一種板桁結(jié)合型加勁梁豎向抗彎剛度的近似算法

崔子鑫， 李海超， 張艷萍， 龐 彧

(1.陸軍軍事交通學(xué)院五大隊(duì)，天津 300161；2.陸軍軍事交通學(xué)院國(guó)防交通系，天津 300161)

板桁結(jié)合型加勁梁(后稱加勁梁)是由正交異性橋面板與主桁架結(jié)合起來共同承擔(dān)荷載的結(jié)構(gòu)。與非結(jié)合型加勁梁相比，加勁梁具有自重小、剛度大的特點(diǎn)，現(xiàn)已成為橋梁特別是大跨度橋梁的主要結(jié)構(gòu)形式，例如閔浦大橋、清水河大橋、北盤江大橋、岳陽洞庭湖大橋等。

對(duì)于加勁梁的研究主要采用有限元法，但建立實(shí)際結(jié)構(gòu)模型會(huì)因建模復(fù)雜、節(jié)點(diǎn)單元數(shù)量大而降低計(jì)算效率[1]，并且在較多針對(duì)其豎向變形特性的研究中，往往多關(guān)注橋梁整體豎向動(dòng)力響應(yīng)，因此只需要研究相同豎向剛度下的單梁模型即可滿足工程需要。

對(duì)于梁來說，計(jì)算抗彎剛度的方法包括手算與電算。手算是根據(jù)經(jīng)典材料力學(xué)的方法，選取截面，計(jì)算截面的慣性矩I，將慣性矩與材料彈性模量相乘即可求出抗彎剛度K；電算方法則是需要建立實(shí)際結(jié)構(gòu)模型，通過施加特定約束和荷載工況計(jì)算撓度，依據(jù)材料力學(xué)的撓度計(jì)算公式反推梁的抗彎剛度。而對(duì)于像加勁梁這一類“非連續(xù)”結(jié)構(gòu)的梁，由于截面慣性矩隨著截面選取的位置不同而變化，手算方法不再適用，而用電算反推慣性矩也無法避免因建立復(fù)雜模型而帶來的問題，因此需要提出一種計(jì)算加勁梁豎向抗彎剛度的簡(jiǎn)化算法。在之前，許多學(xué)者對(duì)空間桁架與板的組合結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。1965年，日本學(xué)者Okumura[2]將華倫桁架梁等效成近似箱型截面梁。1970年，李國(guó)豪院士[3，4]提出了便于應(yīng)用的桁梁扭轉(zhuǎn)、側(cè)傾穩(wěn)定以及撓曲—扭轉(zhuǎn)的基本理論。賀擁軍[5]分析了交叉立體桁架網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的變形受力特點(diǎn)與簡(jiǎn)化計(jì)算方法。周燕其[6]等人以某鋼管桁架懸索橋?yàn)槔謩e通過手算、Midas建模計(jì)算以及荷載試驗(yàn)三種方法研究加勁梁的受力情況，發(fā)現(xiàn)在活載作用下，橋面板會(huì)與桁架梁共同抗彎。陳常松[7]等人研究不同桁高和節(jié)間下的華倫式和普拉特式空間桁架梁模型的慣性矩。王磊[8]等將正交異性板簡(jiǎn)化為虛擬主梁和虛擬斜桿組成的X型桁架。戴學(xué)宇[9]等人應(yīng)用撓曲扭轉(zhuǎn)理論推導(dǎo)計(jì)入橋面板作用的抗彎剛度的計(jì)算公式。

綜上，雖然學(xué)術(shù)界對(duì)加勁梁結(jié)構(gòu)抗彎剛度的算法進(jìn)行了一些研究和探索，但是并沒有提出一個(gè)統(tǒng)一的算法，而傳統(tǒng)的算法[4]因忽略了橋面板的貢獻(xiàn)導(dǎo)致計(jì)算精度不高。因此本文通過將加勁梁連續(xù)化處理為箱梁，再通過箱梁提出計(jì)算加勁梁豎向抗彎剛度的算法。由于本文僅考慮豎向荷載所引起的撓曲變形，因此后文中慣性矩和抗彎剛度如沒有特殊說明，僅指豎向彎曲慣性矩和豎向抗彎剛度。

