局域共振型圓柱殼類聲子晶體帶隙特性研究

黃洪賽,冉冀林,陳凱倫,張雅夢,劉長利

(華東理工大學機械與動力工程學院，上海 200237)

0 引 言

近年來，聲物理領域的“局域共振型聲子晶體”新概念、新原理的提出為解決圓柱殼類結構的振動控制問題提供了新的思路。已有研究表明，局域共振型結構中可以產生顯著的彈性波帶隙[1]，利用其帶隙可以實現對振動的控制，具有廣闊的應用前景，近年來吸引了國內外學者的廣泛興趣。Wang等[2]提出了一種在細長梁上周期性附加諧振子的準一維結構，研究了在該結構中縱向彈性波的傳播。王剛等[3]構造了一種由有機玻璃和橡膠/銅塊振子構成的周期結構細直梁，研究了該細直梁的能帶結構，以及有限周期條件下的振動傳輸特性。Gao等[4]在歐拉-伯努利梁上周期性離散附加動力吸振器，研究了該結構控制彎曲波傳播的應用。Xiao等[5]在均勻板上附著二維周期性彈簧質量共振器陣列，構成了局域共振結構，研究了彎曲波在局部共振薄板中的傳播特性。與梁和板類聲子晶體相比，對圓柱殼類聲子晶體的結構彎曲波傳播特性的研究還不多見。

圓柱殼類結構廣泛應用在航天航空、船舶與航海、土木建筑、化工領域等工程領域[6]。這些殼體結構承受風、地震、波浪、氣動力等動載荷，由此導致的振動和噪聲，影響設備的工作性能，縮短設備的壽命，導致安全事故。李雁飛等[7]設計了一種具有軸向周期結構的裝備外殼，研究了其對彎曲波的振動特性。Shen等[8]提出一種軸向周期分布不同結構或材料的管路，研究了周期管路的聲振傳播。鞠海燕等[9]研究了軸向一維周期性等厚度圓柱殼體和變厚度殼體的能帶結構。羅金雨等[10]提出了一種布拉格散射型圓柱殼類聲子晶體結構，獲得了沿軸線和圓周兩個方向的帶隙。王興國等[11]提出了一種徑向聲子晶體柱殼結構，分析了流體阻抗對柱殼隔聲特性的影響。Nateghi等[12]等提出了一種局域共振型圓柱彎曲殼，研究了曲率對其能帶結構的影響。但是，這些研究[7-11]中設計的圓柱殼類聲子晶體都產生Bragg帶隙，而沒有涉及到局域共振型圓柱殼類聲子晶體的研究。

與這些研究不同的是，本文提出了一種局域共振型圓柱殼類聲子晶體結構，是通過在圓柱殼圓周方向布置彈簧振子實現的。分析了聲子晶體的圓柱殼質量與彈簧振子的質量比、彈簧振子的剛度和元胞寬度對帶隙的影響，以及有限周期圓柱殼結構的傳輸特性。研究結果為圓柱殼結構的減振設計提供了理論參考。

1 局域共振結構及其能帶

1.1 局域共振結構

圖1為本文提出的周期結構圓柱殼及相應的元胞，彈簧振子(圖中的黑點，周向的個數為N)沿周向等間隔地分布在元胞上，元胞沿軸向周期排列形成局域共振圓柱殼類聲子晶體結構。元胞的中面半徑為R，厚度為h，軸向寬度為a，彈簧振子的質量為mR，剛度為kR，圓柱殼質量m與彈簧振子總質量之比為γ。

1.2 元胞的能帶結構

本節根據元胞的邊界力與位移的周期性約束條件建立本征場，計算元胞的本征頻率，得到其能帶結構。

局域共振型圓柱殼類聲子晶體的周期常數為單個結構的長度a，且根據Floquet-Bloch定理，通過周期性邊界條件可以用單個周期的結構表示整體結構。圓柱殼邊界上的位移u(x)，包含x,y,z三個方向的位移，根據Neumann的邊界條件來控制周期性邊界條件上的位移u，并且相位關系與相鄰元胞的邊界條件決定，可以表示為(1)式：

u(z+na)=u(z)e-iqna

(1)

