概率統(tǒng)計試題精選

廣東信宜教育局教研室 王位高

1.某財經(jīng)雜志發(fā)起一項調(diào)查,旨在預(yù)測中國經(jīng)濟前景,隨機訪問了100位業(yè)內(nèi)人士,根據(jù)被訪問者的問卷得分(滿分10 分)將經(jīng)濟前景預(yù)期劃分為三個等級(悲觀、尚可、樂觀)。分級標(biāo)準(zhǔn)及這100 位被訪問者的得分頻數(shù)分布情況如表1所示:

表1

假設(shè)被訪問的每個人獨立完成問卷(互不影響),根據(jù)經(jīng)驗,這100位人士的意見即可代表業(yè)內(nèi)人士的意見,且他們預(yù)測各等級的頻率可估計未來經(jīng)濟各等級發(fā)生的可能性。

(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業(yè)內(nèi)人士,試估計至少有一人預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“樂觀”的概率。

(2)某人有一筆資金,現(xiàn)有兩個備選的投資意向:物聯(lián)網(wǎng)項目或人工智能項目,兩種投資項目的年回報率都與中國經(jīng)濟前景等級有關(guān),根據(jù)經(jīng)驗,大致關(guān)系如表2 所示(正數(shù)表示贏利,負(fù)數(shù)表示虧損):

表2

根據(jù)以上信息,請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差,并用統(tǒng)計學(xué)知識給出投資建議。

2.2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行。為做好本次考試的評價工作,將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制,現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績,經(jīng)統(tǒng)計,這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0 至100之間,將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,制成了如圖1 所示的頻率分布直方圖。

圖1

(1)求頻率分布直方圖中m的值,并估計這50 名學(xué)生成績的中位數(shù)。

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的三組中抽取了11人,再從這11人中隨機抽取3人,記ξ為3 人中成績在[80,90)內(nèi)的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(3)轉(zhuǎn)化為百分制后,規(guī)定成績在[90,100]內(nèi)的為A等級,成績在[70,90)內(nèi)的為B等級,其他為C等級。以樣本估計總體,用頻率代替概率,從所有參加生物學(xué)競賽的同學(xué)中隨機抽取100人,其中獲得B等級的人數(shù)設(shè)為η,記B等級的人數(shù)為k的概率為P(η=k),寫出P(η=k)的表達(dá)式,并求出當(dāng)k為何值時,P(η=k)最大?

3.根據(jù)中國海洋生態(tài)環(huán)境狀況公報,從2017年到2021年全國直排海污染物中各年份的氨氮總量y(單位:千噸)與年份的散點圖,如圖2所示。

記年份代碼為x(x=1,2,3,4,5),,對數(shù)據(jù)處理后得到表3。

圖2

表3

(1)根據(jù)散點圖判斷,模型①y=bx+a與模型哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程? (給出判斷即可,不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果,建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測2022年全國直排海污染物中的氨氮總量(計算結(jié)果精確到0.01)。

4.中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(CBA)始于1995年,至今已有28 個賽季,根據(jù)傳統(tǒng),在每個賽季總決賽之后,要舉辦一場南北對抗的全明星比賽,其中三分王的投球環(huán)節(jié)最為吸引眼球,三分王投球的比賽規(guī)則如下:一共有五個不同角度的三分點位,每個三分點位有5個球(前四個是普通球,最后一個球是花球),前四個球每投中一個得1 分,投不中的得0分,最后一個花球投中得2分,投不中得0分。全明星參賽球員甲在第一個角度的三分點開始投球,已知球員甲投球的命中率為,且每次投籃是否命中相互獨立。

(1)記球員甲投完1 個普通球的得分為X,求X的方差D(X);

(2)若球員甲投完第一個三分點位的5個球后共得到了2 分,求他是投中了花球而得到了2分的概率;

(3)在比賽結(jié)束后與球迷的互動環(huán)節(jié)中,將球員甲在前兩個三分點位使用過的10 個籃球?qū)?yīng)的小模型放入箱中,由幸運球迷從箱中隨機摸出5個小模型,并規(guī)定,摸出一個花球小模型計2 分,摸出一個普通球小模型計1分,求該幸運球迷摸出5個小模型后的總計分Y的數(shù)學(xué)期望。

