隨機變量及其分布解答題的解題策略及技巧

江蘇省張家港市外國語學校 盧紅衛(wèi) 何 威 魏丹

隨機變量及其分布一直是高考的重點、熱點內(nèi)容,主要考查用概率的方法解決問題的能力。隨機變量及其分布是將不同背景的概率問題轉化為統(tǒng)一的數(shù)學問題,再通過構建二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型解決事件問題,其中隨機變量的分布、數(shù)字特征,以及二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布是主要考查內(nèi)容。本文歸納了隨機變量及其分布解答題的幾類常見題型,并總結了一些答題策略及技巧,希望對同學們的復習能有所幫助。

題型一、正態(tài)分布、期望、方差

高考對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析和處理要求明顯提高,解答這類問題需要理解正態(tài)分布、平均數(shù)、標準差、方差的基本概念;掌握求正態(tài)分布、平均數(shù)、標準差、方差的計算公式和基本求法。求平均數(shù)、標準差、方差時,需要根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),理解正態(tài)分布中參考數(shù)據(jù)的含義,結合相關公式通過運算就可求出相應的統(tǒng)計指標。

例1教育部門最近出臺了“雙減”政策,即有效減輕義務教育階段學生過重作業(yè)負擔和校外培訓負擔,持續(xù)規(guī)范校外培訓(包括線上培訓和線下培訓)。“雙減”政策的出臺對校外培訓機構的經(jīng)濟效益產(chǎn)生了嚴重影響。某大型校外培訓機構為了規(guī)避風險,尋求發(fā)展制定科學方案,工作人員對2021年前200名報名學員的消費金額進行了統(tǒng)計整理,其中數(shù)據(jù)如表1所示。

表1

以頻率估計概率,假設該大型校外培訓機構2021年所有學員的消費金額可視為服從正態(tài)分布N（μ,σ2）,μ,σ2分別為報名前200名學員消費的平均數(shù)及方差s2(同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代)。

(2)試估計該機構學員2021年消費金額為［5.2,13.6）的概率(保留一位小數(shù));

(3)若從該機構2021年所有學員中隨機抽取4人,記消費金額為［5.2,13.6）的人數(shù)為η,求η的期望和方差。

解析：(1)由題意得×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05=8,σ2=（4-8）2×0.15+（6-8）2×0.25+（10-8）2×0.1+（12-8）2×0.15+（1 4-8）2×0.05=8。

點評:第(1)問根據(jù)表中數(shù)據(jù),利用平均數(shù)和方差公式求解;第(2)問根據(jù)(1)的結論,利用3σ原則求解;第(3)問根據(jù)題意得η～,利用二項分布公式求解。二項分布的期望和方差的公式應牢記,是?？贾R點。

題型二、超幾何分布和二項分布

在求解隨機變量的概率問題時,應該根據(jù)問題條件確定概率類型屬于哪一種類型,結合超幾何分布和二項分布的特征實施問題的解答;求隨機變量的概率分布列的基本方法是:①根據(jù)題意得出隨機變量的可能取值;②分別求出各隨機變量值的概率;③得到隨機變量的概率分布列。

例22022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京,北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會、冬季奧林匹克運動會及亞洲運動會三項國際賽事的城市! 為迎接冬奧會的到來,某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動,為了深入了解學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況,在該地隨機選取了10所學校進行研究,得到圖1中的數(shù)據(jù)。

圖1

(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數(shù)都超過30人的學?？梢宰鳛椤皡⑴c冬奧運動積極學?！?現(xiàn)在從這10所學校中隨機選出3 所,記X為選出的“參與冬奧運動積極學校”的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望。

(2)現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營,對“滑行、轉彎、跳躍、停止”這4 個動作技巧進行集訓,且在集訓中進行了多輪測試。規(guī)定:在一輪測試中,這4個動作中至少有3 個動作達到“優(yōu)秀”,則該輪測試記為“優(yōu)秀”。在集訓測試中,小明同學“滑行”這個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為

所以X的分布列如表2所示:

表2

因為n∈N*,所以n的最小值為27,故至少要進行27輪測試。

點評:第(1)問中,由分析可知“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數(shù)超過30人的學校共5所,X的所有可能取值為0,1,2,3,計算出隨機變量X在不同取值下的概率,可得出隨機變量X的分布列,進一步可求得E(X)的值;第(2)問中,記“小明同學在一輪測試中要想獲得優(yōu)秀”為事件A,計算出P(A)的值,利用二項分布的期望公式可得出關于n的不等式,求解即可。

題型三、與其他知識交匯

在高考中多次出現(xiàn)概率統(tǒng)計與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列等知識的交匯,考查學科知識綜合應用的能力。

例32022 年2 月6 日,中國女足在兩球落后的情況下,以3比2逆轉擊敗韓國女足,成功奪得亞洲杯冠軍,在之前的半決賽中,中國女足通過點球大戰(zhàn)6∶5驚險戰(zhàn)勝日本女足,其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球,表現(xiàn)神勇。

(1)撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門,門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球。不考慮其他因素,在一次點球大戰(zhàn)中,求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望。

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練,甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機傳向另外3人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住。記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p1=1,p2=0。

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,試比較p10與q10的大小。

門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3,則

所以X的分布列為表3:

表3

點評:本題與數(shù)列等知識的交匯,考查學科知識綜合應用能力,需要構建數(shù)列遞推關系式進行求解。

例4我國某芯片企業(yè)使用新技術對一款芯片進行試產(chǎn),設試產(chǎn)該款芯片的次品率為p(0＜p＜1),且各個芯片的生產(chǎn)互不影響。視p為概率,記從試產(chǎn)的芯片中隨機抽取n個恰好含有m(n＞m)個次品的概率為f(p),求證:f(p)在p=時取得最大值。

對概率統(tǒng)計的備考建議:重視核心概念,提升理解、辨析數(shù)學概念的能力;重視閱讀理解,提升在實際問題中抽象數(shù)學關系的建模能力;重視決策表達,提升運用所學知識解決問題的能力;重視結論公式,提升分析和應用數(shù)字特征的能力。