問題情境創設，開放創新應用
——概率或統計中的開放創新性問題

江蘇省濱海中學 魯明星

概率或統計中的開放創新性問題,是借助數學思維來科學決策現實生活中的問題的一類創新問題。此類開放創新性問題,從現實生活中加以抽象與概括,規劃問題情境,形成數據信息,結合大數據應用,借助數據所對應的圖表或數據所確定的數學要素,從數學角度進行科學創新與判斷,為合理判斷與決策提供理論支持。

一、與概率相關的開放創新性問題

例1最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功,且試驗成功的概率為p(0＜p＜1)。現對該產品進行獨立重復試驗,若試驗成功,則試驗結束;若試驗不成功,則繼續試驗,且最多試驗10 次。記X為試驗結束時所進行的試驗次數,且每次試驗的成本為a(a＞0)元。

(1)寫出X的分布列。

(3)某公司有意向投資該產品,若p=0.25,且試驗成功,則獲利5a元,試問:該公司應如何決策投資? 并說明理由。

解析：(1)由題意可得,X=1,2,3,…,10,故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P(X=10)=(1-p)9。

故X的分布列如表1所示:

表1

(2)由于E(X)=p(1-p)0+2p(1-p)1+3p(1-p)2+…+9p(1-p)8+10(1-p)9,記S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+…+9(1-p)8,則(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+…+9(1-p)9,以上兩式作差,可得pS=(1-p)0+(1-p)1+(1-p)2+…+(1-p)8-9(1-p)9=

故E(X)=pS+10(1-p)9=,即結論得證。

點評:借助概率相關知識來科學決策現實生活中的開放創新性問題,往往借助對應事件的概率、隨機變量的方差或數學期望等數據信息與處理,與對應數據的現實意義加以對比與分析,結合現實問題情境對概率數據的需求差異與變化情況,合理判斷,科學決策。

二、與統計相關的開放創新性問題

例2在實施“鄉村振興”的進程中,某地政府引領廣大農戶發展特色農業,種植優良品種柑橘。現在實驗基地中種植了相同數量的A、B兩種柑橘,為了比較A、B兩種柑橘品種的優劣,在柑橘成熟后隨機選取A、B兩種柑橘各100株,并根據株產量X(單位:kg)繪制了如圖1和圖2所示的頻率分布直方圖(數據分組為:[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95])。

(1)求a,b的值。

(2)將頻率當作概率,在所有柑橘中隨機抽取一株,求其株產量不低于80 kg的概率。

圖1

圖2

(3)求兩種柑橘株產量平均數的估計值(同一組數據中的平均數用該組區間的中點值作代表),并從產量角度分析,哪個品種的柑橘更好? 說明理由。

解析：(1)由頻率分布直方圖可得(0.01×2+0.03+0.05+0.06+a)×5=1,解得a=0.04,(0.01×2+0.03+b+0.05+0.06)×5=1,解得b=0.04。

(2)A品種柑橘株產量不低于80 kg的頻率為(0.04+0.05+0.06)×5=0.75,B品種柑橘株產量不低于80 kg的頻率為(0.03+0.01+0.01)×5=0.25,故200株柑橘中產量不低于 80kg 的頻率為,所以在所有柑橘中隨機抽取一株,其株產量不低于80 kg的概率為0.5。

(3)設A品種柑橘株產量平均數的估計值為MA,可得MA=(0.01×67.5+0.01×72.5+0.03×77.5+0.04×82.5+0.05×92.5+0.06×87.5)×5=84.5。

設B品種柑橘株產量平均數的估計值為MB,可得MB=(0.01×92.5+0.01×87.5+0.03×82.5+0.04×77.5+0.05×67.5+0.06×72.5)×5=75.5。

所以A品種的柑橘更好。

理由如下:方法一:A的平均產量大于B的平均產量。

方法二:由頻率分布直方圖可知,A品種柑橘株產量在80 kg及以上的占比為75%,B品種柑橘株產量在80 kg及以上的占比為25%,故A品種的柑橘更好。

點評:借助統計相關知識來科學決策現實生活中的開放創新性問題,重點是正確識別題設條件中的圖表信息或數據信息等,結合統計中的圖表進行直觀分析,對數據樣本進行數學運算等處理,并結合不同的問題情境所對應的實際問題,合理對比與分析,進而得以正確判斷與科學決策。

三、與線性回歸模型相關的開放創新性問題

例3人們用大數據來描述和定義信息時代產生的海量數據,并利用這些數據處理事務和做出決策。某公司通過大數據收集到該公司銷售的某電子產品1月至5月的銷售量,如表2所示:

表2

該公司為了預測未來幾個月的銷售量,建立了y關于x的回歸模型

(1)根據所給數據與回歸模型,求y關于x的回歸方程(的值精確到0.1)。

(2)已知該公司的月利潤z(單位:萬元)與x,y的關系為,根據(1)的結果,試問:該公司哪一個月的月利潤預報值最大?

參考公式:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

點評:借助數據信息與數據統計,利用最小二乘法和線性回歸方程的公式,合理構建線性回歸模型,利用對應的回歸模型所對應的函數,借助函數的圖像與性質、不等式的應用或導數的應用等來合理判斷與科學決策,從而對一些相關的預算或決策加以合理識別與判斷,巧妙破解此類開放創新性問題。

概率或統計中的開放創新性問題,要借助數據分析與數據處理來表述,同時吻合概率或統計的實質內涵,結合相關的概率或統計知識來解決日常生活、社會活動和經濟活動等問題情境下的開放創新性應用問題,增強創新意識與創新應用,從而學以致用,學會利用數據說話,進行科學決策,體現創新應用精神,提升數學能力,培養數學核心素養。