其中z代表軸線方向上的坐標，n為周期個數，q表示軸線方向的波矢，而根據Bloch定理[13]，對于一維的結構波矢只需遍歷在如圖2的不可約Brillouin區[0,π/a]的取值就可以代替所有波矢，再對應每一個波矢q值求其特征頻率，得到能帶結構。由于周期性，波矢在[-π/a,0]中計算的特征頻率可以由[0,π/a]根據對稱性得到。

根據Bloch定理可知，每一個Bloch波矢對應一種傳播特性的本征彈性波，當對于所有波矢(qa)對應的特征頻率都不出現的頻率范圍時，表示相應頻率下的彈性波無法在結構中傳播，這樣的頻率范圍稱為帶隙。

圓柱殼采用環氧樹脂材料，材料參數如表1所示，取R=0.187 75 m,h=0.011 5 m,a=0.059 m,γ=2,kR=9.495 43×105N/m,N=10,mR=m/20=0.048 kg。利用COMSOL Multiphysics對圖1所示的結構建立有限元模型，使用集總機械系統來構建彈簧振子單元的剛度與質量，并在圓柱殼軸向方向使用Floquet周期性邊界條件。

表1 圓柱殼材料參數Table 1 Material parameters of cylindrical shell

圖3是圓柱殼元胞的前32個特征頻率的能帶圖。虛線為不含彈簧振子的圓柱殼能帶結構，實線為本文提出的局域共振型圓柱殼類聲子晶體的能帶結構，陰影區域為元胞的兩條帶隙。由圖可知，不含彈簧振子圓柱殼的能帶結構不存在帶隙，說明帶隙是由附加的彈簧振子與圓柱殼耦合引起的。元胞結構共有兩條帶隙，一條是頻率范圍為0～371 Hz，帶寬為371 Hz，記為帶隙1，另一條是頻率范圍為650～980 Hz，帶寬為330 Hz，記為帶隙2。

2 帶隙影響因素分析

本節研究了影響帶隙特性的三個關鍵因素，圓柱殼與彈簧振子的質量比γ，彈簧振子剛度kR，元胞軸向長度a。

2.1 圓柱殼與彈簧振子的質量比

本節分析中，圓柱殼質量m和彈簧振子剛度kR不變，通過改變質量比調節彈簧振子的諧振頻率，討論局域共振圓柱殼聲子晶體的帶隙特性。

圖4是質量比對帶隙特性的影響。星號標記、圓形標記和三角標記分別為帶隙1的截止頻率、帶隙2截止頻率和帶隙2起始頻率隨著質量比變化的曲線。

首先，由圖4可知質量比對帶隙2特性的影響。隨著諧振頻率增大，即彈簧振子質量減小，帶隙2的起始頻率向帶隙2的截止頻率靠近，說明隨著彈簧振子質量減小，帶隙2越來越窄。這是由于彈簧振子的質量越大，與圓柱殼的耦合作用強度越大，達到兩個子系統反向振動的頻率變高，因此帶隙2變寬。

其次，由圖4還可知質量比對帶隙1特性的影響。隨著諧振頻率增大，帶隙1截止頻率的上升速度減慢，這是因為隨著彈簧振子質量減小，彈簧振子與圓柱殼之間的耦合作用隨著彈簧振子質量減小而減小。

2.2 彈簧振子剛度

本節分析中，圓柱殼與彈簧振子質量比不變γ，通過改變彈簧振子剛度kR來調節諧振頻率，研究彈簧振子剛度對帶隙特性的影響，如圖5所示。

首先，由圖5可知剛度對帶隙2特性的影響。隨著諧振頻率增大，即彈簧振子剛度增大，帶隙2逐漸上移，并且其帶隙寬度逐漸減小。但是當fR=850 Hz時，帶隙截止頻率不再變化，這是由于彈簧振子對于圓柱殼的耦合作用趨向于附加質量的作用，彈簧振子質量不變，導致整體結構不再改變，所以其截止頻率趨于常數。

其次，由圖5還可知剛度對帶隙1特性的影響。隨著諧振頻率增大，帶隙寬度逐漸變寬并趨于收斂，這是因為彈簧振子的剛度增大，導致彈簧振子趨向于剛性連接在圓柱殼上，局域共振型結構對帶隙1截止頻率的影響變小。

綜上所述，質量比和彈簧剛度分別對帶隙的影響結果表明，增大彈簧振子的質量或減小其剛度，可以拓寬帶隙2的寬度。帶隙2與帶隙1之間的間隔隨著諧振頻率的增大而減小，這是由于諧振頻率增大，彈簧振子對圓柱殼的影響的耦合作用減小。