1 加勁梁的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及連續(xù)化等效原則

1.1 加勁梁的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

通過對(duì)國(guó)內(nèi)外26座典型加勁梁結(jié)構(gòu)分析[10]，匯總可知加勁梁依據(jù)橋面位置可分為上承式、下承式以及雙層橋面式，主梁結(jié)構(gòu)主要包括橋面系、主桁架、主橫桁架以及下平聯(lián)；主桁結(jié)構(gòu)包括單斜腹桿系(如普拉特式桁架結(jié)構(gòu))和雙斜腹桿系(如X型、米字型桁架結(jié)構(gòu))，如圖1所示；下平聯(lián)一般采用斜桿組合結(jié)構(gòu)，例如K型、M型和X型下平聯(lián)，如圖2所示。

圖1 主桁架結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 下平聯(lián)結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 連續(xù)化等效原則

所謂連續(xù)化等效，就是采用“擬腹板”的思想，將主桁腹桿和下平聯(lián)的斜桿連續(xù)化處理為薄板結(jié)構(gòu)，基于應(yīng)變能互等原理計(jì)算薄板的等效厚度，最終將加勁梁連續(xù)化等效為箱梁。

通常，在豎向撓曲變形中，橋面板、中縱梁與主桁上弦桿共同承受壓力，下平聯(lián)與下弦桿共同承受拉力，主桁的斜腹桿主要承受剪力，其余部分在豎向彎曲變形中或不受力或受力較小。

因此在研究過程中做以下處理：

(1)將中縱梁處理為橋面板的加勁肋，使之成為橋面板的一部分，后文所指橋面板即表示計(jì)入中縱梁的橋面板。

(2)在豎向撓曲研究中，忽略次要構(gòu)件的影響，比如主橫桁架、次橫梁等。

(3)不考慮連續(xù)化處理后薄板的穩(wěn)定性以及剪力滯后效應(yīng)。

(4)將焊接的節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化為鉸節(jié)點(diǎn)。

2 主桁腹桿系連續(xù)化等效厚度計(jì)算

2.1 主桁腹桿系類型對(duì)慣性矩的影響分析

根據(jù)加勁梁在豎向荷載作用下的傳力機(jī)理，將荷載的傳力路徑分為通過橋面板直接傳遞到節(jié)點(diǎn)和通過橋面板到次橫梁再作用到節(jié)間兩類。對(duì)于第1類傳力路徑，荷載將引起加勁梁整體的豎向彎曲；而對(duì)于第2類傳力路徑，荷載不僅會(huì)引起加勁梁整體豎向彎曲，同時(shí)還會(huì)使上弦桿節(jié)間發(fā)生局部豎向彎曲。為保證計(jì)算精度，桿系單元采用考慮剪切變形的beam188單元，并將中縱梁處理為橋面板的加勁肋。橋面板和加勁肋均采用平面應(yīng)力四節(jié)點(diǎn)的shell181單元，并通過glue命令將橋面板和加勁肋粘結(jié)，梁?jiǎn)卧c面單元通過共節(jié)點(diǎn)傳遞作用力。選取北盤江大橋中跨梁段進(jìn)行建模，建立240 m跨度的懸臂梁結(jié)構(gòu)，在自由端施加集中荷載，其中鋼材強(qiáng)度等級(jí)為Q345，密度為7.8 g/cm3，彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3。

建立如圖1所示兩種工況的主桁：工況一為單斜腹桿系，工況二為雙斜腹桿系。通過數(shù)值仿真可以得到主桁各節(jié)點(diǎn)的豎向撓度，再根據(jù)公式(1)求得加勁梁的慣性矩I，結(jié)果如圖3所示。

(1)

式中：y為加勁梁豎向撓度；P為自由端集中力；x為距固定端的距離；L為跨度；E＇為加勁梁的彈性模量。

圖3 不同斜腹桿工況下慣性矩結(jié)果

通過圖3結(jié)果可以得出，橫向來看，邊界條件對(duì)加勁梁的慣性矩求解有較大影響：在離約束較近的范圍內(nèi)邊界約束效應(yīng)較大，從而導(dǎo)致該區(qū)域的結(jié)構(gòu)剛度加大，慣性矩較大。而隨著距離的增大，約束效應(yīng)減弱，并逐步趨于平穩(wěn)，呈現(xiàn)出來梁自身特有的屬性，因此選取平穩(wěn)處的值作為加勁梁的慣性矩。縱向來看，雙斜腹桿系的結(jié)果比單斜腹桿系的結(jié)果大，但是相差很小，這是因?yàn)樾备箺U影響加勁梁的豎向變形中剪切變形的部分，而剪切變形并不是影響豎向撓曲變形的主要因素。

2.2 主桁斜腹桿連續(xù)化薄板等效厚度計(jì)算

2.2.1 單斜腹桿系連續(xù)化薄板

如圖4所示，取受剪狀態(tài)下的單節(jié)間主桁隔離體進(jìn)行分析。為保證兩者應(yīng)變能相等，因此在單位剪力作用下主桁和連續(xù)化薄板產(chǎn)生的變形相等，即Δ1=Δ2，所以兩者角變形γ也相等。

