為 ， 。

一般情況下，用求特征方程的根的方法求矩陣的特征值，比較麻煩，我們可以考慮應(yīng)用特征值的性質(zhì)求矩陣的特征值，往往會(huì)有收到較好的效果。

另外，在計(jì)算行列式 的過(guò)程中，往往要特別注意利用行列式的性質(zhì)，進(jìn)行“小零降階”，以便求得 的一次因式。特別是對(duì)于3階及3階以上的矩陣，一般不宜用對(duì)角線法則計(jì)算 ，因?yàn)?式關(guān)于 的3次或3次以上的多項(xiàng)式，因式分解有一定（或十分）困難。

2. 是抽象矩陣時(shí)，計(jì)算矩陣 的特征值的常用方法為：（1）利用矩陣特征值的定義;（2）利用矩陣特征值的性質(zhì);（3）利用 等相關(guān)聯(lián)矩陣特征值的關(guān)系.

例2：設(shè) 階方陣 滿足 ，證明 的特征值是1，或 -1.

證明：設(shè) 的特征值為 ， 是 的對(duì)應(yīng)于 的特征向量，則有 ，將其兩邊

左乘矩陣 ，得到 ，因?yàn)?，所以 ，又由于

故 ，因此，矩陣 的特征值是1.或 -1.

例3：設(shè) 階方陣 滿足 ，而且 ，證明-1是矩陣 的特征值。

證明：因?yàn)?，所以 ，從而 ，又由于 ，

所以， 。又因?yàn)?，所以，-1是矩陣 的特征值。

例4：設(shè)三階矩陣 的特征值為1，2 -3，（1）求 的特征值;（2）求

的特征值。

解：（1）因?yàn)榫仃?的特征值為1，2，-3，所以， 。又如果 為 的特征值，則 的特征值為 ，所以， 的特征值為 -6，-3，2;從而 的特征

值為-12，-6，4;因此 的特征值為 。

（2）由于 的特征值為1，2，-3，又由特征值的性質(zhì)可知，如果 為 的特征值，則 的特征值為 ，所以， 的特征值為2，16，-54;從而 的特征值為

;因此， 的特征值為 。

例5：設(shè)3階方陣 滿足 ，求 的特征值。

解：設(shè) ，則由

，且

，可得 ，即 ，從而可得矩陣 的特征值為 。

例6：設(shè)4階方陣 滿足 ，求 的伴隨矩陣 的一個(gè)特征值。

解：因?yàn)?為4階方陣，所以有， ，從而，可知 有一個(gè)特征值為 。又因?yàn)?，所以， 又由 ，可得

，根據(jù)特征值的性質(zhì)，可知 由一個(gè)特征值為 。

例7：證明：（1）如果正交矩陣 的行列式 ，則 是 的特征值;

（2）如果奇數(shù) 階正交矩陣 的行列式 ，則 是的特征值。

證明：（1）因?yàn)?為正交矩陣，所以 ，又 ，從而有

，

因此 ，也即 是 的一個(gè)特征值。

（2）因?yàn)?為奇數(shù) 階正交矩陣，所以有

從而 ，也即 是 的一個(gè)特征值。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。