2.3 元胞的軸向寬度

本節分析元胞的軸向寬度a對帶隙特性的影響。彈簧振子的質量與圓柱殼質量之比γ和剛度kR不變，以軸向寬度a=0.059 m為基本長度，分析局域共振圓柱殼從a～6a的帶隙特性。圖6是元胞的軸向寬度對帶隙特性的影響，星號標記實線表示局域共振型圓柱殼帶隙1截止頻率，三角標記實線表示該結構的帶隙2的起始頻率，圓形標記實線表示帶隙2的截止頻率。由圖可知，隨著軸向寬度增大，帶隙2的起始頻率和截止頻率以及帶隙1的截止頻率逐漸減小。

3 傳輸特性

本節采用位移傳遞率分析有限周期圓柱殼結構的傳輸特性。位移傳遞率定義為傳遞到基礎的位移與激振位移之比，反映結構對位移的傳遞關系。計算不同簡諧激勵下局域共振圓柱殼的位移傳遞率，對比激勵頻率在帶隙范圍內和帶隙范圍外的傳遞損失，分析局域共振型圓柱殼的減振性能。

圖7是激勵和響應點分布示意圖，有限周期圓柱殼結構由10個元胞組成，圓柱殼上的黑點表示彈簧振子，虛線的小圓圈代表激勵和響應點的位置。圓柱殼兩端的邊界設置為徑向自由運動，切向和軸向固定。激勵為單位位移的簡諧激勵，方向沿圓柱殼的徑向，激勵頻率范圍為10～2 800 Hz。響應點在圓柱殼另一端，響應點1是激勵點沿軸線方向(z方向)10個元胞周期距離的點，響應點2則是響應點1沿圓周方向旋轉180°的點。

本文僅考慮徑向位移傳遞率。圖8(a)是元胞的能帶結構，圖8(b)為有限周期局域共振圓柱殼在簡諧點載荷下，響應點1、2的位移傳遞率。由圖可知，在圖8(a)的帶隙650～980 Hz范圍，和帶隙210～372 Hz范圍對應了圖8(b)中位移傳遞率小于零的頻率范圍，表示響應點的位移明顯小于激勵點位移。說明當激勵頻率在元胞的帶隙范圍內時，圓柱殼的振動位移明顯衰減。這驗證了彈性波頻率在帶隙范圍內時，在局域共振圓柱殼聲子晶體內傳播會受到抑制的特性。

圖9(a), (b), (c), (d)分別表示簡諧點載荷頻率為200 Hz, 500 Hz, 800 Hz, 1 200 Hz的振動響應。由圖可知，圖9(a)和(c)的點載荷頻率分別處于帶隙1和帶隙2范圍內，振動都明顯只局限在激勵點附近，但不同的是,低頻的帶隙1范圍內的振動并無放大，而在帶隙2內的振動則只是在激勵點附近被放大。圖9(b)和(d)的點載荷頻率處于通帶范圍內，振動明顯遍布在整個圓柱殼，整體位移明顯加劇。進一步驗證了帶隙范圍內彈性波傳播受到抑制的特性。

4 結 論

本文提出了一種通過在圓柱殼圓周方向布置彈簧振子的局域共振型圓柱殼類聲子晶體結構，分析了聲子晶體的圓柱殼質量與彈簧振子的質量比、彈簧振子的剛度和元胞寬度對帶隙的影響，以及有限周期圓柱殼結構的傳輸特性，得到結論如下：

(1)在軸線方向和圓周方向都周期性布置彈簧振子的局域共振單元的圓柱殼結構，形成了兩條低頻帶隙，其中帶隙1具有極低的帶隙范圍。對有限周期圓柱殼結構的傳輸特性分析，驗證了局域共振型圓柱殼聲子晶體在帶隙范圍內的抑制振動的能力。

(2)彈簧振子的質量和剛度對帶隙影響的研究結果表明，增大彈簧振子的質量或減小其剛度，可以拓寬帶隙2的寬度。隨著諧振頻率的增大，帶隙1與帶隙2之間的間隔減小，這是由于諧振頻率增大，彈簧振子對圓柱殼的影響的耦合作用減小。

(3)寬度對帶隙影響的研究結果表明，隨著元胞的軸向寬度增大，帶隙2的起始頻率和截止頻率以及帶隙1的截止頻率逐漸減小。