概率中的幾類易錯題剖析

湖北省襄陽市第五中學 閆小東

概率與統計是近幾年高考考查的重點和熱點問題,相關高考試題考查比較靈活,對同學們綜合能力的考查要求比較高,本文以概率中幾個常見易錯題型為例進行剖析,希望能夠幫助同學們解決學習概率過程中的一些疑惑。

易錯題型一、古典概率模型理解不透而致誤

例1一個盒中裝有編號分別為1,2,3,4的四個形狀大小完全相同的小球。

(1)從盒中任取兩球,列出所有的基本事件,并求取出的球的編號之和大于6的概率;

(2)從盒中任取一球,記下該球的編號a,將球放回,再從盒中任取一球,記下該球的編號b,列出所有的基本事件,并求1的概率。

正解：(1)記“從盒中任取兩球,取出球的編號之和大于6”為事件A,樣本點（1,2）表示“從盒中取出1、2號球”,且(1,2)和(2,1)表示相同的樣本點(其他情況類推),則樣本空間為Ω=｛ (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝,則A=｛ (3,4)｝,根據古典概型可知P(A)=,故從盒中任取兩球,取出球的編號之和大于6的概率為

易錯分析：有些同學可能誤認為兩球編號之和的基本事件總數有2,3,4,5,6,7,8,共7個,但是這7個結果并不是等可能發生的,不符合古典概型的定義,不能用古典概型解題。正確的結果應該是16個基本事件,這主要是同學們對古典概率模型的理解不透徹而出錯。

易錯題型二、條件概率模型理解不清而致誤

例2甲、乙是北京2022 冬奧會單板滑雪坡面障礙技巧項目的參賽選手,二人在練習賽中均需要挑戰3 次某高難度動作,每次挑戰的結果只有成功和失敗兩種。

(1)甲在每次挑戰中,成功的概率都為0.5。設X為甲在3 次挑戰中成功的次數,求X的分布列和數學期望。

(2)乙在第一次挑戰時,成功的概率為0.5,受心理因素影響,從第二次開始,每次成功的概率會發生改變,其規律為:若前一次成功,則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1;若前一次失敗,則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1。

①求乙在前兩次挑戰中,恰好成功一次的概率;

②求乙在第二次成功的條件下,第三次成功的概率。

(2)設事件Ai為“乙在第i次挑戰中成功”,其中i=1,2,3。

所以乙在前兩次挑戰中,恰好成功一次的概率為0.4。

所以乙在第二次成功的條件下,第三次成功的概率為0.62。

易錯分析：有些同學容易混淆P(A2A3)和,在本題中,P(A2A3)表示第二次且第三次挑戰成功發生的概率,P(A3)表示第二次挑戰成功的條件下,第三次挑戰成功發生的概率,可運用條件概率的計算公式計算),對條件概率的公式和條件概率模型的理解不清晰是致誤的根源。

易錯題型三、超幾何分布與二項分布把握不準而致誤

例3新冠肺炎疫情期間,各地均響應“停課不停學,停課不停教”的號召開展網課學習。為檢驗網課學習效果,某機構對2 000名學生進行了網上調查,發現有些學生上網課時有家長在旁督促,而有些沒有,網課結束后進行考試,根據考試結果將這2 000 名學生分成“成績上升”和“成績沒有上升”兩類,對應的人數如表2所示:

表2

(1)完成以上列聯表,并通過計算(結果精確到0.001)說明是否有90%的把握認為家長督促學生上網課與學生的成績上升有關聯;

(2)從有家長督促的800名學生中按成績是否上升,采用分層抽樣的方法抽出8人,再從8人中隨機抽取3人做進一步調查,記抽到3名成績上升的學生得1分,抽到1名成績沒有上升的學生得-1分,設抽到3名學生的總得分用X表示,求X的分布列和數學期望;

(3)從這批網上調查的學生中抽取出3人,求恰有2人成績上升的概率。

表3

正解：(1)①300;②700;③1 200;④1 200;⑤800。因為K2≈3.472＞2.706,所以有90%的把握認為家長督促學生上網課與學生的成績上升有關聯。

(2)從有家長督促的800 名學生中按成績是否上升,采用分層抽樣的方法抽出8人,其中成績上升的有5人,成績沒有上升的有3人,再從8人中隨機抽取3人,則隨機變量X的所有可能取值為-3,-1,1,3。

所以X的分布列如表4:

表4

(3)從2 000名學生中抽取3人,成績上升的人數近似服從二項分布記ξ表示抽到成績上升的人數,ξ～B(3,

易錯分析：有些同學容易對第(2)(3)問感到困惑。第(2)問從8人中抽出3人,屬于總體容量比較小的情形,服從超幾何分布。第(3)問從網上調查的2 000名學生中抽取3人,屬于總體容量比較大的情形,近似看作n次獨立重復試驗,服從的是二項分布。對超幾何分布和二項分布模型理解不到位是致誤的根源。

總之,同學們要牢記與概率相關的概念公式,理解各類概率模型的基本內涵,精準把握各類概率模型的適用情境,這樣才能輕松駕馭和解決概率問題。