創(chuàng)新問題

一、填空題

1.在△ABC中，sin2A+cos2B=1，則cosA+cosB+cosC的最大值為________.

2.（2020年成都市模擬卷）數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸.（注：①平地降水量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

3.圓x2+y2=4上的一點到直線y=x+b的距離不小于的概率為，則b=________.

4.已知點M，N的坐標都滿足不等式組，則的取值范圍是________.

6.（2020年張家港市模擬卷）已知定義域為R的偶函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對任意x∈[0，+∞）均 滿 足：xf′（x）＞-2f（x）.若g（x）=x2f（x），則不等 式g（2x）＜g（1-x）的解集是________.

8.已知a，b，c為正整數(shù)，且存在無數(shù)個正整數(shù)n，使得an+bn=cn+1成立，則所有滿足題意的有序數(shù)對（a，b，c）共有________個.

9.已知實數(shù)a，b，c滿足則b的取值范圍是_________________.

10.（2020年蘇州中學(xué)模擬卷）對于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域為[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù).若f（x）=lnx+x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________.

二、解答題

11.已知點A（-1，0），B（1，0），動點M滿足，設(shè)其軌跡為曲線C，過點B的動直線l交曲線C于P，Q兩點.

（2）求△APQ面積的最大值.

12.設(shè)函數(shù)f（x）=ax（常數(shù)a＞0），g（x）=lnx.

（1）記p（x）=f（x）·g（x），求函數(shù)p（x）的極值；

（2）記q（x）=f（x）-g（x），試給出一個x0，使得當(dāng)x＞x0時，恒有q（x）＞0，并證明.

13.（2020年廣州市模擬卷）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤c，求實數(shù)c的最小值；

（3）若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.