5.根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn),一個家庭有X個孩子的概率模型為表4:

表4

其中α＞0,0＜p＜1。每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為,且相互獨立,事件Ai表示一個家庭有i個孩子(i=0,1,2,3),事件B表示一個家庭的男孩比女孩多(例如:一個家庭恰有一個男孩,則該家庭男孩多)

(1)若p=,求α,并根據(jù)全概率公式,求P(B)。

(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu),其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如:生育保險的增加,教育、醫(yī)療福利的增加等)。

①若希望P(X=2)增大,則該如何調(diào)控p的值?

②是否存在p的值使得,請說明理由。

6.2022年9月28日晚,中國女排在世錦賽小組賽第三輪比賽中,又一次以3∶0的比分酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對手日本女排,沖上了熱搜榜第八位,令國人振奮! 同學(xué)們,你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎? 其規(guī)則是:每場比賽采用“5局3勝制”(有一支球隊先勝3局即可獲勝,比賽結(jié)束)。比賽排名采用積分制,積分規(guī)則如下:比賽中,以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分,負(fù)隊積0分;以3∶2取勝的球隊積2分,負(fù)隊積1分。已知甲、乙兩隊比賽,甲隊每局獲勝的概率為

(1)如果甲、乙兩隊比賽1 場,求甲隊的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)如果甲、乙兩隊約定比賽2 場,求兩隊積分相等的概率。

7.調(diào)查表明:甲種農(nóng)作物的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項的指標(biāo)分別記為x,y,z,并對它們進(jìn)行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2 表示合格,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評定這種農(nóng)作物的長勢等級,若ω≥4,則長勢為一級;若2≤ω≤3,則長勢為二級;若0≤ω≤1,則長勢為三級。為了了解目前這種農(nóng)作物的長勢情況,研究人員隨機抽取10塊種植地,得到表5中的結(jié)果:

表5

(1)在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地,求抽取的兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率;

(2)從長勢等級是一級的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為A,從長勢等級不是一級的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為B,記隨機變量X=A-B,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望。

8.已知5 只動物中有1 只患有某種疾病,需要通過化驗血液來確定患病的動物。血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物,呈陰性即沒患病。現(xiàn)有兩種化驗方案,方案甲:逐個化驗,直到能確定患病動物為止。方案乙:先任取3 只,將它們的血液混在一起化驗。若結(jié)果呈陽性,則表明患病動物為這3 只中的1只,然后再逐個化驗,直到能確定患病動物為止;若結(jié)果呈陰性,則在另外2只中任取1只化驗。

(1)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率;

(2)ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù),求ξ的期望。

9.某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識大賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié),已知共有8 000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本,得到如圖3 所示的頻率分布直方圖。

圖3

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良,若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2 人,求恰有1 人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率。

(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N（μ,σ2）,其中μ可近似為樣本中的100 名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),且σ2=362。利用該正態(tài)分布,估計全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù)。

(3)預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人的復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n,每一題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格,規(guī)定答第k題時“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k(k=1,2,…,n);③每答對一道題加1.5 分,答錯既不加分也不減分;④答完n道題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績。已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.7,且每道題答對與否都相互獨立。若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績,則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?

10.足球運動被譽為“世界第一運動”。為了推廣足球運動,某學(xué)校成立了足球社團。由于報名人數(shù)較多,需對報名者進(jìn)行“點球測試”來決定是否錄取,規(guī)則如圖4所示:

圖4

(1)表6是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù),以這150個點球中的進(jìn)球頻率代表其單次點球踢進(jìn)的概率。為加入足球社團,該同學(xué)進(jìn)行了“點球測試”,每次點球是否踢進(jìn)相互獨立,將他在測試中所踢的點球次數(shù)記為ξ,求E(ξ)。

表6

(2)社團中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練,從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到。記開始傳球的人為第1次觸球者,接到第n次傳球的人即為第n+1次觸球者(n∈N*),第n次觸球者是甲的概率記為Pn。

①求P1,P2,P3(直接寫出結(jié)果即可);

