立體幾何問題的正確打開方式：“算”與“思”（上）

曾 榮

同學們，你們知道立體幾何研究什么嗎？在高考中是怎么考查的嗎？

近幾年的全國卷立體幾何解答題，絕大部分采用“一半證明，一半計算”的方式，即第一問主要考查線面位置關系的證明，第二問涉及角與距離或體積的計算.在解決幾何計算問題時，綜合幾何法和向量坐標法是兩種常用的方法.

敲黑板

立體幾何主要研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系．高考立體幾何試題考查的重點內容為點、線、面位置關系的判斷、證明和計算等問題．

依托空間向量，注重計算，算思結合

例1 （2019年高考全國I理科卷）如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC，BB1，A1D的中點．

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

圖1

【思路剖析】

第一問思路：證MN∥平面C1DE的大方向是證MN∥ED．通常的方法有：

①直接法：將MN，DE置于四邊形MNDE中，證明四邊形MNDE是平行四邊形；

②間接法：通過第三條直線過渡證明平行關系.取AD的中點F，連結FB.通過FB∥MN，FB∥ED證明MN∥ED.

第二問思路：本題研究的幾何體是直棱柱，故z軸的方向是明確的.試題中已知底面是菱形，且∠BAD=60°，故能否結合這一圖形特征挖掘垂直關系，建立合適的坐標系成了解決問題的關鍵.

①建系方案

圖2

②方案比較

方案方案1方案2方案3方案4以上四種方案，各有優點，結合本題的圖形特征和數據特征，本題采用方案1、2、4比較合適相關點的坐標A(2,0,0)，B(1,3,0)，C(-1,3,0)，D(0,0,0)E(0,3,0)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1(2,0,4)A( 3,-1,0)，B( 3,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)E(3 2,3 2,0)，M( 3,1,2)，N(3 2,-1 2,2)，A1( 3,-1,4)A( 3,0,0)，B( 3,2,0)，C(0,3,0)，D(0,1,0)E(3 2,5 2,0)，M( 3,2,2)，N(3 2,1 2,2)，A1( 3,0,4)A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(-3,0,0)，D(0,-1,0)E(-3 2,1 2,0)，M(0,1,2)，N(3 2,-1 2,2)，A1( 3,0,4)優點直接利用了圖形中已有的垂直關系AD⊥DE，建系方式便捷與方案1 位置不同，本質一樣，其中AMA1的法向量已知，無需另求需要作出輔助線，建系方式相對隱蔽，各點的坐標均為正數具有對稱性，點的坐標容易寫出

【規范解答】

（1）證法一：連結B1C，ME.

在直四 棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB∥DC，

A1B1=AB，AB=DC，

所以A1B1∥DC，A1B1=DC.

所以四邊形A1DC B1為平行四邊形.

所以B1C∥A1D且B1C=A1D.

因為M,E分別為BB1，BC的中點，

所以ME∥B1C，且.

圖3

又因為N為A1D的中點，所以.

所以ME∥ND，ME=ND，

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED.

又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.

證法二：請同學們參考證法一的過程自行完成.

（2）解法一：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥DA，D1D⊥DE.

因為底面是菱形，∠BAD=60°，所以三角形BCD為等邊三角形，

因為E是BC的中點，所以DE⊥BC，所以DE⊥DA.

以D為坐標原點，DA，DE，D1D所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標系D-xyz.

圖4

設m=(x,y,z)為平面A1MA的法向量，則

設n=(p,q,r)為平面A1MN的法向量，則

所以二面角A-MA1-N的正弦值為．

其他解法：請同學們參考解法一的過程自行完成.

【歸納提升】