類比思維在多元微分學中的應用

周小玲　楊付貴

摘? 要：類比法是我們學習新知識的重要認知方法，科學地應用類比思維可以提高我們學習工作的效率，增強我們對于學習復雜事物的熱情，有利于培養我們創造性思維。在高等數學多元微分學的學習中科學地應用類比思維，有效幫助我們直觀地學習新知識。應用類比思維求解多元函數極限、連續、可偏導以及偏導數的問題時，可以將復雜難懂的多元函數與簡單易理解的一元函數進行類比，提高我們學習高等數學的積極性。

關鍵詞：類比法;一元函數;多元函數

為了響應國務院《關于深化高等學校創新創業教育改革的實施意見》中關于增強高校學生創新創業意識的號召，越來越多的應用型本科學校增設了實踐課程，這就意味著基礎課程學時將會減少。我們身為應用型大學的學生，學會高效學習基礎課程可以促進我們學業的綜合發展。在學習高等數學時科學運用類比思維可以提升學習的效率，下面我來簡單談談關于類比思維在多元微分學中的應用。

類比法是通過研究個別問題的特殊構造和本質后，科學推理到新問題構造和本質的研究上。再將個別問題富有經驗的解決方案合理運用到新問題的解答上，達到舉一反三的效果。這是一種研究問題、探究本質、提供解決方案的思維邏輯。

高等數學的微分學習中分為一元函數微分學和多元函數微分學。一元函數只有一個自變量，但很多實際問題的解決都牽涉到多個方面，于是就提出了多元函數，多元函數涉及一個變量依賴于多個變量的求解。一元函數微分內容相對直觀易接受，數形結合的方法有利于我們學習;多元函數微分維度高，抽象難懂，數形結合的方法不適用于多元函數微分的求解。因此我們可以研究學習一元函數微分學時所了解的函數概念、定義、連續、偏導的性質，通過類比得到多元函數微分學的相關概念、性質和計算方法。

掌握概念是學習高等數學的基礎，在運用類比法學習之前，我們要先了解一元函數和多元函數的概念：

一元函數的概念：設數集D∈R，則稱映射 ： 為定義在D上的函數，通常簡記為： ，其中 稱為自變量， 稱為因變量， 稱為定義域，簡記 ，即

二元函數的概念：設數集 是 ，則稱映射 ： 為定義在 上的二元函數，簡記為： ，或 ，其中點集 稱為該函數的定義域， 和 稱為自變量， 稱為因變量.

二元函數的概念可以推廣到三元函數，以及更多元的函數中.

從一元函數和多元函數的基本概念中，我們不難發現，一元函數和多元函數主要的區別在于自變量個數的不同，因此在求解多元函數微分學時應重點關注自變量的不同。

此外我們還要應該關注函數的其它概念，進行更全面的類比，對相似點和不同點進行深度的探究，科學記憶，避免混淆一元函數和多元函數的概念。類比學習知識點概念，可以鞏固我們之前所學習的一元函數重點，還可以通過對一元函數基本概念的研究去推理多元函數的概念，有利于培養我們的創造性思維。一元函數與多元函數概念的類比分析可見它們又很多相似之處，這對于我們研究問題的性質是學習高等數學的核心。在解決數學問題之前我們應當正確理解問題性質。由本文上述的多元函數的概念可知，多元函數與一元函數的重要區分就是自變量的增加，而自變量的增加會加大多元函數性質的復雜程度。自變量的增加使得多元函數的圖像變得復雜，單純從多元函數的解題思路出發，我們很難理解問題的本質，求解問題也更加困難。但是通過類比一元函數和多元函數的性質，我們可以將復雜的多元函數問題轉化為直觀的一元函數問題進行求解，大大降低了學習的難度。

例1：求

分析：該題中多元函數求極限可以在換元后利用一元函數求極限的方法進行求解.

解：用換元法：令 .

則

對于一元函數的極限、連續性、導數、微分和多元函數的極限、連續性、偏導數、全微分以及判斷極限是否存在？是否連續？是否可導？是否可微和求極限，求導數，求微分的方法都有高度相似之處，分科學運用類比法學習高等數學的多元函數微分學可以幫助我們鞏固一元函數微分學的知識，培養我們的推理能力。

比如：對于一元函數連續一定有極限，有極限不一定連續;連續不一定可導，可導一定連續;連續不一定可微，可微一定連續;可微一定可導，可導一定可微;可導一定有極限，有極限不一定可導。而對于多元函數連續一定有極限，有極限不一定連續;連續不一定可偏導，可偏導卻不一定連續;連續不一定可微，可微一定連續;可微也一定可偏導，但可偏導卻不一定可微;可偏導也不一定有極限，有極限更不一定可偏導;偏導數連續一定可微，但可微分，偏導數卻不一定連續。

此外我認為類比思維不僅可以用在多元函數的求解中，也可以運用到其它學科的學習中。拓展我們的思維，增強創新意識，將自己培養成為具有創新力的應用型人才。

參考文獻

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[3]? 《高等數學》（第七版）上、下冊，同濟大學數學系編，高等教育出版社.