圖4 單節(jié)間單腹桿系連續(xù)化

截面的彎矩M由上下弦桿作為翼緣來承受，剪力Q則由斜腹桿來承受。如圖5(a)所示，在Q=1的單位剪力作用下結(jié)構(gòu)發(fā)生位移Δ1，此時(shí)斜腹桿的內(nèi)力Fd為：

(2)

式中：E為主桁架材料彈性模量；Sd為斜腹桿截面積；h為桁高；α為斜腹桿與下弦桿的夾角。

桁架結(jié)構(gòu)的剪切應(yīng)變能U1為：

(3)

式中：d為斜腹桿長(zhǎng)度。

與之對(duì)應(yīng)薄板的剪切應(yīng)變能U2為：

(4)

式中：G為主桁架材料剪切模量；γ為角變形；l為節(jié)間距離。

根據(jù)剪切應(yīng)變能互等原理可知薄板厚度t1為：

(5)

2.2.2 雙斜腹桿系連續(xù)化薄板

如圖5所示為幾種常見雙斜腹桿系類型，以圖5(a)為例計(jì)算雙斜腹桿系連續(xù)化薄板等效厚度。

圖5 雙斜腹桿系示意圖

如圖6所示，取受剪狀態(tài)的單節(jié)間桁架為隔離體進(jìn)行研究，同理兩者結(jié)構(gòu)的角變形也相同。

圖6 單節(jié)間雙腹桿系連續(xù)化

在單位剪力作用下斜腹桿發(fā)生軸向變形，根據(jù)變形協(xié)調(diào)得斜腹桿的軸力Fd為：

(6)

此時(shí)桁架體系的應(yīng)變能U3為：

(7)

與之對(duì)應(yīng)薄板的剪切應(yīng)變能U4為：

(8)

又因?yàn)橹麒旌偷刃т摪瀹a(chǎn)生的位移相等，即Δ3=Δ4，根據(jù)剪切應(yīng)變能互等原理可知薄板厚度t2為：

(9)

3 下平聯(lián)斜桿和橫梁連續(xù)化等效厚度計(jì)算

3.1 下平聯(lián)類型對(duì)慣性矩影響分析

將下平聯(lián)結(jié)構(gòu)分為以下3種工況：工況一為X型下平聯(lián)，工況二為K型下平聯(lián)，工況三為M型下平聯(lián)，應(yīng)用同樣的方法反推慣性矩，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同下平聯(lián)工況下慣性矩計(jì)算結(jié)果

通過對(duì)圖7分析可知，與M型和K型平聯(lián)相比，X型平聯(lián)會(huì)有效提高加勁梁抵抗豎向撓曲變形的能力，這是因?yàn)樵谪Q向撓曲中，X型平聯(lián)中的斜桿和豎桿與下弦桿共同承擔(dān)外荷載，而M型和K型平聯(lián)的斜桿和豎桿不承擔(dān)荷載。

3.2 下平聯(lián)連續(xù)化薄板等效厚度計(jì)算

將下平聯(lián)分為靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)，K型和M型下平聯(lián)為靜定結(jié)構(gòu)，而X型下平聯(lián)則為一次超靜定結(jié)構(gòu)。

3.2.1 靜定平聯(lián)連續(xù)化薄板

取軸向受力狀態(tài)下的單節(jié)間K型平聯(lián)作為隔離體進(jìn)行分析，當(dāng)弦桿作用如圖8(a)所示的荷載F時(shí)，對(duì)節(jié)點(diǎn)分析可知，只有1-2弦桿和3-4弦桿受力，其余桿內(nèi)力為0，因此K型下平聯(lián)不抵抗豎向撓曲變形；同理對(duì)于如圖8(b)的M型下平聯(lián)進(jìn)行受力分析可知，只有1-2弦桿和6-7弦桿受力，其余桿內(nèi)力為0。由此推測(cè)，對(duì)于靜定的下平聯(lián)，主桁下弦桿可直接平衡外力，斜桿和豎桿不受力，因此認(rèn)為靜定下平聯(lián)不抵抗豎向撓曲變形。

圖8 下平聯(lián)受力示意圖

3.2.2 超靜定平聯(lián)連續(xù)化薄板

圖9 X型下平聯(lián)受力圖

對(duì)于如圖9(a)的X型下平聯(lián)，需將2-4桿截?cái)嗳鐖D9(b)所示，將軸力X1作為外力，再根據(jù)力法方程計(jì)算軸力X1：

δ11X1+Δ1F=0

(10)

