平面SV 波入射下山體地形中雙線隧道動力響應

張 海，杜雪姣，劉中憲,2，徐 穎，楊國崗

(1. 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室，天津 300384；2. 天津市地震工程研究所，天津 300384)

為滿足我國“一帶一路”及西部開發戰略需要，近年來西部交通基礎設施飛速發展，山嶺隧道建設數量也不斷增多。如國家最新批復的川藏鐵路，全線隧道占比在80%以上。同時，中國西部地區強震頻發，對既有或在建隧道結構安全存在較大威脅。如在2008 年汶川地震時，位于震區都汶公路上的11 座隧道均出現不同程度的損毀[1-2]，其中，36.2%的隧道出現中等及以上破壞，包括洞口邊坡崩塌與滑塌、襯砌及圍巖坍塌、襯砌開裂錯位、初期支護變形及開裂等。另一方面，凸起地形對地震波有顯著的放大作用，而山體中隧道的存在會產生明顯的動應力集中。

國內外學者對凸起地形或山體-隧道地震反應已有較多研究。首先，在凸起地形地震動放大效應方面，袁曉銘等[3]、Tsaur 等[4]、Liang 等[5]、梁建文等[6]和楊在林等[7]給出了凸起及凹陷地形對地震波散射的解析解；考慮到實際復雜場地特征，劉晶波等[8-9]采用有限元法給出了山體地形地震反應問題的數值解；巴振寧等[10-11]結合“分區契合”技術，采用間接邊界元方法研究了凸起地形對平面P 波及SH 波的散射問題。在隧道反應方面，Liu 等[12]研究了彈性半空間淺埋隧道對平面P 波、SV 波的散射，王冬等[13]采用快速多級間接邊界元法揭示了P 波、SV 波入射下三維孔洞群周圍位移場和應力場的分布規律；在山體-隧道整體反應方面，李敏等[14]根據輔助函數的思想，利用復變函數、多級坐標法的方法研究了SH 波入射時含圓形孔洞的半圓形凸起地形與其附近的圓形空洞的相互作用。羅昊等[15]采用波函數展開法針對凸起地形中襯砌隧道對平面SH 波的散射進行了研究；Amornwongpaibun 等[16]研究了含單個橢圓隧道的凸起地形對平面SH 波的散射；Liu 等[17]采用間接邊界元法(IBEM)研究了平面SV 波作用下襯砌隧道與山體的動力相互作用。巴振寧等[18]采用間接邊界元法研究了山嶺-單個隧道在平面P-SV波入射下的地震動力響應問題。

本文基于彈性波動理論，結合“分區契合”思想，利用間接邊界元方法，研究了SV 波入射下山體-雙線隧道整體動力響應特征。通過大量參數分析，揭示了山體中雙線隧道地震動應力集中及山體表面地震動放大效應，所得結論對于實際山嶺隧道抗震設計、地震安全性評價具有參考價值。

1 計算模型

圖1 山體隧道模型圖(雙向六車道)Fig. 1 Mountain-tunnel model (two-way six-lane)

圖2 計算模型的區域劃分Fig. 2 Area division of calculation model

如圖1 所示，以彈性半空間上一高斯形山體中含兩馬蹄形襯砌隧道為例，假設山體及隧道中為均勻各向同性、完全彈性介質。取 R1=22 m，R2=8.4 m ， R3=3 m ，襯砌厚度為 t=0.6 m，高斯山體高度為h ，寬度為2 a。圖2 為雙馬蹄形山嶺隧道整體計算模型的分區圖，基于“分區契合[6]”的思想，將整個計算模型劃分成半空間凹陷域 Θ、山體凸起域 Ω和左右隧道域Ψ1、 Ψ2四個區域。其中，半空間凹陷域 Θ是由水平地表 L1和虛擬凹陷邊界 L2圍 成的半空間無限區域；山體凸起域 Ω是由虛擬凹陷邊界 L2、 凸起邊界 L3及 左右隧道外邊界 L4、L6圍 成的區域；左右隧道域Ψ1、 Ψ2分別由隧道內外壁邊界L4、 L5及 L6、 L7圍成。

