角的平分線性質的實質與推廣

劉憲升

（濱州學院理學院 山東·濱州 256600）

1 角的平分線及其性質定理的實質

為討論方便，我們先給出角的平分線的定義、性質定理及其逆定理。

定義：從一個角的頂點引出的把這個角分成兩個完全相同的角的射線，叫做這個角的平分線。

角的平分線的性質定理及其逆定理，我們以人教版課本[1]的敘述為例。

定理1：“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。”

定理1′：“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。”

1.1 角的平分線的實質

由角的平分線定義可知其實質是：角的平分線是角的一條對稱軸。即：角是一個關于角的平分線對稱的軸對稱圖形。這一實質不少課本指了出來，不再贅述。

1.2 角的平分線性質的實質

關于定理1 這一性質，課本上都給出了證明，但都沒與角的平分線的實質相聯系。實際上，我們結合點到直線的距離的定義，該性質是在角平分線（對稱軸）上任取一點，過該點向角的兩邊對稱的作垂線（作法對稱），所得兩交點（垂足）是一對對稱點，故兩垂線段是關于角平分線的對稱線段，它們的長度當然相等了。因此，性質的實質是：過角平分線上任一點，向角的兩邊作的兩條對稱的垂線段相等。下面，給出兩垂線段對稱的證明。

這就證明我們上面對角的平分線性質實質的認識是正確的。

2 角的平分線性質定理及其逆定理的推廣

前面我們已指出并證明了定理1 中，到角的兩邊的距離是關于角的平分線的對稱線段，垂足是對稱點。我們把垂足這個條件放開，一般化為關于角的平分線對稱的點，可得下面推廣。

推廣1：角的平分線上的點與角的兩邊上關于角的平分線對稱兩點的連線段相等。

其實，推廣1 若換種說法可能更好理解與記憶，表述為下面命題。

推廣1 的逆命題也是成立的，表述如下。

推廣1′：角的內部與角的兩邊上關于角平分線對稱兩點的連線段相等的點在角平分線上。

3 應用

3.1 可合理解釋角平分儀制作原理及角的平分線的作法

上面對性質定理實質的揭示，就可以解釋前面所提木匠所用角平分儀為何這樣制作、角平分線的作法為何這樣作的問題了。

圖1

首先，圖1（48 頁截圖）是人教版課本中的角平分儀。在圖1中，不管∠的大小，由于=，故始終關于要作的角的平分線對稱是對稱點；又=，實際上是在對稱軸的兩側對稱的作兩條射線，所得交點自身對稱，又自身對稱，故射線是角的對稱軸，即角的平分線。其實，我國古代的木匠不懂平面幾何知識，他們就是借助對稱制造了角平分儀。

總之，角的平分線無論是用角平分儀畫，還是根據作法作，都是先在角的兩邊上確定關于角平分線對稱的兩點，再從這兩點出發朝角內對稱作圖交于一自身對稱的點，由頂點畫出的過交點的射線就是角的平分線。其關鍵是根據對稱性作出異于頂點的另一自身對稱點，而它是由對稱的兩條線相交得到的。認識到這一實質就可以給出其他作法，如：

其實，此作法簡單的說，就是作兩條關于角的平分線對稱的兩線段（直線或射線均可），找到另一自身對稱點，進而畫出角的平分線。

3.2 可以快速的解決其他問題

我們先證明等腰三角形的三線合一性質。

此題為人教版課本51 頁綜合應用第5 題。如不把性質定理進行推廣，此綜合應用題證明還是有一定難度的，下面應用推廣給出證明。

由應用可見，在揭示角的平分線及其性質并推廣后，不僅可以合理的解釋角平分儀的制作原理，以及角的平分線作法為什么這么作，而且應用它們解決選擇、填空題可以一眼就能看出問題的結論；對于大題也可快速、簡單的、幾步就能解決問題，有較強的應用價值。如果我們廣大數學教育工作者，能從學生學習的角度，認真研究課本或所教內容，揭示出其蘊涵的實質，數學難學的問題將會迎刃而解。