高中數學中的反證法

◇ 湖北 陳雄飛

分析歷年的高考數學試卷，我們可以發現，不論是全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ還是各省的高考數學試卷，基本上每年都會有數學證明題，而且都是以大題的形式出現，分值為10～12分，證明題已經成為高考必考題型之一，占有很大的比例.所以，做好證明題也是取得高分的前提條件.觀察往年的高考試卷，我們可以看出，證明題是千變萬化的，有時候是證明理論，有時候是證明公式，有時候是證明規律，等等.證明題題型太過繁雜，復習時無從下手，只能加強基礎知識的鞏固和掌握，才能更好地應對多變的題型.當然，我們的解題方法也十分重要，好的解題方法有時候能帶來極大的便利.在做證明題的過程中，反證法被越來越多的人使用，大大提高了高考數學證明題的得分率.本文主要從反證法的概念與運用方法、反證法實例分析和反證法的實際意義三個方面來闡述高中數學中的反證法.

1 反證法的概念與運用方法

1.1 反證法的概念

反證法，顧名思義，就是從待證結論的反面入手，反向證明命題的正確性.常規方法做證明題的時候就是正向一步步地分析總結，從而得到最后的結果，以此來判斷這個命題是否準確.

1.2 反證法的運用方法

掌握了反證法的概念，并不代表會運用反證法去解答證明題，所以，學會反證法的運用也至關重要.在運用反證法完整解答證明題的時候，首先，需要假設原命題不成立，然后進行推理.因為我們所使用的是反證法，所以我們的推理也得反向來.我們需要根據假設推理出矛盾的結果，從而說明我們的假設是錯誤的.這個過程我們通常用的是特殊值法，即找到一個特殊值代入我們假設的命題中去，從而使假設的命題不成立.因為反證法假設出來的命題和原命題是相反的，所以就能得到原命題是正確的結論了.

2 反證法實例分析

例1已知：m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，mnz＞0.求證：m＞0，n＞0，z＞0.

證明（1）用常規方法.

仔細觀察題目我們可以發現，通過mnz＞0，我們可以知道m，n，z 中至少有一個未知量大于零，所以只能假定其中一個未知量大于0，其他兩個要么同為負，要么同為正，又因為m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，那么需要知道的就是m，n，z 之間的大小關系.所以只能假設這三個未知量的大小關系，然后代入題目中進行驗算，從而得到正確的結論，其中需要考慮的情況特別多.

（2）用反證法.

假設m，n，z 不都是正數，由mnz＞0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，設m＜0，n＜0，z＞0，由m+n+z＞0，可得z＞-（m+n）.

又因為m+n＜0，所以z（m+n）＜-（m+n）·（m+n），mn+z（m+n）＜-（m+n）（m+n）+mn，即mn+nz+mz＜-m2-mn-n2.

因為m2＞0，mn＞0，n2＞0，所以-m2-mnz2=-（m2+mn+n2）＜0，即mn+nz+mz＜0.

這與已知mn+nz+mz＞0矛盾，所以假設不成立，因此m＞0，n＞0，z＞0成立.

例2已知o，p，q∈（0，1）.求證：（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不能同 時大于

證明假設（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 都大 于.因為o，p，q 都是小于1的正數，所以1-o，1-p，1-q 都 是 正 數，（1-o）+

同理（1-p）+q＞1，（1-q）+o＞1.

三式相加，得（1-o）+p+（1-p）+q+（1-q）+o＞3，即3＞3，矛盾.

綜上，（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不 能 都 大于

例3用反證法證明：若a，b，c∈R，且x=a2-2b+1，y=b2-2c+1，z=c2-2a+1，則，x，y，z 中至少有一個不小于0.

證明假設這三個都小于零，即

所以x+y+z＜0.

而x+y+z=（a2-2b+1）+（b2-2c+1）+（c2-2a+1）=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2-2c+1）=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2≥0.

與x+y+z＜0矛盾，所以假設不成立，所以x，y，z 中至少有一個不小于0.

3 反證法的實際意義

3.1 化繁為簡

有些證明題從正面入手雖然能解答出來，但是會浪費大量的時間；有些證明題并不是晦澀難懂，很多人也知道怎么去做，但是從正面入手，解題步驟太過煩瑣，很多人都望而卻步，不想為了這一道題影響整份試卷的成績.反證法的運用有效解決了這一問題，我們只需代入幾個特殊值就能讓問題迎刃而解，極大地簡化了解題步驟，同時也減少了學生因為冗雜步驟而出錯的情況.

3.2 培養學生的逆向思維

反證法教會學生，一條路走不通，就試著從其他路試試，正向解不出來的題目，從反方向來考慮有時候能將學生的思維從呆板的桎梏中解救出來，培養學生思維的靈活性，從而使其更好地適應高考題型的變化.

3.3 提高證明題解題效率和正確率

傳統的解決證明題的方法有時步驟特別復雜，而且步驟特別多，一旦其中任何一個環節出現問題，就會直接影響結果的準確性.所以，傳統方法的正確率遠遠不如反證法.反證法步驟簡單，需要驗算的地方較少，可有效避免因為步驟冗雜而產生錯誤結果的情況.而且，在驗算的過程中，傳統方法因為步驟繁多，所以驗算起來十分麻煩，但是反證法就不一樣，因為反證法步驟少，驗算起來一目了然，當結果出現誤差的時候，也能及時發現問題所在，從而大大提高了證明題的解題效率.

從上面的實例中我們可以看出，反證法在高中數學證明題解題中發揮著重要的作用，掌握反證法能大大提高學生數學證明題的得分率，讓學生的學習事半功倍，所以，正確使用反證法特別關鍵.反證法的精髓就在于“矛盾”，通過這些“矛盾”，從反面證明原命題的正確性.運用反證法解答證明題的時候，我們一定要嚴格按照反證法的步驟，一步一步地來，將整個證明題零碎化處理，這樣才能保證使用反證法準確地證明出結論.