2 計算方法

2.1 波場分析

2.2 邊界條件及求解

由于采用彈性全空間動力基本解，自由地表邊界條件需構造滿足，另外還需考慮隧道與山體交界面的位移、應力連續性條件及隧道內壁等的零應力條件，具體為：

3 精度檢驗

由于自由地表邊界條件處理上的困難，半空間中山嶺隧道對SV 波的散射問題至今還沒有精確的解析解，只能通過邊界條件驗算及退化到半圓形凸起山體動力響應與現有結果的比較來考察計算精度。

首先定義一無量綱頻率η:

式中：R 為隧道的寬度； λ為剪切波波長；k 為剪切波波數； β為入射波剪切波速。

現考慮退化為單一隧道，利用本文的方法計算了隧道內表面的半空間位移幅值和動應力集中系數。圖3(a)為本文方法結果與Luco 和De Barros[20]關于SV 波垂直入射的彈性半空間的結果比較。計算參數：密度比 ρ2/ρ1= 1.0；波速比cβ2/cβ1=1.0；阻尼比 ζ=0.001；泊松比ν=1/3；無量綱頻率 η=0.5。另外，考慮退化為單一半橢圓山體，計算山體周圍的頻率響應，圖3(b)為本文方法和álvarez-Rubio[21]等人關于SV 波入射角為30°時的結果比較。計算參數：阻尼比ζ=0.01；泊松比ν=0.25。對比兩者吻合程度良好，從而驗證了本文方法的正確性。

圖3 精度驗證Fig. 3 Accuracy verification

4 算例分析

山體模型尺寸參數如表1，其中，取山體、隧道半徑比a/a1=10，高斯山體地形和隧道襯砌材料泊松比分別均取0.25 和0.2，剪切波速分別取1000 m/s(微風化巖)和2667 m/s，材料粘滯阻尼比均取0.001。圖4 和圖5 分別給出了不同隧道間距D 對應的山體地表水平位移幅值和豎向位移幅值。圖6 給出了SV 波不同角度入射下山體地表不同點位移幅值譜。計算參數：雙隧道間距D/a1=3、4、5、6；無量綱頻率 η=1、2、5、10；入射角度α=0°、30°。

表1 山體模型尺寸參數Table 1 Size parameter of mountain model

圖4 不同隧道間距D 影響的地表位移幅值( α=0°)Fig. 4 Surface displacement amplitude of mountain affected by different tunnel spacings D ( α=0°)

圖5 不同隧道間距D 影響的地表位移幅值( α=30°)Fig. 5 Surface displacement amplitude of mountain affected by different tunnel spacings D ( α=30°)

4.1 山體地表位移

本文給出了穩態平面SV 波入射下，山體表面及附近地表表面位移幅值圖。分析不同隧道間距D 及不同入射頻率對山體表面及地表水平位移的影響程度。圖4 和圖5 中橫、縱軸坐標分別對應地表點位x/a 和地表位移幅值(已由入射波的位移幅值標準化)。

圖6 SV 波入射下山體地表不同點位移幅值譜Fig. 6 Displacement spectra of different points of mountain surface under SV wave incidence

