淺析類比思維在微分學中的應用

陳爍　楊付貴

摘? 要：開展類比科學思維是推動人類不斷發現新世界事物、新技術知識的一種活力量和源泉，是幫助人們不斷深造知識和現實生活工作效率的一種有效方法，是高校培養學生創造性類比思維的一種有效捷徑。微分在數學課程中科學地發展應用微分類比法，能夠抽象、復雜的多元微分函數針對問題將其轉化而成為比較形象、簡單的一元函數。

關鍵詞：類比思維;微分學;函數

類比關系就是兩個事件之間具有一定相似性而又似乎沒有明確的比例關系。它把現有的一些事和物和一些原在層面上它看起來與看起來絲毫沒有關聯，相于的其他事和物緊密維系綜合起來，尋找一種不常規的戰略目標和問題解決的最佳方式。應用多元運算函數通過應用類比式的思維也就可以準確刻畫多元運算函數的一種局部抽象性質。通過運用多元函數微分學中的性質屬性可以解決一些困擾我們很久的問題。類比思維在多元微分學的應用中也巧妙的論證了這一點。類比思維大致可以理解為“類”和“比”。“類”顧名思義就是種類、類別、屬性。“比”就是比較、依附、仿照。人們在想要處理某個新問題的時候，人腦的第一反映一定是會去尋找與之有關聯的東西，往往與過去曾經解決的相仿的問題進行思考和類比，用其解決已有問題的程序與方法去解決新問題.類比法是人們尋覓覺察新的理論的一種重要方式，。例如，電流的形成、電壓的作用通過以熟悉的水流的形成，水壓使水管中形成了水流進行類比，從而得出電壓是形成電流的原因的結論[2]是培養創造性思維的一種途徑，如魯班發明鋸子、德雷布爾制造潛艇等，歷史上成功的偉人們都離不開類比思維。類比法也是是人們深造自身修養和生活資本的一種方法。

而多元微分學是高等數學中極為精華的一部分，微分學的主要內容是由所有一元函數狹義微分和多元微分函數廣義微分共同組成的。一元函數和多元變量函數的主要區別，在于自定義變量的元素個數可以是有一個和只有多個。此在求函數的數值極限、連續、可偏導、可線性微分時，自定義變量的數值變化范圍也是我們應該從不同幾個方面對其進行詳細討論的。對于一元函數，函數的相應變化只需要依賴一個其他自變量的相應變化;而多元化的函數中則需要仔細考慮一個函數變化相應于其中一個其他自變量或多個其他自變量的相應變化，從而可以進行函數相應的變化調整。首先多元函數極限為 ;多元函數的連續性可表現為：若 ，則函數f（x，y）在點P0（ ）連續;偏導數為 在點（x0，y0）處對x的偏導數： （對y同理）。f（x+x，y）-f（x，y）≈fx（x，y）Δx;可微分可以理解為：Q和E不依賴與Δx和Δy而僅與Q，E有關， 。舉一個好的例子表示為： ，當點p（x，y）沿直線y=kx趨于點（0，0）時， ，所以f（x，y）當（x，y）→（0，0）時的極限不存在，點（0，0）是該函數的一個間斷點，偏導數存在;由此可以推斷出連續，偏導數和微分的關系是可導與連續的關系：可導必連續，連續不一定可導;可微與連續的關系：可微與可導是一樣的[2];

其次，多元函數復合和隱函數和多元隱屬性函數的連續求導定義法則與一元函數通過這種類比推理思維可以進行類比分析，復合函數和隱函數的關系有一個變量類似于多元的隱函數，多元微分函數和隱函數的連續求導定義法則特點類似于一元函數復合和隱函數的求導定義，運用這種類比推理思維，我們現在已經可以直接給出二元函數復合和隱函數的求導定義。定義上假設映射函數x為z=f（u，v），而y為u、v均為函數x、y的映射函數，即y為u=u（x，y），v=V（x，y），則映射函數y為z=f[u（x，y），v（x，y）]這就叫做函數x、y的一個復合映射函數。其中u、v和v叫做中間定義變量，x、y和y叫做自定義變量。再將一元函數復合微分動力學理論中的函數復合微分函數的線性求導微分法則，類比推廣到多元函數復合微分函數。多元化的復合向量函數的微分求導方程法則在多元復合函數論的微分學領域中也一直起著不同尋常的意義。假如兩個函數中的u=u（x，y），v=V（x，y）在對應點（x，y）的點一并符合對兩個x及對x和y的偏導的參數，在對應點（u，v）在函數中的z=f（u，V）中處都是一些符合連續偏導的函數，則在對應點（x，y）的點處的兩個復合偏導函數中的z=f[u（x，y），v（x，y）]同時存在兩個連續偏導的函數。

多元函數問題處理時一個重要的思路就是歸化為一元函數，特別是多元函數極限問題處理，由于極限是微分學的基礎，多元函數的求解顯得十分重要，已經有許多對多元函數求解的方法[3]，方法很多，但整體的思路還是利用類比思維歸化為一元函數極限，充分利用一元函數極限求解的方法。一個很好的例題： 。這道題就是經典的運用類比思維，通過多元函數轉化為一元函數。解這個例子：原式=? 。

總結：

類比思維在多元微分學中的應用，充分體現了類比思維在解決問題時可以快速啟發人們的思想，而且得到解決。而微分學在大學教育數學學習內容主要是由一元函數微分學和多元函數微分學兩個不同的類別一同構成的，兩部分都有其固有的特點，而此時以一元函數微分學為基礎，以類比法為途徑，來理解多元函數的內容，就會顯得十分的容易，這不為是一種學習的良策。

參考文獻

[1]? 苑曉英.在高效物理課堂中的應用[J] . 中學物理教學參考，2015年02期：1

[2]? 同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M] 北京：高等教育出版社，2007

[3]? 馮英杰，李麗霞.二元函數極限的求法[J].高等數學研究，2003，6（1）：32-33.