遷移、應用問題

一、填空題

1.（2020年石家莊市模擬卷）將邊長為1m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是________.

2.將一個長、寬分別是a，b（0＜b＜a）的鐵皮的四個角切去相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則的取值范圍是________________.

3.江蘇省南京地區的一種機動車牌號由兩部分組成，一是固定部分：蘇A；二是隨機部分：三個阿拉伯數字（0，1，2，…，9）和兩個大寫的英文字母（A，B，C，…，Z），且按三個數字相鄰，兩個字母緊隨其后的方式排列，如“蘇A·866GQ”，則這種類型的車牌號理論上最多有________個.

4.如圖所示，垂直于地平面豎立著一塊半圓形的木板，某時太陽的光線恰與半圓的直徑AB垂直，此時木板在地面上的投影是半橢圓，已知半橢圓投影的面積與半圓木板的面積之比等于，則光線與地面所成角的大小為________.（注：長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓面積S=πab）.

（第4題）

5.（2020年鎮江市模擬卷）已知A，B，C是平面上任意三點，BC=a，CA=b，AB=c，則的最小值為________.

6.在集合｛1，2，3，…，9｝的所有3元子集中，將每個子集中最小元素相加，和記為a；將每個子集中最大元素相加，和記為b；將每個子集中中間元素相加，和記為c，則a：b：c為________.

二、解答題

8.某企業擬生產一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側面的厚度不計），易拉罐的體積為108πmL.設圓柱的高度為hcm，底面半徑為rcm，且h≥4r.假設該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關.已知易拉罐側面制造費用為m元/cm2，易拉罐上下底面的制造費用均為n元/cm2（m，n為常數）.

（第8題）

（1）寫出易拉罐的制造費用y（元）關于r（cm）的函數表達式，并求其定義域；

（2）求易拉罐制造費用最低時r（cm）的值.

9.（2020年蘇州中學模擬卷）如圖所示，有一塊邊長為1km 的正方形區域ABCD，在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角（∠PAQ）始終為45°（其中點P，Q分別在邊BC，CD上），設∠PAB=θ，tanθ=t.

（1）用t表示PQ的長度；

（2）求探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S的最大值.

（第9題）

10.如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建一倉庫，設AB=ykm，并在公路同側建造邊長為xkm的正方形無頂中轉站CDEF（其中邊EF在GH上），現從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°.

（1）求y關于x的函數解析式；

（2）如果中轉站四周圍墻造價為1萬元/km，兩條道路造價為3萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低？

11.以（0，m）間的整數（m＞1，m∈N）為分子，以m為分母組成分數集合A1，其所有元素和為a1；以（0，m2）中的整數為分子，以m2為分母組成不屬于集合A1的分數集A2，其所有元素和為a2；…；以此類推，以（0，mn）（n∈N*）中的整數為分子，以mn為分母組成不屬于集合A1，A2，…，An-1的分數集An，其所有元素和為an.求：

（1）a1，a2，a3的值；

（2）｛an｝的通項公式；

（3）a1+a2+…+an.