從圖4 和圖5 可以看出，無量綱頻率η、入射角度α 、雙隧道間距D 對地表位移幅值具有重要影響。1)當η 較小時(η = 1, 2)，山體表面及附近地表位移幅值空間變化簡單；當入射頻率逐漸增大時，地表位移幅值也隨之增大且震蕩更為劇烈，空間分布特征更為復雜；當α =0°，山體表面以及附近水平地表位移幅值由 η=1 時的2.76 增大到η=10 時的4.85，豎向地表位移幅值則由0.94 增大到2.31；當以α = 30°斜入射時，水平位移由η=1 時的2.34 增 大 到 η=10 時 的3.28，豎 向 位 移 則 由2.29 增大到3.16。2)接近垂直入射時，山體表面及附近地表位移幅值表現出來很強對稱性，隨著入射角度 α的增大，迎波面地表位移幅值震蕩加劇。值得注意的是高頻SV 波入射時，迎波面地表位移震蕩劇烈，但位移幅值出現在背波面，實際工程中應當適當提高隧道沿線建筑物的抗震設防等級。3)雙隧間距D 也是重要影響因素：當入射波頻率較小時，隧道間距D 變化對地表位移影響不大，如圖中當無量綱頻率 η=1 時，隧道間距D/a1由3 增加到6，4 條地表位移曲線基本重合，隨著η 的增大，雙隧間距D 變化對位移幅值的影響增強；由圖易知當η ＞5時，雙隧道間距D 增大地表位移幅值隨之增大，當 α=0°時，山頂水平位移幅值由D/a1=3 時的3.49 增加到D/a1=6 時的4.62。

為全面反映散射的頻譜特性，分析SV 波入射下不同入射角度 α、不同入射頻率 η、不同雙隧間距D 對山體地表典型點位的位移幅值譜的影響。考慮地震波入射角度 α=0°、30°，在山體地表選擇x/a=0、0.5、1、2、4 這5 個觀察點。其它地質條以及幾何參數同上，入射波無量綱頻率η 取值范圍為0～10。

從圖6 可看出，無量綱頻率 η、入射角度 α、雙隧間距D 對高斯山體地表位移頻譜特征具有顯著影響：1)當SV 波垂直入射(α =0°)時，山頂位置(x/a=0)水平位移幅值明顯大于其他點位，最大位移幅值 umax=6.67(η =4.53，山頂處)；而山頂位置的豎向位移幅值明顯小于其他點位，山頂附近(x/a=0.5)位置的地震響應更為明顯。隨入射角度α增加，水平位移整體上有減小的趨勢，豎向位移有增大的趨勢，且地表豎向位移幅值譜曲線震動加劇；2)山體及其附近地表幅值譜曲線對頻率變化較為敏感，會出現明顯的“波峰”和“波谷”，頻率 η增加，位移幅值有增大趨勢，如最大位移幅 值由 η=0 時的1.87 增 加 到 η=4.53時 的6.67；3)整體上看，SV 波入射下，最大地表位移幅值出現在山頂處，隨著地表點位到山頂距離x/a 增大，地表位移幅值顯著減小，當距離x/a＞2 后，位移幅值譜逐步趨于穩定。

4.2 隧道動力響應

4.2.1 隧道位移響應

圖7 給出了SV 波垂直入射下彈性半空間中凸起山體地形中含雙馬蹄形襯砌隧道的水平位移分布云圖情況，鑒于垂直入射時，兩隧道的位移云圖關于Y 軸對稱，因此，僅畫出右側隧道的位移云圖(下文同)。圖7 中的位移幅值已由入射波的位移幅值標準化。

圖7(a)、圖7(b)、圖7(c)分別表示D/a1=3、4、5，縱向對比可知，隨著雙隧道間距D 的增大，山嶺隧道襯砌內部的位移幅值整體上有減小的趨勢，以 η=1.0 為例，最大位移幅值由D/a1=3時的0.85 減小到D/a1=5 時的0.75，隧道的空間位移有關于隧道中心線對稱的趨勢，兩隧道間的相互作用減弱；當入射頻率較低時，山嶺隧道水平位移最大值出現在右隧道頂部，如η=1.0 時，右山嶺隧道水平位移為0.8；隨著無量綱頻率的增大，地震波波長減小，隧道內部對地震波的散射更加強烈，山嶺隧道襯砌內部位移幅值整體上逐漸增大，η =10.0 時，右山嶺隧道水平位移為1.4，隧道位移的空間分布特征也更為復雜。