參考答案：

1.(1)由題意可得,在100 名被采訪者中,預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“樂觀”的人數(shù)為9+7+4=20,故若隨機訪問兩名業(yè)內(nèi)人士,至少有一人預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“樂觀”的概率

(2)由題意可得,在100 名被采訪者中,預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“樂觀”的概率為0.2;預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“尚可”的概率為;預(yù)測中國經(jīng)濟前景為“悲觀”的概率為

故建議投資人工智能項目。

2.(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得,(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)×10=1,解得m=0.012,設(shè)中位數(shù)為n,則0.004×10+0.022×10+(n-60)×0.03=0.5,解得n=68。

故ξ的分布列為表7:

表7

3.(1)根據(jù)散點圖的趨勢,可知模型②適宜作為y關(guān)于x的回歸方程。

故預(yù)計2022 年全國直排海污染物中的氨氮總量為3.97噸。

記g(p)=2p3-3p2-1,則g′(p)=6p2-6p=6p(p-1)＜0,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。

因為g(0)=-1,所以g(p)＜0,f(p)在(0,1)上單調(diào)遞減。

因此增加p的取值,會減小,α增大,即P(X=2)增大。

所以X的分布列為表8:

表8

(2)記“甲、乙兩隊比賽兩場后,兩隊積分相等”為事件A,設(shè)第i場甲、乙兩隊積分分別為Xi、Yi,則Xi=3-Yi,i=1,2。

因為兩隊積分相等,所以X1+X2=Y1+Y2,即X1+X2=(3-X1)+(3-X2),則X1+X2=3。

7.(1)由題表可知,空氣濕度指標(biāo)為1的有A2,A4,A5,A7,A9,A10;空氣濕度指標(biāo)為2的有A1,A3,A6,A8。

抽取的兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個數(shù)

所以抽取的兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率

(2)由題意得,這10 塊種植地的綜合指標(biāo)如表9所示:

表9

其中長勢等級是一級(ω≥4)的有A1,A2,A3,A5,A6,A8,A9,共7 個,長勢等級不是一級(ω＜4)的有A4,A7,A10,共3個,隨機變量X=A-B的所有可能取值為1,2,3,4,5,w=4 的有A1,A2,A5,A6,A9,共5 個,w=3的有A7,A10,共2個,這時有X=4-3=1。

所以X的分布列為表10:

表10

8.(1)設(shè)A1、A2分別表示依方案甲需化驗1次、2次,B1、B2表示依方案乙需化驗2次、3次,A表示依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)。

9.(1)易知樣本中成績不低于60分的學(xué)生共有(0.012 5+0.007 5)×20×100=40(人),其中成績優(yōu)良的人數(shù)為0.007 5×20×100=15(人)。

記“從樣本中成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人,恰有1人成績優(yōu)良”為事件C,則

(2)由題意可知,樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值為x=10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,則μ=53,由σ2=362得σ≈19。

所以P(Z≥91)≈P(Z≥μ+2σ)=[1-P(μ-2σ＜Z＜μ+2σ)]≈0.022 75,由此可估計全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù)為8 000×0.022 75=182(人),即全市參賽學(xué)生中成績不低于91分的人數(shù)為182。

(3)以隨機變量ξ表示甲答對的題數(shù),則ξ～B(n,0.7),且E(ξ)=0.7n。

記甲答完n道題所加的分?jǐn)?shù)為隨機變量X,則X=1.5ξ,所以E(X)=1.5E(ξ)=1.05n。

依題意,為了獲取答n道題的資格,甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1×(1+2+3+…+n)=0.05(n2+n)。

設(shè)甲答完n道題的最終分?jǐn)?shù)為M(n),則M(n)=100-0.05(n2+n)+1.05n=-0.05(n-10)2+105。

由于n∈N*,所以當(dāng)n=10時,M(n)取最大值105,即復(fù)賽成績的最大值為105。

所以若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績,則他的答題數(shù)量n應(yīng)為10。

由題意知,ξ的所有可能取值為1,2,3,則P(ξ=1)=0.6;P(ξ=2)=0.6×0.4=0.24;P(ξ=3)=0.42=0.16。

所以期望E(ξ)=1×0.6+2×0.24+3×0.16=1.56。