式中：δ11為X1=1的單位荷載作用下引起的位移值；Δ1F為外力F作用下引起的位移值。一般來說，下平聯(lián)和主桁架材料彈性模量相同，因此：

(11)

(12)

式中：H為兩片主桁的中心間距；Aij表示i-j桿的截面積；β為下平聯(lián)斜桿與下弦桿的夾角。

代入力法方程得軸力X1為：

(13)

再由節(jié)點(diǎn)2的平衡關(guān)系可得1-2桿的軸力F12和變形Δ12為：

(14)

(15)

根據(jù)變形協(xié)調(diào)可知Δ12為X型下平聯(lián)在F=1的單位荷載作用下產(chǎn)生的軸向變形，因此X型下平聯(lián)的拉應(yīng)變能U5為：

(16)

式中：Fij表示i-j桿的軸力。

薄板在F=1所產(chǎn)生同樣變形時(shí)的拉應(yīng)變能U6為：

(17)

所以根據(jù)拉應(yīng)變能互等原理可得薄板的等效厚度t3為：

(18)

最終將加勁梁連續(xù)化為如圖10所示箱梁。

圖10 連續(xù)化箱梁截面示意圖

對(duì)于靜定平聯(lián)，加勁梁則連續(xù)化為如圖11所示的π梁。

圖11 連續(xù)化π梁截面示意圖

3.3 加勁梁抗彎剛度計(jì)算公式

(19)

橋面板所承受力T為：

(20)

式中：Ab為橋面板截面積。

基于壓力不變的等效原則，選取幾何中心不變的位置，將橋面板截面積等效為相應(yīng)弦桿材料的截面積Ah：

(21)

因此箱梁的慣性矩I為：

(22)

一般來說，橋面板等效面積Ah要比2S1的值要大，即橋面板對(duì)抗彎剛度的貢獻(xiàn)較大，因此在計(jì)算抗彎剛度時(shí)不可忽略橋面板的作用。

4 慣性矩簡(jiǎn)化計(jì)算公式的精度驗(yàn)證

加勁梁主桁分別選擇單斜腹桿系和雙斜腹桿系兩種工況，下平聯(lián)分別選擇K型、M型和X型三種工況，兩兩組合并建立240 m跨度的懸臂梁有限元模型，反推加勁梁的慣性矩并與簡(jiǎn)化計(jì)算結(jié)果比較，計(jì)算結(jié)果及相對(duì)誤差如表1所示。

表1 手算慣性矩值與仿真慣性矩值的比較

由表1可以看出，對(duì)于同種形式的下平聯(lián)，雙腹桿系主桁比單腹桿系主桁的豎向抗彎剛度高大約5%；對(duì)于同種腹桿系不同形式的下平聯(lián)來說，K型下平聯(lián)和M型下平聯(lián)對(duì)豎向抗彎的貢獻(xiàn)相同，X型下平聯(lián)比K型和M型下平聯(lián)的豎向抗彎剛度高大約12%，因此在計(jì)算時(shí)需要計(jì)入X型下平聯(lián)的貢獻(xiàn)，這與理論推導(dǎo)相一致；由于公式推導(dǎo)過程中對(duì)加勁梁進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化，所以手算結(jié)果與數(shù)值結(jié)果存在一些偏差，但是相對(duì)誤差小于5%，滿足工程需要。

5 結(jié)論

基于應(yīng)變能互等原理推導(dǎo)得出加勁梁慣性矩和抗彎剛度計(jì)算公式，通過仿真說明上述結(jié)果與實(shí)際加勁梁抗彎剛度誤差不超過5%，說明加勁梁抗彎剛度手算公式的合理性，可滿足工程需要。

對(duì)于加勁梁結(jié)構(gòu)，無論是上承式、下承式還是雙層橋面結(jié)構(gòu)，橋面板對(duì)豎向抗彎剛度的影響不可忽略。

不同形式的主桁形式和下平聯(lián)形式對(duì)加勁梁抵抗彎曲變形的能力不同，雙腹桿系主桁比單腹桿系主桁的豎向抗彎剛度高大約5%，X型下平聯(lián)比K型和M型下平聯(lián)的豎向抗彎剛度高大約12%。

本文僅僅研究了加勁梁豎向撓曲下的連續(xù)化情況，而橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形并沒有考慮，今后應(yīng)考慮同時(shí)發(fā)生豎向撓曲、橫向撓曲以及扭轉(zhuǎn)三者的組合變形。