4.2.2 隧道動應力響應

圖8～圖10 分別給出了凸起山體地形中雙山嶺隧道在SV 波入射下，雙隧道間距不同時左右襯砌隧道內部動應力集中因子分布情況。SV 波垂直入射時仍僅給出右隧道應力云圖。可以看出，雙隧道襯砌內部的應力幅值及空間狀態分布主要與入射波的特性(入射波頻率和入射角)和隧道間距D 有關。

圖8 SV 波入射下不同隧道間距時右山嶺隧道環形應力云圖( α=0°)Fig. 8 Circular stress contours of right mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ( α=0°)

圖9 SV 波入射下不同隧道間距時右山嶺隧道環形應力云圖( α=30°)Fig. 9 Circular stress contours of right mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ( α=30°)

圖10 SV 波入射下不同隧道間距時左山嶺隧道環形應力云圖( α=30°)Fig. 10 Circular stress contours of left mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ( α=30°)

分析圖8 可得，SV 波垂直(α = 0°)入射，η =1.0時，右隧道的環向應力空間分布比較均勻，關于隧道中心線對稱，主要是因為在低頻段兩隧道間的相互作用比較弱，此時應力峰值出現在隧道上部左右兩側與豎向夾角約為45°及隧道下部左右兩側與水平夾角約為30°的位置，其值約為25；隨入射頻率η 增大，對于右隧道，環向應力峰值逐漸向隧道右側移動，在η=10 時，隧道內部應力分布更加復雜，應力集中區域增加但隧道襯砌內部環向應力幅值逐漸減小，動應力集中因子衰減到20；縱向對比可知，隨隧道間距D 增大，隧道應力空間分布關于隧道中心線對稱，說明隧道間相互影響減弱，故實際工程中，雙隧道間距D 增大到一定值后，可忽略隧道間相互作用。

觀察圖9、圖10 可得，隨著雙隧間距D 的增加，隧道內部襯砌環向應力有減小的趨勢，這與分析圖8 得出的結論相一致。左右兩側隧道應力計算結果表明，隨著入射角度 α的增大，兩隧道襯砌內部環向應力均有增加的趨勢，由于山體對地震波復雜的反射作用，左隧道的應力幅值整體上小于右隧道，實際工程設計時應注意遠離地震波入射一側隧道的強度破壞。另外，隧道的內外壁的應力數值差別較大，故實際工程設計中要多加注意。

5 結論

本文采用間接邊界元法研究了SV 波入射下彈性半空間中雙線隧道—山體系統動力響應，著重考察了隧道存在對山體表面及附近地表散射的影響規律，分析了入射波角度、頻率、隧道間距等參數對散射的影響，得到如下有益結論：

(1)入射角度、無量綱頻率、山體高寬比、雙隧間距等都是影響山體表面、附近地表地面運動、山體隧道本身應力及位移的主要因素。

(2)當無量綱頻率η 較小時(η =1, 2)，山體表面及其附近地表位移幅值的空間變化比較簡單，雙隧道間距D 變化對地表位移幅值影響不大；當入射頻率 η逐漸增大時，地表位移幅值也隨之增大，同時地表位移幅值震蕩更為劇烈，空間分布特征更為復雜。

(3)隨隧道間距D 增大，山嶺隧道襯砌隧道內部位移幅值整體上有減小的趨勢，隧道空間位移有關于隧道中心線對稱的趨勢，兩隧道間相互作用減弱。當入射頻率較低時，山嶺隧道水平位移最大值出現在右隧道頂部，豎向位移最大值出現在隧道右端(兩隧道外側)。

(4)隨隧道間距D 減小，隧道內部襯砌環向應力有增大趨勢。隨入射角度α 增大，兩隧道襯砌內部環向應力均有增加趨勢，靠近地震波入射一側隧道應力幅值整體上小于遠側隧道，實際工程設計時應注意遠離波入射一側隧道強度破壞。